指数函数与三角函数的泰勒级数展开式怎么证明？

点击联系发帖人 时间：2022-09-28 02:36

e指数与三角函数

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复变函数与积分变换复习提纲

四、复变函数的极限与连续

三、复变函数w?f(z)?u(x,y)?iv(x,y)可导与解析的概念。四、柯西——黎曼方程

??ux?vy掌握利用C-R方程?判别复变函数的可导性与解析性。

重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。

性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，(e)'?e（3）以2?i为周期 3、对数函数

性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:(lnz)'k?1。 zk不得用于商业用途

22i性质：（1）单值（2）复平面上处处解析（3）周期性（4）无界

5、反三角函数（了解）

四、调和函数与共轭调和函数：

2) 已知解析函数的实部（虚部），求其虚部（实部）

有三种方法：a）全微分法

b）利用C-R方程 c）不定积分法

第三章解析函数的积分一、复变函数的积分

lll二、复变函数积分的计算方法 1、沿路径积分：

?f?z?dz 利用参数法积分，关键是写出路径的参数方程。

c2、闭路积分： a)

?f?z?dz 利用留数定理，柯西积分公式，高阶导数公式。

c?三、柯西积分定理：

c 推论1：积分与路径无关

z1z2推论2：利用原函数计算积分

推论3：二连通区域上的柯西定理

c1c2不得用于商业用途

推论4：复连通区域上的柯西定理

? 解析函数f?z?在任一点z的值可以通过函数沿包围点z的任一简单闭合回路的积分表示。 ? 解析函数有任意阶导数。

本章重点：掌握复变函数积分的计算方法

第四章解析函数的级数

一、幂级数及收敛半径：

??f?z?dz 1）利用参数法积分 2）利用原函数计算积分。

c?f?z?dz 利用留数定理计算积分。

1、一个收敛半径为R（≠0）的幂级数，在收敛圆内的和函数f(z)是解析函数，在这个收敛圆内，这个展开式可以逐项积分和逐项求导，即有：

1、如函数f(z)在圆域z?b?R内解析，那么在此圆域内f(z)可以展开成Taylor级数

fn?b?3）展开式的系数可以微分计算： an? n!4）解析函数可以用Taylor级数表示。

2、记住一些重要的泰勒级数：

三、罗兰（Laurent）级数

1、展开式是唯一的，即只要把函数在圆环城内展开为幂级数即为Laurent级数。

2、展开式的系数是不可以利用积分计算。利用已知的幂级数，通过代数运算把函数展开成Laurent级数。

3、注意展开的区域，在展开点的所有解析区域展开。

1、定义：若b是f(z)的孤立奇点，则f(z)在0?z?b??内解析。在此点f(z)可展开为罗兰级数，

?可去奇点:无负幂项,Res[f(z),b]?0?孤立奇点?极点:有限负幂项 ?本性奇点:无穷多负幂项,Res[f(z),b]?c?1?把函数在奇点的去心邻域中展开为罗兰级数，求解C-1

z?bb) 如果b是f(z)的m阶极点，则不得用于商业用途

z??关系：全平面留数之和为零。

本章重点：函数展开成Taylor级数，并能写出收敛半径。函数在解析圆环城内展开成Laurent级数。

孤立奇点（包含z??点）的判定及其留数的计算。

第五章留数定理的应用

注意留数是计算单位圆中的奇点。二、

（3）分母阶次比分子阶次至少高二次

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宜城教育资源网对数函数的图象与性质公式单调性_对数函数运算法则知识点总结_log函数定义域和值域_对数函数中e是多少泰勒级数展开式对数函数的图象与性质" 对数函数的图形：" 对数函数的图象与性质：" 对数函数与指数函数的对比：(1)对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y=x对称．(2)它们都是单调函数基本性质：1、2、3、4、5、推导：1、因为，代入则，即。2、MN=M×N由基本性质1(换掉M和N)由指数的性质又因为指数函数是单调函数，所以3、与（2）类似处理 M/N=M÷N由基本性质1(换掉M和N)由指数的性质又因为指数函数是单调函数，所以4、与（2）类似处理由基本性质1(换掉M)由指数的性质又因为指数函数是单调函数，所以或由基本性质2（展开，如图所示）对数基本性质4推导过程对数基本性质4推导过程基本性质4推广推导如下：由换底公式（见下面）[ 是，e称作自然对数的底]换底公式的推导：设则其中得：由基本性质4可得再由换底公式换底公式编辑设b=a^m，a=c^n，则b=(c^n)^m=c^(mn)………………………………①对①取以a为底的对数，有：log(a)(b)=m……………………………..②对①取以c为底的对数，有：log(c)(b)=mn……………………………③③/②，得：log(c)(b)/log(a)(b)=n=log(c)(a)∴log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)注：log(a)(b)表示以a为底b的对数。换底公式拓展：以e为底数和以a为底数的公式代换：logae=1/（lna）推导公式编辑log(1/a)(1/b)=log(a^-1)(b^-1)=-1logab/-1=loga(b)loga(b)*logb(a)=1loge(x)=ln(x)lg(x)=log10(x)求导数编辑(xlogax)'=logax+1/lna其中，logax中的a为底数，x为真数；(logax)'=1/xlna特殊的即a=e时有(logex)'=(lnx)'=1/x，都不具有奇偶性．当a>l时，它们是增函数；当O<a<l时，它们是减函数．(3)指数函数与对数函数的联系与区别：" 对数函数单调性的讨论：解决与对数函数有关的函数单调性问题的关键：一是看底数是否大于l，当底数未明确给出时，则应对底数a是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性，但应注意中间变量的取值范围；三要注意其定义域（这是一个隐形陷阱），也就是要坚持"定义域优先"的原则．利用对数函数的图象解题：涉及对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象人手，通过平移、伸缩、对称变换得到对数型函数的图象，特别地，要注意底数a>l与O<a<l的两种不同情况，" 底数对函数值大小的影响：

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