当x为实数时指数函数满足 e^x=\sum_{n=0}^\infty{x^n\over n!} 。而由于右侧级数绝对收敛，所以我们可以把复数z代入到右侧从而能够对指数函数进行解析延拓（analytic

现在设 z=i\alpha （其中 \alpha 也可以是复数），便可以利用右侧幂级数绝对收敛的性质整理求和而得：

由于当 \alpha\in\mathbb R 时右侧的两个幂级数分别等于余弦和正弦函数，所以它们也能用于解析延拓三角函数。因此我们就得到了欧拉公式：

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