三维空间的右手笛卡尔坐标如图1所示。

pitch是围绕X轴旋转，也叫做俯仰角，如图3所示。

yaw是围绕Y轴旋转，也叫偏航角，如图4所示。

roll是围绕Z轴旋转，也叫翻滚角，如图5所示。

中文名欧拉角外文名Euler angles提出者莱昂哈德·欧拉应用学科数学，物理，航空航天 用来确定定点转动刚体位置的3个一组独立角参量，由角θ、角（即进动角）ψ和自转角j组成，为欧拉首先提出而得名。

它们有多种取法，下面是常见的一种。如图所示，由定点O作出固定坐标系Oxyz和固连于刚体的动坐标系Ox′y′z′。。由轴Oz欧拉角量到Oz′的角θ称章动角。由固定轴Ox量到节线ON的角ψ称角；由节线ON量到动轴Ox′的角j称自转角。由轴Oz和Oz′正端看，角ψ和j也都按逆时针方向计量。若令Ox′y′z′的初始位置与Oxyz重合，经过相继绕Oz、ON和Oz′的三次转动后，将转到图示的任意位置。如果刚体绕通过定点O的某一轴线以ω转动，

对于在里的一个，任何坐标系的取向，都可以用三个欧拉角来表现。又称为实验室参考系，是静止不动的。而坐标系则固定于刚体，随着刚体的而旋转。 参阅右图。设定 xyz-轴为的参考轴。称 xy-平面与 XY-平面的相交为交点线，用英文字母（N）代表。zxz 顺规的欧拉角可以静态地这样定义： α 是 x-轴与交点线的，β 是 z-轴与Z-轴的夹角，γ 是交点线与X-轴的夹角。 很可惜地，对于的顺序和标记，夹角的两个轴的指定，并没有任何常规。科学家对此从未达成共识。每当用到欧拉角时，我们必须明确的表示出夹角的顺序，指定其参考轴。 实际上，有许多方法可以设定两个的相对取向。欧拉角方法只是其中的一种。此外，不同的作者会用不同组合的欧拉角来描述，或用不同的名字表示同样的欧拉角。因此，使用欧拉角前，必须先做好明确的定义。

我们也可以给予欧拉角两种不同的动态定义。一种是绕着固定于刚体的的三个的；另外一种是绕着实验室参考轴的三个的复合。用动态的定义，我们能更了解，欧拉角在物理上的含义与应用。特别注意，以下的描述，XYZ 坐标轴是的刚体坐标轴；而 xyz 坐标轴是静止不动的实验室参考轴。

用来唯一地确定定点转动位置的三个一组独立角参量^[1]，由章动角θ、进动角ψ和自转角嗞组成，为L.欧拉首先提出，故得名。对于任何一个，一个的取向，是依照顺序，从这，做三个欧拉角的而设定的。所以，刚体的取向可以用三个基本来决定。换句话说，任何关于刚体旋转的是由三个基本旋转矩阵而成的。它们有多种取法，下面是常见的一种

如图所示，由定点O作出固定坐标系Oxyz 以及固连于刚体的坐标系Ox┡y┡z┡。以轴Oz和Oz┡为基本轴，其垂直面Oxy和Ox┡y┡为基本平面。由轴Oz量到Oz┡的角度θ称为角。平面 zOz┡的垂线ON称为节线，它又是基本平面Ox┡y┡和Oxy的交线。在中，由ON的正端看，角θ应按逆时针方向计量。由固定轴Ox量到节线 ON的角度ψ称为角；由节线ON量到动轴Ox┡的角度嗞称为自转角。由轴Oz和Oz┡正端看，角ψ和嗞也都按逆时针方向计量。欧拉角（ψ，θ，嗞）的名称来源于天文学。 三个欧拉角是不对称的，且在几个特殊位置上具有不确定性（当θ=0时，嗞和ψ就分不开）。对不同的问题，宜取不同的轴作基本轴，并按不同的方式量取欧拉角。

欧拉角Eulerian angles用来确定定点转动刚体位置的3个一组独立角参量，由角 θ、角（即进动角）ψ和自转角j组成。为欧拉首先提出而得名。它们有多种取法，下面是常见的一种。如图所示，由定点O作出固定坐标系 Oxyz和固连于刚体的动坐标系Ox′y′z′。以轴Oz和Oz′为基本轴，其垂直面Oxy和Ox′y′为基本平面。由轴Oz量到Oz′的角θ称章动角。平面zOz′的垂线ON称节线，它又是基本平面Ox′y′和Oxy的交线。在中，由 ON 的正端看，角θ应按逆时针方向计量。由固定轴 Ox 量到节线ON的角ψ称旋进角；由节线ON量到动轴Ox′的角j称自转角。由轴 Oz 和Oz′正端看，角ψ和j也都按逆时针方向计量。若令 Ox′y′z′的初始位置与 Oxyz 重合，经过相继绕 Oz 、ON 和 Oz′的三次转动后，刚体将转到图示的任意位置。如果刚体绕通过定点 O的某一轴线以角速度ω转动，而ω在动坐标系Ox′y′z′上的投影为ωx′、ωy′、ωz′，则它们可用欧拉角及其微商表示如下：ωx′ =sinθsinj+cosj，ωy′= sinθcosj－sinj，ωz′=cosθ+。如果已知 ψ、θ、j和时间的关系，则可用上式计算ω在动坐标轴上的 3个分量；反之，如已知任一瞬时t的ω各个分量，也可利用上式求出ψ、θ、j和时间t的关系，因而也就决定了刚体的运动。上式通常被称为欧拉方程。

欧拉角广泛地被应用于经典力学中的刚体研究，与中的角动量研究。 在的问题上，xyz是全局坐标系， XYZ 坐标系是。全局坐标系是不动的；而牢嵌体内。关于的演算，通常用比较简易；因为，不随时间而改变。如果将（有九个分量，其中六个是独立的）对角线化，那么，会得到一组主轴，以及一个（只有三个分量）。 在里， 详尽的描述SO(3)的形式，对于精准的演算，是非常重要的， 并且几乎所有研究都采用欧拉角为工具。在早期的研究，对于理论方法（称为Gruppenpest)，与化学家仍旧持有极尖锐的反对态度的时候；对欧拉角的信赖，在基本理论研究来说，是必要的。

欧拉角的有一个简单的形式 ，通常在前面添上π2 / 8。欧拉角单位，又称欧拉参数，提供另外一种方法来表述三维。这与特殊的描述是等价的。方法用在大多数的演算会比较快捷，概念上比较容易理解，并能避免一些技术上的问题，如万向节锁(gimbal lock) 现象。因为这些原因，许多高速度程式制作都使用。

是最简单的。是由加上元素 i 组成，其中i^2 = -1。 相似地，四元数都是由实数加上三个元素 i、j、k 组成，而且它们有如下的关系： i^2

law），故威廉·卢云·哈密顿它似乎破坏了科学知识中一个最基本的原则。明确地说，四元数是复数的不可交换延伸。如把四元数的集合考虑成多维实数空间的话，四元数就代表着一个，相对于复数为。四元数是(除法环）的一个例子。除了没有的交换律外，环与域是相类的。特别地，乘法的仍旧存在、非零元素仍有唯一的素。四元数形成一个在实数上的四维（事实上是除法代数），并包括复数，但不与复数组成结合代数。四元数（以及实数和复数）都只是有限维的实数结合除法代数。四元数的不可交换性往往导致一些令人意外的结果，例如四元数的 n-阶多项式能有多于 n 个不同的根。

Bridge）。这条方程放弃了交换律，是当时一个极端的想法（那时还未发展出向量和矩阵）。不只如此，哈密顿还创造了向量的内外积。他亦把四元数描绘成一个有序的四重实数：一个纯量（a）和向量（bi + cj + dk）的组合。若两个纯量部为零的四元数相乘，所得的纯量部便是原来的两个向量部的纯量积的负值，而向量部则为的值，但它们的重要性仍有待发掘。哈密顿之后继续推广四元数，并出了几本书。最后一本《四元数的原理》（Elements of Quaternions）于他死后不久出版，长达八百多页。

四元数加法：p + q

四元数点积： p · q

四元数符号数：sgn(p)

其中 w,x,y,z是实数。同时，有:
其中v=(x,y,z)是矢量，w是标量，虽然v是矢量，但不能简单的理解为3D空间的矢量，它是4维空间中的的矢量，也是非常不容易想像的。
通俗的讲，一个四元数（Quaternion）描述了一个旋转轴和一个旋转角度。这个旋转轴和这个角度可以通过 Quaternion::ToAngleAxis转换得到。当然也可以随意指定一个角度一个旋转轴来构造一个Quaternion。这个角度是相对于单位四元数而言的，也可以说是相对于物体的初始方向而言的。
当用一个四元数乘以一个向量时，实际上就是让该向量围绕着这个四元数所描述的旋转轴，转动这个四元数所描述的角度而得到的向量。

有多种方式可表示旋转，如 axis/angle、欧拉角(Euler angles)、矩阵(matrix)、四元组等。 相对于其它方法，四元组有其本身的优点：
四元数不会有欧拉角存在的 gimbal lock 问题
四元数由4个数组成，旋转矩阵需要9个数
两个四元数之间更容易插值
四元数、矩阵在多次运算后会积攒误差，需要分别对其做规范化(normalize)和正交化(orthogonalize)，对四元数规范化更容易
与旋转矩阵类似，两个四元组相乘可表示两次旋转

每一个单位四元数都可以对应到一个旋转矩阵

单位四元数q=（s，V）的共轭为q*=（s，-V）

单位四元数的模为||q||=1；

一个向量r，沿着向量n旋转a角度之后的向量是哪个（假设为v），这个用四元数可以轻松搞定

p`=q * p * q^(-1) 这个可以保证求出来的p`也是（0，r`）形式的，求出的r`就是r旋转后的向量

同理一个旋转矩阵也可以转换为一个四元数，即给你一个旋转矩阵可以求出（s，x，y，z）这个四元数，