基于三维的一般弹性力学理论，我们来推导材料力学中梁弯曲的方程。在推导的过程中，引入材料力学中的变形假定，我们可以看到材料力学是怎么样从弹性力学一步步退化的。

一般的三维弹性力学问题，假设位移解 都是坐标的函数。 表示水平位移， 表示 方向的位移， 表示 方向的位移，在梁弯曲问题中也就是常说的挠度。考虑梁的弯曲问题，所以

我们从几何变形的角度来分析梁的弯曲，考虑梁上不在中线上的任意一点 ，点 的 坐标可以是任意的。在弯曲后变为点 。

由于是小变形，所以转角

点 到中性面的距离为 ，发生变形后，由于纵向纤维不挤压的假设， 的长度保持不变，在小变形假设下，我们得到 点的水平位移为

这就是梁弯曲的水平位移表达式。

梁弯曲的位移表示为 ， ,

材料力学梁的弯曲理论，假设 , , , 与 , 很小引起的应变可以忽略不计。

要注意的是， ，如果按胡克定律计算得到 。但是 是有值的，这是由于计算假定带来的误差，这个本构方程不能精确满足。

在梁的弯曲中， 是主要的应力，称为弯曲应力， 是次要的剪应力， 是挤压应力，是更小的量。

表示梁的抗弯截面系数。

这样我们就从弹性力学的角度得到了与材料力学相同的梁弯曲的内力 表达式。但是可能与有的材料力学书上推导的公式差了个负号，原因可能有

1. 定义的 坐标方向不一样，本文是向下，有的材料力学书是向上。
2. 的定义方向不同。不同的材料力学书定义弯矩顺时针为正还是逆时针为正不一样。

不管怎么样，我们用弹性力学定义的方向来求解都不会有错，这样得到的方程和材料力学是一致的，这说明了弹性力学与材料力学的深刻联系。

我们还可以从计算梁弯曲的应变能来体会这一点。

在考虑计算梁弯曲的应变能

在梁的弯曲中，只有 与 是成对存在的，所以

这就是从弹性力学的角度结合材料力学的基本假设得到梁弯曲的应变能，和在材料力学里面计算得到相同表达式。

上文基于弹性力学理论来分析材料力学，这是力学逻辑的严密性，也是力学之美。这种对比学习可以加深我们对力学的理解。并且这种分析方法对于分析板壳结构是非常有用的，板壳力学基于弹性力学，引入了一些计算假定，它的分析和这里讲的非常类似，但是几忽没有老师愿意来分析梁，但是这种分析是有意义的。

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