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1、.,格林公式及其应用,.,一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的条件,三、二元函数的全微分求积,.,一、格林公式,在一元积分学中，牛顿-莱布尼茨公式 ：,表示:,在区间a,b上的积分可以通过它的原函数,在这个区间端点上的值来表达。,下面介绍的格林公式告诉我们，在平面闭区域D上,的二重积分可以通过沿闭区域D的边界曲线 L 上的曲 线积分来表达。,.,设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分都 属D则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域 。通 俗的说，平面单连通区域就是不含“洞”（包括点“洞”）的 区域，复连通区域是含有“洞”（包含“洞”的区域）。,例如，平面上的圆形区域（x,y）

2、|1,4 或,2都是复连通区域。,（x,y）| 0,平面单连通区域的概念：,.,对平面区域D的边界曲线L，我们规定L的正方向如下： 当观察者沿L的这个方向行走时，D内在他近处的那一部 分总在他的左边.例如：D是边界曲线L及l 所围成的复连通 区域，作为D的正向边界，L的正向是逆时针方向，而l 的 正向是顺时针方向。,.,定理1：设闭区域D由分段函数光滑的曲线L围成， 函数P(x,y)及Q(x,y)在上具有一阶连续偏导数，则有,其中L是D的取正向的边界曲线。 公式（1）叫做格林公式。,(1),注意哦,对于复连通区域D,格林公式（1）右端应包括沿区 域D的全部边界的曲线积分，且边界的方向对区域D来

3、 说都是正向。,.,在公式（1）中取 P=-y，Q=x, 即得,上式的左端是闭区域 D 的两倍，因此有：,例 1 求椭圆,所围成的图形面积A,格林公式的一个简单应用：,.,根据公式（1）有：,例 2 设 L 是任意一条分段光滑的闭曲线，证明,解：,.,证明:,则,因此，有格林公式得,例 3 计算,其中 L 为一条无重,点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L 的方向为逆时针方向。,令,.,解：,则当,时，,有,记 L 所围成的闭区域为 D .当,时由格林公,式得：,令,.,当,时，选取适当的 r0 ，作为于D内的,圆周 l :,记 L 和 l 所围得闭区域为 D1 (如图)。,对复连通区域 D

4、1 应用格林公式，得,.,其中 l 的方向取逆时针方向，于是：,.,一般来说，曲线积分的值除了与被积函数有外， 还与积分的路径有关，但在自然界中许多问题的曲线 积分是与路径无关的。如重力场、静电场中研究力问 题时遇到的曲线积分，通常属于这种情况。,设 G 是一个开区域，且 P (x,y) , Q(x,y) 在G 内具有一阶连续偏导数。如果对于 G 内任意指定的 两个点 ：,二 平面曲线积分与路径无关,.,以及 G 内从点 A 到点 B 的任意两段曲线 L1，L2等式：,恒成立，则称 曲线积分,在 G 内与路径,无关，否则就称该曲线积分与路径有关，此时，从 A 到,B 的曲线积分可记为,或,.,

5、定理2 设二元函数P (x,y),Q(x,y)在单连通区域G 具有一阶连续偏导数，则在单连通区域 G 内下列条件等价：,（1）,（2）沿任意分段光滑的有向,（3）曲线积分,与路径无关。,闭曲线 L ，有,.,满足,注意：,(1) 定理中的等价关系是建立在单连通区域 内的，并且要求 P (x,y) ,Q(x,y) 在G 上具有有一阶连续偏导数，当这两个 条件之一不满足时，等价关系都可能不成立。,(2) 定理中命题(2)和(3)的等价区域可以不是单连通的。,(3) 若函数 P (x,y), Q(x,y) 满足定理2条件,.,例 4 设函数 Q(x,y) 在xoy面上具有一阶连续偏导数，曲线积分,与

6、路径无关，且对任意实数 t ，恒有,求函数 Q (x,y).,解： 由题意知曲线积分与路径无关，因而有,.,即,于是,其中,为任意可导函数。,如图所示，取点 A (t,0) , B (t,1) , C (1,0) , D (1,t) . 对所给等式,左端沿折线 OAB ,右端沿折线 OCD直线进行曲线积分，得,.,将前面得到的 Q (x,y) 代入上式，得,即,两段对 t 求导数 ， 得,或,故,.,三、二元函数的全微分求积,给定 u(x,y)，,-求二元函数全微分问题,-二元函数的全微分求积分题,讨论以下两个问题：,.,定理 3,设区域G 是一个单连通域，函数P(x,y)+Q(x,y) ，

7、在 G内具有一阶连续偏导数，则 在 G内是某个函数 的全微分的充分必要条件是：,在G内恒成立。,证明略。,推论：,.,说明：,(2) 推论给出了全微分求积得方法，即 ：可用积分法求,及动点M(x,y)，,.,.,例 ：,证：,.,小结,内容,应用,1、格林公式,常用来将较复杂的曲线积分的计算转化为较,简单的二重积分的计算.,2、曲线积分与路径无关的条件,.,3.等价条件,设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有,在 D 内与路径无关.,对 D 内任意闭曲线 L 有,在 D 内有,在 D 内有,.,求第二类曲线积分的思路:,.,专项练习,1 . 计算下面曲线积分，并验证格林公式的正确性：,解：,其中 L 是由抛物线,及,所围成的区,域的正向边界曲线；,.,故,用二重积分计算：,.,2. 利用曲线积分，求下面曲线所围成的图形面积： 圆 ：,解：,正确。,的参数方程为：,所以格林公式：,圆 ：,.,3 . 证明下面曲线积分在整个xOy 面内与路径无关，并计算积分值：,.,解:,在整个xOy平面内成立，所,以积分与路径无关。选取特殊的积分路径为从(1,1)到(2,1),到(2,3)的折线，则,因为,.,4 利用格林公式，计算下面曲线积分：,其中 L 为三顶点分别为,(0,0),(3,0)和(3,2)的三角形正向边界；,解：,所以,原式,因为,

* 第三节 格林公式及其应用 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径 无关的条件 三、二元函数的全微分求积 一、 格林公式 平面单连通区域: 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部 分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连 通区域. 通俗的说，平面单连通区域是不含有“洞”的区域. 例如 圆形区域： 上半平面： 都是单连通区域. 又例如 圆环形区域： 都是复连通区域. 若L是平面区域D的边界曲线，现规定L的正向如下 ： 我们沿L的方向行走时，D内在我们近处的那一部分总在我们的左边. 复连通区域 例如 定理1 (格林公式) 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数 注意: 格林公式表达了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系. 其中L是D的取正向的边界曲线，上式为格林公式. 证: 将格林公式分为两式 格林公式. 曲线积分 注意： 对复连通区域D应用格林公式，公式右端的L应包括沿区域D的全部边界，且边界的方向对D来说都是正向. 格林公式 即：闭区域D的面积可用封闭曲线的曲线积分来表示. 例1 求椭圆 解: 例2 L为任意一条分段光滑的闭曲线，证明： 证: 解: 解: 由已知可知此题有二种情况： (a)原点在D外 (b)原点在D内 (2) 原点在D内时 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 1、 什么叫平面上曲线积分与路径无关 恒成立. 2、曲线积分与路径无关的结论 3、定理2 在G内恒成立. 证:先证充分性 因G为单连通区域，故闭曲线C所围成的区域D全部在G内. 由格林公式有： 再证必要性，用反证法: 假设沿G内任意闭曲线的 由格林公式与二重积分性质，有： 注意： 定理2 格林公式 三、二元函数的全微分求积 1、 两个问题 (1) 函数 全微分； 2、定理3 在G内恒成立.