导读：极限是研究函数最基本的方法，它描述的是当自变量变化时函数的变化趋势.要由数列极限的定义自然地过渡到函数极限的定义,关键在于搞清楚数列也是函数这一点.数列可看作一个定义域为自然数集的函数,其解析表达式为an=f(n). 关键词：极限，数列，函数极限概念是数学分析中

最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、方法等问题.

数列极限的ε-N定义是极限理论的重点与核心.

设有数列{an}与常数A，如果对于任意给定的正数ε（不论它有多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|an-A|

读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于A或an趋于A”。数列极限存在，称数列{an}为收敛数列，否则称为发散数列.

上述定义的几何意义是：对于任何一个以A为中心，ε为半径的开区间（A-ε,A+ε），总可以在数列{an}中找到某一项aN，使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{an}的有限项（N项）.

对于正整数N 应该注意两点：其一，N是随着ε而存在的，一般来讲，N随着ε的减小而增大，但N不是唯一存在的；其二，定义中只强调了正整数N的存在性，而并非找到最小的N，我们只关注第N项以后的各项均能保持与常数a的距离小于给定的任意小正数ε即可.

（2）若数列{an}收敛，则{an}为有界数列；

（3）若数列{an}有极限A，则其任一子列{ank}也有极限A；

（5）保序性，即若，且AN1时an

定理1 （收敛数列与其奇、偶项数列间的关系）数列{an}收敛于a的充分必要条件是它的奇数项数列{a2k-1}和偶数项数列{a2k}都收敛，且收敛于]函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得对于满足不等式的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式，则常数A为函数f(x)在x→x0时的极限，记作

上述定义的几何意义是：将极限定义中的四段话用几何语言表述为

1对：任意以两直线为边界的带形区域；

2总：总存在（以点x0位中心的）半径；

3当时：当点x位于以点x0位中心的δ空心邻域内时；

4有：相应的函数f(x)的图像位于这个带形区域之内.

（2）自变量趋于无穷大时函数的极限：设函数f(x)在|x|大于某一正数时有定义，如果任给ε>0，总存在着正数Χ，使得对于适合不等式|x|>Χ的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|

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只看定理确实比较复杂，证明数列收敛一般都是先证明有界，在证明它单调。

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1、数列极限与函数极限的统一论文导读：“极限”是研究函数最基本的方法，它描述的是当自变量变化时函数的变化趋势.要由数列极限的定义自然地过渡到函数极限的定义,关键在于搞清楚 “数列也是函数”这一点.数列可看作一个定义域为自然数集的函数,其解析表达式为an=f(n).关键词：极限，数列，函数极限概念是数学分析中最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、方法等问题.数列极限的-N定义是极限理论的重点与核心.数列极限1定义设有数列an与常

2、数A，如果对于任意给定的正数 （不论它有多么小），总存在正整数N，使得当nN时，不等式|an-A|0，则存在正整数N1，nN1时an0；（5）保序性，即若 ，且AN1时an0，总存在着正数，使得对于适合不等式|x|的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|0，使得f(x)在去心邻域内是有界的，当x趋于无穷大时，亦成立；（3）局部保号性若，则存在10，使得时，f(x)0，当x趋于无穷大时，亦成立；（4）局部保序性若，且A0，使得时f(x)N时，bnancn；2则数列an的极限存在，且 .（2）函数极限的夹逼准则（以xx0和x为例）如果1（或|x|M）时，有2（或），则（或）（3）

3、一个重要不等式时，2单调有界数列必有极限3柯西（Cauchy）极限存在准则数列an收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数，存在着这样的正整数N，使得当m，nN时，有|xn-xm|N时，不等式|an-A|0，则存在正整数N1，nN1时an0；（5）保序性，即若 ，且AN1时an0，总存在着正数，使得对于适合不等式|x|的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|0，使得f(x)在去心邻域内是有界的，当x趋于无穷大时，亦成立；（3）局部保号性若，则存在10，使得时，f(x)0，当x趋于无穷大时，亦成立；（4）局部保序性若，且A0，使得时f(x)N时，bnancn；2则数列an的极限

.（2）函数极限的夹逼准则（以xx0和x为例）如果1（或|x|M）时，有2（或），则（或）（3）一个重要不等式时，2单调有界数列必有极限3柯西（Cauchy）极限存在准则数列an收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数，存在着这样的正整数N，使得当m，nN时，有|xn-xm|.数列极限与函数极限的联系数列可看作一个定义域为自然数集的函数,当自变量从小到大依次取自然数时,便得到相应的一系列函数值, 其解析表达式为an=f(n)；函数是连续的,数列相当于一个函数中的一些独立的点，表现在图形上数列是无数的点，而函数是一段曲线；把数列中的n用x来替换后如果函数f(x)存在极限则数列也必定有极

5、限，但是反之不成立。论文大全，函数。数列an的极限一般都是指n的变化使得极限值的产生，而n是一个正整数，函数的极限中自变量x可以趋向任何值，由此可知函数的极限更广泛。计算极限的常用方法1. 利用洛必达法则三这是最常用的方法，主要针对未定型极限：注意与其他工具（无穷小代换、变量代换、不定式因子的分离、各种恒等变形、泰勒公式等）相结合.2. 利用已知极限3. 利用泰勒公式4. 利用迫敛性5. 利用定积分求和式极限6. 利用数列的递推关系计算极限7. 利用级数的收敛性计算极限8. 利用积分中值定理计算极限计算数列和函数极限的关键是综合运用各种计算极限的方法，并不断总结，才能较好地掌握计算极限的方法.参考文献1.CalculusandItsApplications(EighthEdition)，(美)MarvinL.Bittinger著，杨奇毛云英译，机械工业出版社，2006.72.高等数学及其教学软件（第二版），上海交通大