数列极限与函数极限的关系与区别数学论文

2014届本科毕业论文(设计) 题目：数列极限与函数极限的关系与区别 所在学院：数学科学学院 专业班级：数学与应用数学09-3班 学生姓名： 指导教师： 答辩日期：2014年5月5日 新疆师范大学教务处 新疆师范大学2014届毕业生毕业论文（设计） 目 录 TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l _Toc2028 引言 2 HYPERLINK \l MERGEFORMAT PAGE \* MERGEFORMAT - 3 - 摘要：数列极限和函数极限是数学分析中最重要的部分，数学中的极限包括数列极限和函数极限，“极限”是我们研究函数的最重要的工具方法，用极限来定义：函数的连续性，导数，积分等数学分析中的最重要的概念。 数列极限和函数极限即有区别又有联系，正确理解极限理论和性质是对学习微积分的基础，数列极限的定义和函数极限的定义往往使学习者感到学习数学分析的难度程度，如果用几何意义来解释比较易掌握，研究数列极限时常考虑到该数列是否存在极限，研究函数极限时，从函数值的变化趋势来判断着极限是否存在极限。 关键词：数列极限；函数极限；关系；区别 新疆师范大学2014届毕业生毕业论文（设计） 数学分析中的极限分为数列极限和函数极限，数列极限和函数极限是对学习数学分析的最重要的方法，即极限概念是研究数列和函数的重要工具，这是数学分析区别于初等数学的重要标志。我们通过极限理论来定义数学分析中的连续性，导数，积分等重要概念，极限概念中的数列极限的定义和函数极限的定义的难度比较大，难以理解，我们常用几何方法来解释内容，同时意识到极限对学数学分析中最重要的概念。 1.数列极限 1.1数列极限的定义： 设是一个数列，是实数，如果对任意给定的，总存在一个整数，当时，都有,我们就称是数列的极限或者称数列收敛，且收敛于,记为： 或（） 就读作“当趋于无穷大时，的极限等于或趋于数列极限存在，称数列极限。 若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列。 1.2数列极限的定义及注意点： (1)的任意性 定义中的整数，作用是数列通项与常数的接近程度，越小越接近，而整数可以任意的小，说明和接近到什么程度，用的任意性来找出整数。 (2)的相应性 一般说，随着的变小而变大，常来强调是依赖于的，但这并不是说是由唯一确定的，这里重要的是的存在性，而不是它的值的大小，与的大小无关。 (3)几何意义 数列的极限是的几何意义是对任意的，任意一个以为中心，以为半径的领域或开区间,数列中总存在一项在此项后面的所有项，（即除了前项以外）它们在数轴上所对应的点，都位于的领域或区间之中，之多有个点,在此领域区间之外，

系列简介：这个系列文章讲解高等数学的基础内容，注重学习方法的培养，对初学者不易理解的问题往往会不惜笔墨加以解释。在内容上，以国内的经典教材”同济版高等数学“为蓝本，并对具体内容作了适当取舍与拓展。例如用ε-δ语言证明函数极限这类高等数学课程不要求掌握的内容，我们不作过多介绍。本系列文章适合作为大一新生初学高等数学时的课堂同步辅导，也可作为高等数学期末复习以及考研第一轮复习时的参考资料。文章中的例题大多为扎实基础的常规性题目和帮助加深理解的概念辨析题，并适当选取了一些考研数学试题。所选题目难度各异，对于一些难度较大或对理解所学知识有帮助的“经典好题”，我们会详细讲解。阅读更多“高等数学入门”系列文章，欢迎关注数学若只如初见！

上一节中我们介绍了函数极限的唯一性、局部有界性和局部保号性，这些性质在数列极限中都有“对应物”，本节我们来介绍数列极限中收敛数列与其子列关系在函数极限中的“对应物”，即函数极限与数列极限的关系。（由于公式较多，故正文采用图片形式给出。）

关于收敛数列与其子列关系的介绍见下文：

二、对定理条件的理解。

对“函数在某点处极限存在，但函数在该点处可能无定义”的介绍见下文：

对“改变数列有限项不影响其极限”的介绍见下文：

三、对本节的定理的“加强”。（可以证明本节定理的逆命题也成立，把二者结合起来就得到用数列极限描述函数在某点处极限存在的一个充要条件。）

四、对海涅定理的理解。（你如何理解函数极限中的“极限过程”？）

五、利用数列极限证明函数极限不存在的方法。

六、证明函数在某点处极限不存在的典型例题。

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只看定理确实比较复杂，证明数列收敛一般都是先证明有界，在证明它单调。