直观的理解你可以想象一个三维的球，球心是a点，半径是ε ，如果一个无穷数列向a点靠近，并且满足——对于每一个给定的任意的正值ε（任意小），总存在一个N(ε)，使得当n>N(ε)（临界值）时，数列的这后【无穷多项】都可以被这个以ε为半径的小球包裹住，从而总是可以只把【有限的】数列前几项留在小球的外边，这时，就说这个小球的圆心——a，是数列的极限。 总之，重点在对于任意半径ε，这个球总可以约束住了这个数列的无穷的尾巴，就说这个数列是有极限的。 然后你把三维换到一维实数轴上，“在小球之内”就表达为∣Xn-a∣<ε。 非数学专业，说错了欢迎各位赐教。

ε——>N映射关系的确立，严谨地动态表达了如果Xn的极限a存在，Xn可以与a的距离【要多小就有多小】。【要多小】由给定的邻域半径ε表达，所以ε又可称之为“精度”，【就有多小】靠临界值N来检验。

这个我们初学数学分析的时候都遇到过这种不理解的感觉。其实真的很容易解释。 ======================+ 首先讲一讲历史，极限的概念刚出来的时候，是不严密的，牛顿那个年代的以及之后有很多人都认为，求极限，这是很诡异的东西。这引起了一场数学危机。去看看欧拉的经典，有本书就叫《无穷小分析》。极限这个概念贯穿了整个分析学，这是一个基础的概念，为了使这个概念严密起来，多位数学家对此做出了贡献，现在我们最常用的，也就是楼主说的那个定义是威尔斯特拉斯提出的，讲极限，建立在无可争议的算数的基础之上。 ===================== 也就是说，这是极限的算术化。 于是现在我们来这么理解这个定义： c 首先，a是数列的极限，也就是说，数列里面的项应该随着n的增长越来越接近于这个极限值，那么接近的程度越来越大，用算术的语言来说就是数列的项与极限值的距离（也就是两个数的差）越来越小，这个小的程度用个不等式来表达，我们就有了ε，这里说任意的ε，其实是说任意小的ε，也就说明了项与极限值的距离可以任意小，任意任意超级特别及其小都可以。 但是，每次取定一个ε，不可能对于数列的每一项都能与极限值接近到这样的程度，所以有了N，这就像是一个门槛，过了这个门槛，我们就能够保证这之后的每一项都可以达到这么接近的程度。至于之前的项，那就无所谓啦啦，只有有限项而已。所以有n>N,这个东西。每次ε变得更小，也就是说误差变得越小，前面就会有越来越多的项不能达到接近程度而被踢出去，也就是说N会越来越大，但不论怎么说，总是有限的，而后面有无限项达到了接近的要求，也就是满足那个不等式。门槛越来越高，要过门槛的n自然必须高过门槛才过的去。 ===============就是这么个简单的意思，以后你还会看到函数极限，类似的，但复杂一点点。

直观的理解你可以想象一个三维的球，球心是a点，半径是ε ，如果一个无穷数列向a点靠近，并且满 直观的理解你可以想象一个三维的球，球心是a点，半径是ε ，如果一个无穷数列向a点靠近，并且满足——对于每一个给定的任意的正值ε（任意小），总存在一个N(ε)，使得当n&gt;N(ε)（临界值）时，数列的这后【无穷多项】都可以被这个以ε为半径的小球包裹住，从而总是可以只把【有限的】数列前几项留在小球的外边，这时，就说这个小球的圆心——a，是数列的极限。 总之，重点在对于任意半径ε，这个球总可以约束住了这个数列的无穷的尾巴，就说这个数列是有极限的。 然后你把三维换到一维实数轴上，“在小球之内”就表达为∣Xn-a∣&lt;ε。 非数学专业，说错了欢迎各位赐教。

您这样一说我就理解了！教科书这样备注下就好了！

极限是无限迫近的意思。 数列 {Xn} 的极限的极限是a，代表数列xn无限迫近a。 从直观上理解，就是数列Xn能无限的靠近a。 从数学上讲，怎么才能算无限迫近呢？ 于是就出现了ε的概念，ε 其实代表距离，ε 无限的小，就表示Xn可以无限的靠近a Xn是一个追求者，a是目标，1 - n，是步伐， N是追求的过程中的某一个步伐。 Xn不停的往前走，走到N的时候，Xn与a的距离已经很小了，甚至比 ε 还小。 现在假定ε 无穷的小，那么Xn就无穷的接近a了。

哪里不懂呢？就是无限趋近数轴上某一个点，想要多近就有多近，只有n足够大。

就是想要多精确就能过精确的意思，想要精确到十分之一可以，数列某项之后的所有项跟a的误差都在十分之一之内。想要精确到百分之一吗，可以，然后就重复上边的说法。

ε和N没有直接关系。n>N，N为任意正整数常量。这个定义本身已经直观得不能再直观了…非要用比较自然的语言说的话，就是数列的下标大于某个给定的正整数时(趋于无穷)，数列的值与某个固定的数(数列的极限)的差，小于事先给定的任意正数(无穷小)…当然这么说其实就没有原定义那么严谨了…

你说的很好理解，但有一点理解不了，n-1是步伐这个，请问n-1怎么理解？

不是n-1， 是1-n，中間是破折号，是指从1到n的意思。 这里有一点要注意，在这个无限追逐的过程中，可能会有稍微的远离，但是在大方向上是无限迫近的，那么就可以有极限。 以下举两个例子： 1， 假设前进10步，但是远离一步，然后又前进10步，那么就说明存在极限。 2， 假设前进10步，又远离10步，然后又前进10步，如此循环，那么说明不存在极限。

不是n-1， 是1-n，中間是破折号，是指从1到n的意思。 这里有一点要注意，在这个无限追逐的过 不是n-1， 是1-n，中間是破折号，是指从1到n的意思。 这里有一点要注意，在这个无限追逐的过程中，可能会有稍微的远离，但是在大方向上是无限迫近的，那么就可以有极限。 以下举两个例子： 1， 假设前进10步，但是远离一步，然后又前进10步，那么就说明存在极限。 2， 假设前进10步，又远离10步，然后又前进10步，如此循环，那么说明不存在极限。

极限是定量，而逼近过程是动态的，逼近过程不易描述，故采用误差之说进行静态定义

学这个没什么用 做点有意思的

一个数列有无穷个数字在里面。如果这个数列分布在有限的区间里，那么这个数列必然会聚集在某些点的周围。这种点叫做聚点，这个概念在更高的分析课程里会碰到。如果只有一个聚点，那麽这个点就是该数列的极限。除了极限为无穷的特殊情形外，一个数列有有限极限的情形就是这样。这就是直观的解释，不需要epsilon和N的使用。 如果更严格一些，那就使用epsilon和N来定量地叙述极限的定义。其意思是说在极限点a的附近总有这个数列的无穷个元素存在。这个附近到底有多近用定量表示，就是指距离不超过epsilon。极限的定义是说对于任意选定不管多小的epsilon，前面这个说法都成立。距离越小说明靠得越近。不管你选定epsilon有多小，只要你让N足够大，数列中所有的对应项在n>N之后就全部落在了距离epsilon的范围内。所以N是随着epsilon变小而变大。这就是直观的理解。 对这个东西的理解程度，几乎可以用来判断你是否能学好数学中所有分析类课程。如果你完全理解这个东西，我恭喜你基本达到了完成大学阶段所有分析类课程的基本智力要求。学纯数学的人如果没有这个本领，恐怕他将来难得在事业上有所造就。学应用数学的不理解这个概念恐怕也难以攀高，比如概率理论统计学里面都要用到这个极限概念。当今信息数学里的大数据分析虽然是离散数学，背景知识仍然要用到极限概念。理解不了这个概念恐怕在将来的发展中也会大打折扣。 即使不主修数学的人，如果你能够掌握这个极限概念那么可以说明将来你的学业能够到达比较高深的地步。学物理计算机以及几乎任何其他学科的人，如果具备这个能力垫底只会在将来的事业中更加得心应手。因为它代表着一个人思维能力的提高。能否理解这个东西，甚至可以作为智力开发到了某种程度的标志。

建议看louis的回答，就在楼上，N是以普西戎的函数，你的说法是错的

说的很对，分析学锻炼了一个人的思维方式和思维能力，它决定了你以后发展的高度。！

如果数列有极限值，是不是数列的极限值不在数列的元素中？

不一定。 数列恒为常数A，极限为A，在数列中。 数列为1/n，极限为0，不在数列中。

不一定。 数列恒为常数A，极限为A，在数列中。 数列为1/n，极限为0，不在数列中。 不一定。 数列恒为常数A，极限为A，在数列中。 数列为1/n，极限为0，不在数列中。

极限是1，你说在不在？

极限是1，你说在不在？ 极限是1，你说在不在？

额，我认为只能无限接近0.999...不能取到，这恰是极限的定义。。

额，我认为只能无限接近0.999...不能取到，这恰是极限的定义。。 额，我认为只能无限接近0.999...不能取到，这恰是极限的定义。。

→∞）其值就是0.999…（n个9），0.999…就是数列1-1/(10^n)中无限接近1的那个点。 可以吗？

对一个物理量进行测量，假设存在某种机制可以保证随着测量次数的增多，测量的精确度可以不断改善，以至于无论要求多精确，都可以在测量足够多次之后满足这个要求，那么我们就说测量是精确的，或者说，测量的结果趋于某个极限，这个极限就是被测量的精确值。

您說得真好，我完全理解了。 聽君一席話，勝讀十年書。

你這種解釋也好棒，也能讓人完全理解。 大拇指！！！

还有若这个e很大，那么这个极限不是没有意义了么？

这个我们初学数学分析的时候都遇到过这种不理解的感觉。其实真的很容易解释。 ================= 这个我们初学数学分析的时候都遇到过这种不理解的感觉。其实真的很容易解释。 ======================+ 首先讲一讲历史，极限的概念刚出来的时候，是不严密的，牛顿那个年代的以及之后有很多人都认为，求极限，这是很诡异的东西。这引起了一场数学危机。去看看欧拉的经典，有本书就叫《无穷小分析》。极限这个概念贯穿了整个分析学，这是一个基础的概念，为了使这个概念严密起来，多位数学家对此做出了贡献，现在我们最常用的，也就是楼主说的那个定义是威尔斯特拉斯提出的，讲极限，建立在无可争议的算数的基础之上。 ===================== 也就是说，这是极限的算术化。 于是现在我们来这么理解这个定义： c 首先，a是数列的极限，也就是说，数列里面的项应该随着n的增长越来越接近于这个极限值，那么接近的程度越来越大，用算术的语言来说就是数列的项与极限值的距离（也就是两个数的差）越来越小，这个小的程度用个不等式来表达，我们就有了ε，这里说任意的ε，其实是说任意小的ε，也就说明了项与极限值的距离可以任意小，任意任意超级特别及其小都可以。 但是，每次取定一个ε，不可能对于数列的每一项都能与极限值接近到这样的程度，所以有了N，这就像是一个门槛，过了这个门槛，我们就能够保证这之后的每一项都可以达到这么接近的程度。至于之前的项，那就无所谓啦啦，只有有限项而已。所以有n&gt;N,这个东西。每次ε变得更小，也就是说误差变得越小，前面就会有越来越多的项不能达到接近程度而被踢出去，也就是说N会越来越大，但不论怎么说，总是有限的，而后面有无限项达到了接近的要求，也就是满足那个不等式。门槛越来越高，要过门槛的n自然必须高过门槛才过的去。 ===============就是这么个简单的意思，以后你还会看到函数极限，类似的，但复杂一点点。

一个数列有无穷个数字在里面。如果这个数列分布在有限的区间里，那么这个数列必然会聚集在某些点 一个数列有无穷个数字在里面。如果这个数列分布在有限的区间里，那么这个数列必然会聚集在某些点的周围。这种点叫做聚点，这个概念在更高的分析课程里会碰到。如果只有一个聚点，那麽这个点就是该数列的极限。除了极限为无穷的特殊情形外，一个数列有有限极限的情形就是这样。这就是直观的解释，不需要epsilon和N的使用。 如果更严格一些，那就使用epsilon和N来定量地叙述极限的定义。其意思是说在极限点a的附近总有这个数列的无穷个元素存在。这个附近到底有多近用定量表示，就是指距离不超过epsilon。极限的定义是说对于任意选定不管多小的epsilon，前面这个说法都成立。距离越小说明靠得越近。不管你选定epsilon有多小，只要你让N足够大，数列中所有的对应项在n&gt;N之后就全部落在了距离epsilon的范围内。所以N是随着epsilon变小而变大。这就是直观的理解。 对这个东西的理解程度，几乎可以用来判断你是否能学好数学中所有分析类课程。如果你完全理解这个东西，我恭喜你基本达到了完成大学阶段所有分析类课程的基本智力要求。学纯数学的人如果没有这个本领，恐怕他将来难得在事业上有所造就。学应用数学的不理解这个概念恐怕也难以攀高，比如概率理论统计学里面都要用到这个极限概念。当今信息数学里的大数据分析虽然是离散数学，背景知识仍然要用到极限概念。理解不了这个概念恐怕在将来的发展中也会大打折扣。 即使不主修数学的人，如果你能够掌握这个极限概念那么可以说明将来你的学业能够到达比较高深的地步。学物理计算机以及几乎任何其他学科的人，如果具备这个能力垫底只会在将来的事业中更加得心应手。因为它代表着一个人思维能力的提高。能否理解这个东西，甚至可以作为智力开发到了某种程度的标志。

在我看来极限不应与普通数学混为一谈，因为它本不存在。引入该方面定义只为更好更方便的研究数学。 我觉得，极限值或说逼近值本身应与数列“无关”，不存在于数列中，因为一般认为的数列都是指的确定项，很明显这与无限/极限的本意背道而驰。 但是通常的极限定义确似乎并没有把数列的极限和数列本身进行捆绑与否的描述。可能因为相关讨论确实意义不大就是了。

数列的极限不在数列之中。 函数Y=X ^3，（X从0向2变化，X≠2），Y得到的函数值只能接近8。 函数Y=X ^3，（X从0向2变化，X≠2），Y的极限值是8。 在X接近2、X不等于2的前提下，极限值8不是Y的函数值，≠8的值是可以Y的函数值。 X ^3 （x→2 x≠2） =？ X ^3 （x≠2） ≠8 X ^3 （x=除2以外的任何数） ≠8 X ^3 （x→2，x的任何取值都是除2以外的数 ）≠8 X ^3 （x从左右无限接近2，x的任何取值都是除2以外的数 ）≠8 所以 X ^3 （x→2 x≠2）≠8 （3） 但是 lim X ^3 （x→2 x≠2）=8 （4） 式（3）、（4）间的最小差值量可以是无穷小量。 所以对0.999…求极限所得到的极限值不是0.999…自身。 0.999…≠lim 0.999…（小数点后存在n位9，n → ∞）。 一个函数是描述每个输入值对应唯一输出值的这种对应关系。极限理论的精度足够高，但不是在求对应唯一输出值，是在函数值外被另外定义出的一个值，是求函数值的近似值，是求最接近函数值域的值，极限值与函数值域间的差是无穷小量。对0.999…求极限所得到的值与0.999…比较，定量来说误差是无穷小量，定性来说其值不是0.999…。

所谓对“极限”可以“无限地”逼近，必以可以进行“无限的分割”作为前提，但有对可进行“无限分割”的确定证明吗？？从来没有！ 这里倒有一个其一维空间中的“线段”不可能分割（划分）为“无限多”的无穷小“线量”(即无穷小一维空间)的证明： 如果“线段”能够分割（划分）为“无限多”的无穷小“线量”，那么这无穷小“线量”，彼此应该相等。如果不相等，则各“线量”有大小，故有些“线量”必然不是无穷小“线量”，所以“线段”也决不可能是由“无限多”的无穷小“线量”所组成。而数学几何“不可公度线段”的发现，则证明了“线段”是由无限多“彼此相等的无穷小线量”所组成的非存在性。 所以，“线段”(有限一维空间)不可能分割（划分）为“无限多”的无穷小“线量”(无穷小一维空间)！ 现有数学教材：“线段存有无穷多的点”，由上面的证明可引伸知：这不尽正确的观点该在数学教材上得到修正！

由此也不难看出：尽管多少数学家们费尽心思地想弥补“微积分基础”的漏洞，迄今为止，仍是未能摆脱苦恼的宭境。

我只知道，解这类极限定义题的时候。ⅠXn-aⅠ＜ε要可以推出n＞N。

由此也不难看出：尽管多少数学家们费尽心思地想弥补“微积分基础”的漏洞，迄今为止，仍是未能摆 由此也不难看出：尽管多少数学家们费尽心思地想弥补“微积分基础”的漏洞，迄今为止，仍是未能摆脱苦恼的宭境。