第6节 一元二次方程及根与系数关系

时，方程有两个不相等的实根；

时，方程有两个相等的实数根；

3.根与系数关系（韦达定理）

没有实数根，试判断关于

，此时方程有两个不等实根。

时，方程只有一个实根；

时，方程有两个不等实根.

例2.不解方程，求作一个一元二次方程，使其两根分别是方程

依题意，所求方程的两根分别为

总结：求作新方程的关键在于求出新方程的两根和与两根积，分别作为新方程中一次项系数的相反数和常数项，而二次项系数取

的两个实数根的平方和是

，此时方程原方程有两个实数根，故

解：(i)当原方程的两根为一正一负时，则有

(ii)当原方程的两根为一正一零时，则有

总结：类似一元二次方程两根的正、负、零的分布问题，都可根据判别式和韦达定理确定其成立的条件，归纳如下：

(2)两根一正一负，则

如果正根的绝对值大，还应加上”

如果负根的绝对值大，则加上”

如果两根互为相反数，则加上”

(3)两根至少有一正根，则有

(4)两根中最多有一正根，则包括以下五种情况：一正一负、一正一零、两负、一负一零、两根都为零，即为“非两根为正”的情形，运用逆向思维取“两根为正”的结论的反面就简单多了。例如，在例题中“两根均为正”时可得时就有“非两根为正”。

对于负根的情况，可仿照正根讨论.

的两根为相等的实数，则方程

有两个不等实根且两根的平方和小于

有且只有一个公共解，则

7.解下列关于x的方程

有两个不相等的实数根，求

10.已知以下三个二次方程有公共根：

(2)求这三个方程的根；

11.不解方程，判断方程

两实数根的平方和最小？并求出这个两实数根.

每题都有视频讲解哦，看不懂答案可以看视频哈。

时五两个正根即至少有一个正根.

，代入三个方程后叠加，由

的一元二次方程哟实根；由

必须是一个完全平方数，即关于

的范围内求两根平方和的最小值.

收费部分为参考答案详细讲解视频，谢谢支持！

本文主要围绕以下定理，并对相关知识点做回顾和扩充。

定理：设，...，（实数或者复数，可以重复）是阶方阵的个特征值，即，则

通俗描述即为：矩阵的特征值之和等于矩阵的迹，矩阵的特征值之积等于矩阵的行列式。

以下分为五个部分介绍：

• 矩阵的特征值及特征向量
• 解释矩阵的特征值之和等于矩阵的迹，之积等于矩阵的行列式

韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。

对于一元二次方程（且），设两个根为，。

以上定理交代了两根之和（积）与方程系数的关系。

对于一元三次方程，设三个根为，，。

推广定理：韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系，还可以推广说明一元n次方程根与系数的关系。

设复系数一元n次方程，其中代表第次项的系数，代表常数项。

即：所有根之和为（n-1）次项系数与n次项系数之比的相反数，所有根之积为常数项与n次项系数之比再乘以

注：该推广形式的证明一般无法根据求根公式进行，因为5次以上的一元方程没有求根公式。证明步骤较繁琐，是通过将左边的多项式因式分解成之后，再去括号，比较相同次数的项的系数从而得出结论。这个方法具有普遍性，即使是有求根公式的方程，亦可以通过该方法证明韦达定理，而无需借助求根公式。

1、矩阵行列式的基本介绍

一个的方阵A的行列式记为det(A)或者|A|，一个2×2矩阵的行列式可表示如下：

把一个阶行列式中的元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式,记作。记，叫做元素的代数余子式。例如：

注意：余子式和代数余子式是行列式中才有的概念。如上所示，此时的代表行列式，代表元素的余子式，代表元素的D代数余子式。

命题：n阶行列式det(A)等于它的任一行(列)的所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和：

（其中，可以取任意的行号1,2,3,...,n）

（其中，可以取任意的列号1,2,3,...,n）

2、矩阵行列式的几何理解

一句话概括之，行列式的本质就是线性变换的放大率（伸缩因子）。

几何理解：表示维空间到维空间的线性变换，假想原来空间中有一个维的“立方体”（任意形状），其中“立方体”内的每一个点都经过这个线性变换，变成维空间中的一个新立方体，设原立方体的体积为，新立方体的体积为，行列式。

理解行列式之前，需要先理解线性变换。

线性代数中的线性变换：转换矩阵乘以向量就是对其进行了线性变换，从而得到转换之后的向量。

线性变化中的“”线性”二字，也就是原来的一条直线，在变换了之后还应该是直线。

任何一个空间都可以由一组基构成，也就是说，这个空间上的任何一个点（向量）都可以由这组基以线性组合的形式得到。

如下图，也可以写作（和为基向量，，）

假设我们有原向量，变换（旋转）矩阵，从而得到转换之后的向量。

从基向量的角度解释：矩阵对向量的变换，其实是施加在其基底上的变换，而新的向量关于新的基底的线性组合,与原来的向量是关于基底的线性组合是一样的。，，，线性组合系数为（2,3），，经过矩阵的线性变换之后变成新的基底，，新向量。

注意：关于旋转矩阵的由来及推导可见《》 

所以我们说，一个向量，在经过一个矩阵的变换之后，改变的是组成向量的基，而这个向量关于基的线性组合方式是没有变化的。

换句话说，对于一个线性变换，我们只需要跟踪其基在变换前后的变化，便可以掌握整个空间的变化。而矩阵的列其实与变换后新的基底之间有着某些联系，也就是说，新的基底其实就是矩阵的列向量的线性组合，其中是的列。

以上的图形展现的是“旋转”的线性变化，其本质是改变组成向量的基。接下来我们“推移”是怎么改变基的，如下图。

推移矩阵把推移到实际上也是改变了的基底。

有原向量，变换（推移）矩阵，从而得到转换之后的向量。

从基向量的角度解释：设，，，线性组合系数为（2,3）；，经过矩阵的线性变换之后变成新的基底，，新向量。

以上面的旋转矩阵为例，我们对其求行列式，意味旋转矩阵的行列式恒等于1，且不改变面积（或体积），如下图二维平面的旋转展示。

 即和上面的结论相符：行列式是线性变换的伸缩因子。

• ，对图形起到放大作用；

• ，对图形起到缩小作用；

• ，改变了基的“左右手法则”。

由上面我们已经知道，行列式是线性变换的伸缩因子，所以很容易得到：

从“体积”的角度理解为：两次对“体积”的缩放效果是累积的，且和两次操作次序无关。

4）“矩阵可逆” 完全等价于 “”

且有逆矩阵的性质：（为单位矩阵）

如果，则，无意义，即不存在，即矩阵不可逆。

可以理解为线性变换矩阵把维立方体给拍扁了（原来维变成了维或维，....），例如把3维立方体拍成2维的纸片，纸片体积多少呢？当然是 0 啦！

注意：这里说的体积都是针对维空间而言的，就表示新的立方体在维空间体积为0，但是可能在维还是有体积的，只是在维空间的标准下为0而已。好比一张纸片，“2维体积”也就是面积可以不为0，但是“3维体积”是0。

所以凡是的矩阵都是不可逆的，因为这样的变换以后就再也找不到一个矩阵将其变换回去，这样的矩阵必然是没有逆矩阵的。

1、矩阵的迹的基本介绍

在线性代数中，一个矩阵的主对角线（从左上方至右下方的对角线）上各个元素的总和被称为矩阵的迹（或迹数），一般记作，。

四、矩阵的特征值及特征向量

1、矩阵的特征值、特征向量的基本介绍

以下知识点来自吴传生主编的《线性代数》

设是阶方阵，如果标量和维非零列向量使关系式成立，则称是方阵的特征值，非零列向量称为的对应于特征值的特征向量。可改写为。

这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是，即

2）特征值、特征向量的求解

求n阶方阵的特征值和特征向量的步骤如下：

3）特征值、特征向量的几何解释

上面我们提到，线性变换其实是施加在其基底上的变换，在以为基底的二维空间中，向量经过矩阵变换，变成，可以观察到，调整后和在同一条直线上，但是相对于延长了。

此时，我们就称是的特征向量，而的长度是的长度的倍，就是特征值。

所以可以理解为，在的作用下，保持方向不变进行比例为的伸缩。

如果把矩阵看作是运动，则特征值就是运动的速度，特征向量就是运动的方向。

五、解释矩阵的特征值之和等于矩阵的迹，之积等于矩阵的行列式

1、矩阵的特征值之和等于矩阵的迹

已知求阶方阵的特征值，即求阶方阵的特征多项式的全部根，即求

由韦达定理可知：设，其中代表第次项的系数，代表常数项。则，其中，为的系数等于（当为奇数时等于-1，偶数时为1）；为的系数，除了主对角元的乘积的展开项之外，其他展开项的次数都小于，因此次项的系数就是 中的系数，等于（当为奇数时为负，偶数时为正），则，即矩阵的特征值之和等于矩阵的迹。

2、矩阵的特征值之积等于矩阵的行列式

同样根据韦达定理可知，，其中，为的系数等于（当为奇数时等于-1，偶数时为1），则可化简为，已知特征多项式，我们令，求得，代表阶方阵的行列式，即，矩阵的特征值之积等于矩阵的行列式。

特征值，理解为通过变换改变了观察者视角，由特征向量产生新的正交基，每个特征值对应着特征向量所在方向上的缩放系数，

行列式，理解为有向体积的缩放系数。

特征值在每个维度上缩放系数之乘积就是总的有向体积缩放系数。

如下图所示，原来的长方体体积，缩放之后的长方体体积等于。

　　初中数学指数运算知识点有哪些?想了解更多的信息吗?一起来看看，以下是学习啦小编分享给大家的初中数学指数运算知识点，希望可以帮到你!

　　初中数学指数运算知识点

　　1 自然数及其运算

　　零的符号是“0”，它表示没有数量或进位制上的空位

　　除0之外，任何自然数都是由若干个“1”组成的，“1”是数个数的单位，称作自然数的单位

　　自然数的全体：0，1，2，3，4，…，n…，叫做自然数的集合，简称自然数集

　　能被2整除的数叫做偶数;不能被2整除的数叫做奇数

　　1.2 自然数的运算

　　1 加法: 求和的运算叫做加法

　　2 减法: 减法是加法的逆运算

　　3 乘法: 同一个自然数的连加运算，就叫做乘法

　　4 除法: 除法是乘法的逆运算，零不能做除数

　　1.3 自然数的运算性质

　　用字母表示任一个自然数，来说明对于任何自然数的运算普遍成立的运算规律和运算特征即它们的共同性质，并简称为运算通性或运算律

　　4 乘法对加法的分配律:

　　6 自然数0和1的运算特征

　　1.4 乘法运算及指数运算律

　　求同一个数得连乘运算，叫做乘方运算

　　a^n中，a叫做底数，自然数n叫做指数，乘方的结果a^n叫做幂(读作“a的n次幂”或“a的n次方”)

　　零的n次方总等于零，1的n次方总等于1

　　同底数幂相乘，底数不变，只是指数相加

　　中考数学易错知识点最全汇总

　　有理数、无理数以及实数的有关概念理解错误，相反数、倒数、绝对值的意义概念混淆。弄不清绝对值与数的分类。选择题考得比较多。

　　关于实数的运算，要掌握好与实数的有关概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符号关;在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误。

　　平方根、算术平方根、立方根的区别。

　　分式值为零时易忽略分母不能为零。

　　分式运算要注意运算法则和符号的变化。当分式的分子分母是多项式时要先因式分解，因式分解要分解到不能再分解为止，注意计算方法，不能去分母，把分式化为最简分式。填空题易考。

　　非负数的性质：几个非负数的和为0，每个式子都为0;整体代入法;完全平方式。

　　计算第一题易考。五个基本数的计算：0指数，三角函数，绝对值，负指数，二次根式的化简。

　　科学记数法，精确度。这个知道就好!

　　代入求值要使式子有意义。各种数式的计算方法要掌握，一定要注意计算顺序。

　　2、方程(组)与不等式(组)

　　各种方程(组)的解法要熟练掌握，方程(组)无解的意义是找不到等式成立的条件。

　　运用等式性质时，两边同除以一个数必须要注意不能为O的情况，还要关注解方程与方程组的基本思想。消元降次的主要陷阱在于消除了一个带X公因式时回头检验!

　　运用不等式的性质3时，容易忘记改不变号的方向而导致结果出错。

　　关于一元二次方程的取值范围的题目易忽视二次项系数不为0。

　　关于一元一次不等式组有解、无解的条件易忽视相等的情况。

　　解分式方程时首要步骤去分母，分数相相当于括号，易忘记根检验，导致运算结果出错。

　　不等式(组)的解得问题要先确定解集，确定解集的方法运用数轴。

　　利用函数图象求不等式的解集和方程的解。

　　各个待定系数表示的的意义。

　　熟练掌握各种函数解析式的求法，有几个的待定系数就要几个点值。

　　利用图像求不等式的解集和方程(组)的解，利用图像性质确定增减性。

　　两个变量利用函数模型解实际问题，注意区别方程、函数、不等式模型解决不等领域的问题。

　　利用函数图象进行分类(平行四边形、相似、直角三角形、等腰三角形)以及分类的求解方法。

　　与坐标轴交点坐标一定要会求。面积最大值的求解方法，距离之和的最小值的求解方法，距离之差最大值的求解方法。

　　数形结合思想方法的运用，还应注意结合图像性质解题。函数图象与图形结合学会从复杂图形分解为简单图形的方法，图形为图像提供数据或者图像为图形提供数据。

　　自变量的取值范围有：二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不为0，0指数底数不为0，其它都是全体实数。

　　三角形的概念以及三角形的角平分线，中线，高线的特征与区别。

　　三角形三边之间的不等关系，注意其中的“任何两边”。求最短距离的方法。

　　三角形的内角和，三角形的分类与三角形内外角性质，特别关注外角性质中的“不相邻”。

　　全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定。着重学会论证三角形全等，三角形相似与全等的综合运用以及线段相等是全等的特征，线段的倍分是相似的特征以及相似与三角函数的结合。根据边边角不能得到两个三角形全等。

　　两个角相等和平行经常是相似的基本构成要素，以及相似三角形对应高之比等于相似比，对应线段成比例，面积之比等于相似比的平方。

　　等腰(等边)三角形的定义以及等腰(等边)三角形的判定与性质，运用等腰(等边)三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题，这里需注意分类讨论思想的渗入。

　　运用勾股定理及其逆定理计算线段的长，证明线段的数量关系，解决与面积有关的问题以及简单的实际问题。

　　将直角三角形，平面直角坐标系，函数，开放性问题，探索性问题结合在一起综合运用探究各种解题方法。

　　中点，中线，中位线，一半定理的归纳以及各自的性质。

　　直角三角形判定方法：三角形面积的确定与底上的高(特别是钝角三角形)。

　　三角函数的定义中对应线段的比经常出错以及特殊角的三角函数值。

　　平行四边形的性质和判定，如何灵活、恰当地应用。三角形的稳定性与四边形不稳定性。

　　平行四边形注意与三角形面积求法的区分。平行四边形与特殊平行四边形之间的转化关系。

　　运用平行四边形是中心对称图形，过对称中心的直线把它分成面积相等的两部分。对角线将四边形分成面积相等的四部分。

　　平行四边形中运用全等三角形和相似三角形的知识解题，突出转化思想的渗透。

　　矩形、菱形、正方形的概念、性质、判定及它们之间的关系，主要考查边长、对角线长、面积等的计算。矩形与正方形的折叠。

　　四边形中的翻折、平移、旋转、剪拼等动手操作性问题，掌握其中的不变与旋转一些性质。

　　梯形问题的主要做辅助线的方法。

　　对弧、弦、圆周角等概念理解不深刻，特别是弦所对的圆周角有两种情况要特别注意，两条弦之间的距离也要考虑两种情况。

　　对垂径定理的理解不够，不会正确添加辅助线运用直角三角形进行解题。

　　对切线的定义及性质理解不深，不能准确的利用切线的性质进行解题以及对切线的判定方法两种方法使用不熟练。

　　圆周角定理是重点，同弧(等弧)所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角。直角的圆周角所对的弦是直径，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

　　几个公式一定要牢记：三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆的面积公式，圆周长公式，弧长，扇形面积，圆锥的侧面积以及全面积以及弧长与底面周长，母线长与扇形的半径之间的转化关系。

　　轴对称、轴对称图形，及中心对称、中心对称图形概念和性质把握不准。

　　图形的轴对称或旋转问题，要充分运用其性质解题，即运用图形的“不变性”，在轴对称和旋转中角的大小不变，线段的长短不变。

　　将轴对称与全等混淆，关于直线对称与关于轴对称混淆。

　　中位数、众数、平均数的有关概念理解不透彻，错求中位数、众数、平均数。

　　在从统计图获取信息时，一定要先判断统计图的准确性。不规则的统计图往往使人产生错觉，得到不准确的信息。

　　对普查与抽样调查的概念及它们的适用范围不清楚，造成错误。

　　极差、方差的概念理解不清晰，从而不能正确求出一组数据的极差、方差。

　　概率与频率的意义理解不清晰，不能正确求出事件的概率。

　　平均数、加权平均数、方差公式，扇形统计图的圆心角与频率之间的关系，频数、频率、总数之间的关系。

　　(2)两步以及两步以上的简单事件求概率的方法：利用树状或者列表表示各种等可能的情况与事件的可能性的比值。

　　(3)复杂事件求概率的方法运用频率估算概率。

　　判断是否公平的方法运用概率是否相等，关注频率与概率的整合。

　　中考数学压轴题常考的题形

　　1、线段、角的计算与证明问题

　　中考的解答题一般是分两到三部分的。

　　第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。第二部分往往就是开始拉分的中难题了。 对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。

　　中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆这么几类图形之间的关系。

　　在中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察，这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。

　　从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。

　　动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。

　　另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。

　　4、一元二次方程与二次函数

　　在这一类问题当中，尤以涉及的动态几何问题最为艰难。几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。

　　中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合

　　5、多种函数交叉综合问题

　　初中数学所涉及的函数就一次函数，反比例函数以及二次函数。

　　这类题目本身并不会太难，很少作为压轴题出现，一般都是作为一道中档次题目来考察考生对于一次函数以及反比例函数的掌握。所以在中考中面对这类问题，一定要做到避免失分。

　　6、列方程(组)解应用题

　　在中考中，有一类题目说难不难，说不难又难，有的时候三两下就有了思路，有的时候苦思冥想很久也没有想法，这就是列方程或方程组解应用题。方程可以说是初中数学当中最重要的部分，所以也是中考中必考内容。

　　实际考试中，这类题目几乎要么得全分，要么一分不得，但是也就那么几种题型，所以考生只需多练多掌握各个题类，总结出一些定式，就可以从容应对了。

　　7、动态几何与函数问题

　　整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。

　　但是这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。做这类题时一定要有“减少复杂性”“增大灵活性”的主体思想。

　　8、几何图形的归纳、猜想问题

　　中考加大了对考生归纳，总结，猜想这方面能力的考察，但是由于数列的系统知识要到高中才会正式考察，所以大多放在填空压轴题来出。对于这类归纳总结问题来说，思考的方法是最重要的。

　　如今中考题型越来越活，阅读理解题出现在数学当中就是最大的一个亮点。阅读理解往往是先给一个材料，或介绍一个超纲的知识，或给出针对某一种题目的解法，然后再给条件出题。

　　对于这种题来说，如果考生为求快速而完全无视阅读材料而直接去做题的话，往往浪费大量时间也没有思路，得不偿失。所以如何读懂题以及如何利用题就成为了关键。