线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有 n个未知量的一次方程称为线性方程。变于关量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。

线性（linear）指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数

非线性（non-linear）则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。

矩阵的行列式，determinate（简称det），是基于矩阵所包含的行列数据计算得到的一个标量。是为求解线性方程组而引入的。

2.4.1 计算排列的逆序数

2.4.4 行列式的3种表示方法

性质1 行列式与它的转置行列式相等
注：行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.

性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零

性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数k，等于用数k乘以此行列式.
推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．

性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．

性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,则等于对应的两个行列式之和.

性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．

2.6 计算行列式的方法

2）利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值

定理中包含着三个结论：
1）方程组有解；（解的存在性）
2）解是唯一的；（解的唯一性）
3）解可以由公式(2)给出.

定理4 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的 .
定理4′ 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.

齐次线性方程组的相关定理
定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式D不等于0，则齐次线性方程组只有零解，没有非零解.
定理5′ 如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零.

1. 用克拉默法则解线性方程组的两个条件

1. 方程个数等于未知量个数；

2. 克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系．它主要适用于理论推导．

2.8 行列式按行(列)展开

对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.

本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式.

3.1.1 矩阵与行列式的区别

3.3 矩阵与线性变换

行列式与矩阵加法的比较：

3.4.3 矩阵与矩阵相乘

3.5 可逆矩阵(或称非奇异矩阵)

分块矩阵不仅形式上进行转置，而且每一个子块也进行转置．

4.1 矩阵的初等变换

4.2 矩阵之间的等价关系

4.3 初等变换与矩阵乘法的关系

4.5 线性方程组的多解

5.1 向量组及其线性组合

5.2 向量组的线性相关性

结论：矩阵的最高阶非零子式一般不是唯一的，但矩阵的秩是唯一的．

5.4 线性方程组的解的结构

问题：什么是线性方程组的解的结构？

答：所谓线性方程组的解的结构，就是当线性方程组有无限多个解时，解与解之间的相互关系．

1）当方程组存在唯一解时，无须讨论解的结构．

2）下面的讨论都是假设线性方程组有解．

定义：所谓封闭，是指集合中任意两个元素作某一运算得到的结果仍属于该集合．

5.5.2 向量空间的概念

定义：设 V 是 n 维向量的集合，如果
② 集合 V 对于向量的加法和乘数两种运算封闭，
那么就称集合 V 为向量空间．

定义：如果向量空间 V 的非空子集合 V1 对于 V 中所定义的加法及乘数两种运算是封闭的，则称 V1 是 V 的子空间．

5.5.4 向量空间的基的概念

6.1 向量的内积、长度及正交性

6.1.2 向量的长度或范数

单位向量：长度为1的向量。

向量正交：向量内积为0。

6.1.4 正交矩阵或正交阵

6.1.5 正交矩阵的性质

6.2 方阵的特征值与特征向量

6.2.1 正定矩阵/半正定矩阵

1）矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于等于零(>=0)。

2）矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零(>0)。

6.4 对称矩阵的对角化

6.5 二次型及其它标准型

转自：算法与数学之美微信公众号

考生应理解或了解《高等数学》中函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程以及《线性代数》的行列式、矩阵、向量、方程组的基本概念与基本理论；掌握上述各部分的基本方法．应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确、简捷地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题．

本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”和“熟练掌握”三个层次．

考试用时：120 分钟

１．理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值。会求分段函数的定义域、函数值，并会作出简单的分段函数图像。会建立简单实际问题的函数关系式。

２．理解和掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，会判断所给函数的类别。

４．理解和掌握函数的四则运算与复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程。

５．掌握基本初等函数及其简单性质、图象。

６．了解初等函数的概念及其性质。

１．理解极限的概念，会求数列极限及函数在一点处的左极限、右极限和极限，了解数列极限存在性定理以及函数在一点处极限存在的充分必要条件。

２．了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则（包括数列极限与函数极限）。

３．熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

４．了解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。

１．理解函数在一点连续与间断的概念，会判断简单函数（含分段函数）的连续性，理解函数在一点连续与极限存在的关系。

２．会求函数的间断点及确定其类型。

３．掌握闭区间上连续函数的性质，会运用零点定理证明方程根的存在性。

４．了解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限。

１．理解导数的概念，了解导数的几何意义以及函数可导性与连续性之间的关系，会用定义判断函数的可导性。

２．会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

３．熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法，会求反函数的导数。

４．掌握隐函数以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会使用对数求导法，会求分段函数的导数。

５．了解高阶导数的概念，会求初等函数的高阶导数。

６．理解函数的微分概念及微分的几何意义，掌握微分运算法则及一阶微分形式的不变性，了解可微与可导的关系，会求函数的微分。

（二）中值定理及导数的应用

１．了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意义。会用罗尔中值定理证明方程根的存在性。会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式。

３．会利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式。

４．了解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最大（小）值的方法，并且会解简单的应用问题。

５．会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。

６．会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线。

１．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的性质，了解原函数存在定理。

２．熟练掌握基本的积分公式。

３．熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（限于三角代换与简单的根式代换）。

４．掌握不定积分的分部积分法。

５．会求简单有理函数及简单无理函数的不定积分。

１．理解定积分的概念与几何意义，了解函数可积的条件。

２．掌握定积分的基本性质。

３．了解变上限的定积分是变上限的函数，掌握对变上限定积分求导数的方法。

４．熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。

５．掌握定积分的换元积分法与分部积分法。并会证明一些简单的积分恒等式。

６．理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法。

７．掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积会求平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体体积。

四、向量代数与空间解析几何

１．理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。

２．掌握向量的线性运算、向量的数量积以及两向量的向量积的计算方法。

３．了解两向量平行、垂直的条件。

１．会求平面的点法式方程、一般式方程。会判定两平面的垂直、平行。

２．会求点到平面的距离。

３．了解直线的一般式方程，会求直线的标准式方程、参数式方程。会判定两直线平行、垂直。

４．会判定直线与平面间的关系（垂直、平行、直线在平面上）。

了解球面、母线平行于坐标轴的柱面、圆锥面、椭球面、抛物面、和双曲面的方程及其图形。

１．了解多元函数的概念、二元函数的几何意义及二元函数的极限与连续概念（对计算不作要求）。会求二元函数的定义域。

２．理解偏导数概念，了解全微分概念及其全微分存在的必要条件与充分条件。

３．掌握二元函数的一、二阶偏导数计算方法。

４．掌握复合函数一阶偏导数的求法（含抽象函数）。

５．会求二元函数的全微分（不含抽象函数）。

６．掌握由方程 F（x，y，z）=0 所确定的隐函数 z=z（x，y）的一阶偏导数的计算方法。

７．会求空间曲线的切线和法平面方程，会求空间曲面的切平面和法线方程。

8．会求二元函数的无条件极值。会应用拉格朗日乘数法求解一些最大值最小值问题。

１．理解二重积分的概念及其性质。

２．掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下的计算方法。

３．会用二重积分解决简单的应用问题（限于空间封闭曲面所围成的有界区域的体积）。

１． 了解对坐标的曲线积分的概念及性质。

２． 掌握对坐标的曲线积分的计算。

３． 掌握格林（Green）公式。掌握曲线积分与路径无关的条件，并会应用于曲线积分的计算中。

１．理解级数收敛、发散的概念。掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质。

２．掌握正项级数的比较判别法、比值判别法和根值判别法。

４． 会使用莱布尼茨判别法。

５． 理解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会判定任意项级

数绝对收敛与条件收敛的方法。

１．了解幂级数的概念。

２．掌握幂级数在其收敛区间内的逐项求导与逐项积分的性质与方法。

３．掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间（不要求讨论端点）的方法。

１．理解微分方程的定义，理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解。

２．掌握可分离变量方程的解法。

３．掌握一阶线性微分方程的解法。

（二）二阶线性微分方程

１．了解二阶线性微分方程解的结构。

２．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。

１．了解行列式的概念，掌握行列式的性质。

２．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。

１．理解矩阵的概念。了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质。

２．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置、方阵乘积的行列式及它们的运算规律。

３．理解逆矩阵的概念，掌握矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆矩阵。

４．掌握矩阵的初等变换，了解矩阵秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。

１．了解 n 维向量的概念，向量的线性组合与线性表示。

２．理解向量组线性相关与线性无关的定义，掌握判别向量组线性相关性的方法．

３．了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组和秩。

２．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。

３．了解齐次线性方程组的基础解系、通解的概念．

４．了解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念．

５．掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法．