线性代数是教资科目三的一块，相对较独立，这里简单的讲一下，主要争对教师资格证的考试。下面的一些说法可能不是很恰当为了方便记忆。

行阶梯矩阵和行最简形矩阵

非齐次线性方程组的解法

行列式，要记住它表示的一个数。常用字母D表示。

由n行和n列的数组成的，然后外面是两个竖线，像绝对值一样，你可以看作是一种运算，运算的结果是一个数。记住怎么运算：按行或按列展开，每一项和它的代数余子式乘积的和。

M12就是除去第一行和第二列的剩下的数组成的行列式。

这是一个逐步降阶求解的过程。比如从5阶行列式变成四阶行列式再变三阶。。。上面是用数学归纳法来定义的，没有用到逆序数等知识，教资考试这样理解就差不多了。

所以从运算法则看，二阶行列式为什么是对角线法则，主对角线相乘减去副对角线相乘。三阶行列式也一样，主对角线相乘的和减去副对角线相乘的和。都是上面定义的一个简单证明就可以得到。

某一行所有元素的公因子可以提到行列式记号外面。

知道行列式的结果是一个数，常用字母D表示

运算规则是按行（列）展开，一行中每一项和它的代数余子式乘积的和

掌握二阶和三阶行列式的运算，主对角线和减去副对角线和

掌握行列式的性质，记住交换两行变号，（这里和后面矩阵初等变换易搞混）

注意，某行的所有元素公因子可以提到行列式外面，而不是把公因子直接约去，这里很容易和后面的矩阵变换搞混。

注意，某行的元素乘以同一个数加到另一行，行列式的数值不变。

这里注意，哪行是变动的，哪行是不变的，不能搞错了。

上面的性质是为了简化行列式求值用，也就是行列式的初等变换

请证明：某行元素与另一行的代数余子式乘积之和为0。 （下面伴随矩阵和逆矩阵的性质有用到这个结论。）

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其实行列式的几何意义，二维空间里是两个向量围成的面积，三维是体积，有正负。

再用几何意义来理解行列式的几条性质：

三维空间里，行列式的几何意义是体积，我们这里来试着理解为什么向量的叉乘可以用行列式来计算。

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结果为主对角线的元素乘积，即a11a22。。。ann

行列式化简的过程，就是尽量往对角行列式靠拢

现在考试都会考四阶的行列式。

2020年下半年真题：

上面一个四阶行列式，上面的解法是把2，3，4列加到第一列都变成16。其实也可以按常规做法来，r2-r1*3，r3-r1*5，r4-r1*7，再一步步做

上面的这道题目，看着像范德蒙德行列式，但是最后一个数字多了1。需要拆成2个行列式来做，一个是范德蒙德行列式，一个是普通行列式。

还有一个克莱姆法则的知识点等下面再讲。

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由 m × n 个数aij排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m × n矩阵。记作：

矩阵其实是一个数表，它表示一堆数，常用字母A表示。实际书写着我们用大括号把这些数括起来。

同型矩阵，如果这两个或者两个以上的矩阵的行数和列数都相同，A=[aij]mxn,B=[bij]mxn

相等矩阵，行数与列数都相等，对应位置的元素相等

对角阵（方阵），只有对角线上有非0元素的矩阵称为对角矩阵，或说若一个方阵除了主对角线上的元素外，其余元素都等于零，则称之为对角阵。

单位矩阵E（方阵），主对角线上的元素都为1，其余元素全为0的n阶矩阵称为n阶单位矩阵，通常用I或E来表示。

在矩阵的乘法中，单位矩阵E着特殊的作用，如同数的乘法中的1。任何矩阵与单位矩阵相乘（可以相乘的前提下）都等于本身，而且单位矩阵因此独特性在高等数学中也有广泛应用。

加法，针对同型矩阵，A+B=[aij+bij]mxn，其（i,j）位的元素为A与B的（i,j）位元素之和

数乘，与每个元素相乘。这里注意和行列式的区别。

矩阵与矩阵相乘，（m*s，s*n---m*n)，得到的还是一个矩阵。

矩阵表示一堆数，常用字母A表示，由m行n列组成的数表。

矩阵根据行和列的数量关系，有方阵，行矩阵，列矩阵。可以相加的是同型矩阵，即行数和列数都相同。方阵里，又有两个特殊的矩阵，对角阵和单位矩阵。

矩阵的运算，加法（同型矩阵），数乘和乘法。乘法不满足交换律，两个矩阵位置不能随意交换。单位矩阵E满足交换律。

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主要是选择题考察，第4个性质可以用下标行和列来看

矩阵行列式是指矩阵的全部元素构成的行列式，设A=(aij)是数域P上的一个n阶矩阵，则所有A=(aij)中的元素组成的行列式称为矩阵A的行列式，记为|A|或det(A)

第二条性质，我们知道矩阵A的数乘是将λ乘进每个元素里，那么求这个矩阵的行列式的时候，想要将λ提到外面，每一行提取一个λ，一共提取n个λ，所以是λ的n次方。

第三条性质，由拉普拉斯定理行列式的乘法规则来证明，不用管怎么来的，记住。

n阶方阵，AT=A，即矩阵的转置等于该矩阵，则称A为对称矩阵。主对角线为对称轴。

AT=-A，则称A为反对称矩阵

伴随矩阵：用A*表示 n阶方阵A 为接下来的逆矩阵做铺垫

注意，将某元素的位置替换成该元素的代数余子式，得到的矩阵，再进行转置。

或者将矩阵先转置，再将各元素的位置替换成该元素的代数余子式，得到的矩阵。

二阶方阵的伴随矩阵：用定义法

n阶方阵，设A是一个n阶矩阵，若存在另一个n阶矩阵B，使得：AB=BA=E，则称方阵A可逆，并称方阵B是A的逆矩阵。记作：用右上标-1来记作某矩阵的逆矩阵

转置矩阵，重要的一条性质，记住（AB）T=BT AT

方阵的行列式，重要的一条性质，记住|AB|=|A| |B|

对称矩阵，以对角线为对称轴，两边的元素关于对角线对称。矩阵的转置等于原矩阵。

反对称矩阵，以对角线为对称轴，两边的元素关于对角线互为相反数。矩阵的转置等于原矩阵乘以-1

伴随矩阵，将某元素的位置替换成该元素的代数余子式，得到的矩阵，再进行转置。伴随矩阵的重要性质

逆矩阵，一个矩阵A和另一个矩阵B相乘等于E，B叫A的逆矩阵，记作A-1。存在可逆的条件是|A|不等于0。

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如果B可以由A经过一系列初等变换得到，则称矩阵A与B称为等价。在初等变换的过程中A与B的秩相等。

矩阵的初等变换又分为矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换。考试时只用按行变换做。因为后面的有些运算只能进行行变换。

在矩阵A中有一个不等于0的 r 阶子式D，且所有（r+1）阶子式全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式。数r称为矩阵A的秩，记作R（A）=r。

矩阵的子式是在矩阵中选k行选k列后,交叉点上的元素保持相对位置不变构成的一个行列式。

这是一个3*4的矩阵，先看它最高阶的子式（也就是最高阶行列式），是3阶行列式（行列式是n行n列的）。那么3*4的矩阵有几个3阶行列式呢，由排列组合得到C（3，3）*C (4，3）=1*4=4 （前面一个数字是下标，后面一个数字是上标）。看了下这四个子式结果均为0（因为有两行对应成比例）。再看2阶子式，只有存在（exit)一个不为0就可以了。选取一个发现不等于0，所以根据定义得出该矩阵的秩为2。

这是根据定义法求矩阵的秩，一般用到这个方法比较少。我们一般通过矩阵的初等变换来求。

再回到上面的矩阵初等变换。初等变换的过程中，矩阵的秩是不变的，得到的矩阵是等价的。

这里有两个概念很容易混淆。一个是系数矩阵的秩R（A），是系数组成的向量组的极大线性无关向量的个数。而方程的基础解系的个数是 未知数的个数-R（A），而不是系数矩阵的秩R（A）。但是基础解析的个数可以理解为解向量组的秩，极大线性无关解向量的个数。

简单的方法就是，你不用记这么多，你只要把系数矩阵化简到行最简阶梯矩阵，把未知数x1，x2。。。代入整理，你就可以把这个方程解出来了。下面看一个例题：

非齐次线性方程组的解法

和齐次线性方程组的解法类似

AX=b，η0为该方程的一个特解，ξ为AX=0的通解，那么AX=b的通解为η0+ξ

当系数矩阵A和增广矩阵（A | b）的秩不等时，无解

当系数矩阵A和增广矩阵（A | b）的秩是相等且等于未知数的个数时，有唯一解

当系数矩阵A和增广矩阵（A | b）的秩相等且小于未知数的个数时，有无穷多解，要求通解

2020年下半年教资初中数学真题：

2021年上半年真题：有3道线性代数的题目，而且都和线性方程组有关。

克莱姆法则针对n*n阶的方程组。 一般解方程组都是用化简到行最简形矩阵来求解，比较少用到克莱姆法则。克莱姆法则适用一些特殊的方程。

这题如果用矩阵变换或者用初中的知识来做，更简单

化简后，可以看出x1，x2.。。x（n-1）均为0，xn等于2。

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有没有一个向量，它是比较特殊的。当我们对它进行初等变换后（也就是左乘某个矩阵），它的方向没有改变只是长度变了，换句话说就是和原来的向量共线。用式子表示即Mα=λα。 M为方阵

我们称这样的向量α为矩阵M的特征向量，λ为矩阵M的特征值。

一个方阵是几阶，就有几个特征值。

若有可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则称A与B相似，记作A~B。P被称为把A变成B的相似变换矩阵。

相似矩阵有相同的行列式和秩。

二维向量的长度，即向量的模，|a|=√a1^2+a2^2

在平面里，我们知道只需要2个不共线（线性无关）的向量就可以表示所有向量。在立体空间里，只需要3个不共线的向量就可以表示所有向量。

两两线性无关的向量中，有一种是特殊的，那就是正交即垂直。我们把这种基叫做正交基。在正交基的基础上进行单位化，得到标准正交基。这个过程叫做施密特正交化。

正定二次型，负定二次型

f=xTAx大于0是正定二次型，大于等于0是半正定二次型，小于0是负定二次型

判断正定二次型：A的各阶主子式的行列式都为正

判断负定二次型：A的奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正

线性变换是一种怎么样的变换呢？线性变换后仍满足加法运算和数乘运算。这里的线性你可以理解为满足加法运算和数乘运算。

设V与U是二个线性空间，T是从V到U的一个映射，若这个映射保持线性运算规则不变：即 T(α+β)=T(α)+T(β)、T(λα)=λT(α)，那么就称T是从V到U的线性变换。

教资的题目，一般是一个二维向量，在一个线性变换下（左乘一个矩阵）变成另一个向量。原来向量里的元素满足一个方程关系，求变换后的元素满足什么方程关系。看下面这道真题：

(注:x3为x的三次方,依次类推)1．在函数y=x3－8x的图象上,其切线的倾斜角小于 π/4的点中,坐标为整数的点的个数是（ ）2．下列四个命题：①“若x2+y2=0,则实数x,y均为零”的逆命题；②“相似三角形的面积相等”的否命题；③“若A∩B=A,则A∈B”的逆命题；④“末位数不为零的数可被3整除”的否命题..其中真命题有( )3．一已知双曲线 x2/a2 －y2=1(a>0)的一条准线与抛物线y2=－6x的准线重合,则该双曲线的离心率为（ ）5．设a,b∈R,已知命题p:a=b; 命题q:[(a+b)/2]2≤(a2+b2)/2,则p是q成立的（ ）条件(选择“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)6．已知抛物线方程为标准方程,焦点在y轴上,抛物线上一点M(a,－4)到焦点的距离为5,则抛物线方程为（ ）大题目（要有过程）1．在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C:x2=4y,直线L:y=－1.PA,PB为的两切线,切点为A,B.（1）求证：“若P在L上,则PA⊥PB”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由2．已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2,在坐标轴上,离心率为√2(根号2),且过点（4,√10）.（1）求双曲线方程；（2）若点M(3,m)在双曲线上,求证:向量MF1+MF2=0；（3）对于（2）中的点M,求△F1MF2的面积；3．设函数f(x)=―1/3x3+2ax2―3a2x+b,0<a<1.（1）求函数f(x)的单调区间和极值；（2）若当x∈[a+1,a+2]时,恒有│f ’(x)│≤a,试确定a的取值范围；4．椭圆x2/a2 +

3 【三分之二根号三】（我不会打根号）
5 【既不充分又不必要】
7 你确定题目正确?没有x?
有点乱看了眼花 问题清晰的话再来
看着题目内容至少应该是高二的吧 怎么这么简单?