上一篇文章简单介绍了傅里叶级数，这一篇我们将傅里叶级数进行复数形式的推导，把公式里的三角函数全部转化为指数，进而得到傅里叶变换。

在开始傅里叶变换的推导前，我们先使用欧拉公式把傅里叶级数变成指数形式的，因为指数的积分微分更简单。

关于欧拉公式网上有很多推导视频，如果不想看纯数学推导的同学，可以参考这张图：
这个螺旋前进的轨迹，从侧面看是三角函数，从复数域看是个圆。因此，这个螺旋前进的轨迹从不同方向看，蕴含了不同的信息。把自然底数e，虚数i，π，0,和1紧密地联系了起来，可以说是一个公式就描述了数学世界的底层逻辑，非常简洁优美。

正所谓横看成岭侧成峰，我们的傅里叶变换也是如此，一个信号从时域看和从频域看是截然不同的，但时域频率又紧密相关。

就像欧拉公式把三角函数转变成圆一样，我们也可以通过数学手段将时域转变为频域。甚至发散一下，我们可以从三维空间去绘制一个螺旋前进的轨迹来综合描述三角函数和圆，那么我们也可以从三维空间去绘制一个图来综合描述频域和时域。这就是三大变换中的拉普拉斯变换，它不仅展现了一个信号的频率组成，同时还展现了一个信号的过去未来的变化趋势。

当计算速度足够快时，我们可以对这个世界所有的东西进行变换，得到它本身的频率，响应等等。神话中佛陀手指一掐可知过去未来，其实把佛陀看作是一台超算加各类感应器，科技修仙不是问题。

好，现在将欧拉公式代入傅里叶级数，得到指数形式的公式：
推导到这里卡住了，接下来要用亿一点点数学手段。

注意观察此式，n从1到正无穷的式子有两个，我们令最后一项中的n=-n，这一项就变成了：
注意，这一项实际并没有改变，-n只是一个符号，做这样的变换只是为了方便我们进行合并而已。

现在负无穷到-1,1到正无穷都有了，还差一个0我们就可以进行合并了。

所以，我们对a0/2进行以下改写：
注意因为n=0，所以指数部分为1，这就成立了。

好，现在三项就是从负无穷到正无穷的n为整数的求和：
这就是傅里叶级数的指数形式，当然，还不是最简，让我们进一步化简：

把a0,an和bn分别代入到Cn中，我们先计算Cn（n=0）是多少：
括号中的三角函数，我们根据奇偶性进行正负的转变，然后发现这就是欧拉公式中的内容，可以转化为指数：
所以Cn（n>0）化简下来就是：
同样的方法我们再推到n<0的情况：
最后的结果令人感到振奋，n<0和n>0的化简结果竟然是一样的！而且不要忘了，在n=0时，我们也可以写作这个形式，因为e的0次方等于1！

所以，当我们使用欧拉公式对傅里叶级数进行转换时，发现只用指数形式只需要一个式子就可以描述整个傅里叶级数！！而且微积分都非常便于计算！

这就是一个周期为T的函数的傅里叶级数展开，十分的简洁明了。而当T趋近于无穷时，我们就得到了傅里叶变换。