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1、函数的傅里叶级数展开 1. 函数的傅里叶级数展开 函数的傅里叶级数展开 一一.傅里叶级数的引进傅里叶级数的引进 在物理学中,我们已经知道最简单的波是谐波(正弦波), 它是形如 的波,其中 是振幅, 是角频率, 是初相位.其他的波如矩形波,锯形波等往往都可以用一 系列谐波的叠加表示出来.这就是说,设 是一个周期为 的波,在一定条件下可以把它写成 其中 是 阶谐波,

1nxnxxxxx 2 2 2,1见 3见 函数的傅里叶级数展开 三、傅里叶系数傅里叶系数 设函数 已展开为全区间设的一致收敛的三角级 数 现在利用三角函数 系数的正交性来研究系数 与 的 关系。将上述展开式沿区间

5、fbnsin 1 , 2 , 1 , 0sin 1 kkxdxxfbk , 2 , 1 , 0cos 1 kkxdxxfak 函数的傅里叶级数展开 自然，这些系数也可以 沿别的长度为 的区间来积 分。 以上是在 已展开为一致收敛的三角级数的假定 下得到系数的表达式的。然而从欧拉-傅里叶公式的形 式上看，只要周期为 的函数 在区间 上 可积和绝对可积（如果 式有界函数，则假定它是 可积的。这时它一定式绝对可积的；如果 是无界 函数，就假定他是绝对可积，因而也是可积的，这样， 不论在哪一种情形，都是可积和绝对可积了），就可 以按欧拉-傅里叶公式来确定所有的数 ，从而作 出三角级数 2 xf 2 x

傅里叶级数的收敛判别法傅里叶级数的收敛判别法。设函数 在 上可 积和绝对可积 若 在 点的左右极限 和 都存在，并 且两个广义单侧导数 都存在，则 的傅里叶级数在 点收敛。当 是 的连续点时它收敛与 ，当 是 的间断点（一 定是第一类间断

9、 n c n c n c 函数的傅里叶级数展开 六、收敛判别法的证明六、收敛判别法的证明 1、狄利克雷积分、狄利克雷积分 为了研究傅里叶级数的收敛性问题，我们必须把傅 里叶级数的部分和表示为一个特定形式的反常积 分 狄利克雷积分。狄利克雷积分。 设 在 上可积和绝对可积，它的傅里叶级数 为 其中 xf, 1 0 sincos 2 k kk kxbkxa a xf , 2 , 1 ,

函数的傅里叶级数展开 2、黎曼引理、黎曼引理 黎曼引理黎曼引理 设函数 在区间 上可积和绝对可积， 那么以下的极限式成立 局部性定理局部性定理 函数 的傅里叶级数在 点的收敛和发 散情况，只和 在这一点的充分领近区域的值有关。 u

12、ba, 0coslim, 0sinlim puduupuduu b ap b ap xf x xf 函数的傅里叶级数展开 3、迪尼判别法及其推论、迪尼判别法及其推论 迪尼定理（迪尼判别法）迪尼定理（迪尼判别法） 设能取到适当 ，使由函 数 以及 点所作出的 满足条件：对某正数 ，使在 上， 为可积 和绝对可积，那么 的傅里叶级数在 点收于 。 利普希茨判别法利普希茨判别法（地理判别法的一个推论） 如果函数 在 点连续，并且对于充分小的正数 在 点的利普希茨条件 成 立，其中 皆是正数，且 ，那么 的傅里 叶级数在 点收敛于 ，更一般地，如果对于充 分小的 成立 s xfx suxfuxfu2

lim 函数的傅里叶级数展开 甚至只是有更一般的有限导数 那么 的傅里叶级数在 点收敛于 或 因为这时对于函数 在 点的 的利普希茨条 件是成立的。 u xfuxf u xfuxf uu 0 lim, 0 lim 00

14、xfx xf 2 00 xfxf xf x1 函数的傅里叶级数展开 七、傅里叶级数的性质七、傅里叶级数的性质 一、一致收敛性一、一致收敛性 1设周期为 的可积和绝对可积函数 在比 更宽的区间 上有有限导数 ，那么 的傅里叶级数在区间 上一致收敛于 。 2设周期为 的可积和绝对可积函数 在比 更宽的区间 上连续且为分段单调函数，那 么 的傅里叶级数在区间 上一致收敛于 。 2 xfba, ba, xf xf ba, xf 2 xf ba, ba, xf ba, xf 函数的傅里叶级数展开 二，傅里叶级数的逐项求积和逐项求导二，傅里叶级数的逐项求积和逐项求导 设 是 上分段连续函数，它的傅里叶级数

kxBkxA A xT 1 0 sincos 2 函数的傅里叶级数展开 其中 都是常数。又设 是 上可积和平方可积函数，称 是用三角多项式 在平方平均意义下逼近 的 偏差。 设 的傅里叶级数是 我们并不假定右端的级数是否收敛以及是否收敛于 ，但它的 次部分和 是 的最