上一回我们为大家介绍了历史上第一个证明圆周率是无理数的方法，那是数学家兰伯特使用的类似于连分数的方法。不过，由于这个证明方法过程比较冗长，在上次的文章中，我们跳过了许多关键步骤，给小朋友的感觉是：这个证明类似于描述如何把大象放进冰箱里。

这一回，我们再为大家介绍一下历史上最简洁的证明方法，那是1947年，数学家伊万.尼云所给出的方法。这个证明在发表时，占用的篇幅不到一页纸。

数学家们惜字如金，这篇论文对于普通的同学来讲还是有一点困难。不过，理论上只要具有高二以上数学水平，学了微积分，就能够理解这个证明。下面我就把这篇论文翻译一下，一旦看懂了，你一定会赞叹数学是如此美丽，就好像上一次我们讲尺规作图那样。

1构造一个函数f(x)

假设圆周率π是一个有理数，则π一定能写成两个互质的整数p、q的比：

大家看，这个函数分母是阶乘形式，如果用二项式定理将分子展开，一定能写成下面的多项式求和的形式：

也就是每一项的分子都是一个整系数的幂函数形式，而且这个幂次在n与2n之间。

下面我们要对f(x)求导数，为此我们首先复习一下幂函数的求导法则，根据

我们可以得出：如果对幂函数求k次导数，有如下三种可能：

于是，对于函数f(x)的每一项，k次求导后的结果

大家看：对于第一类项，这一项是0，是一个整数。对于第二类项，由于m在n与2n之间，m!除以n！是个整数，因此这一类项也是整数。对于第三类项，如果取x=0, 则该项也会等于整数0.

综上所述，f(x)的k阶导数的每一项在x=0时都是整数，f(x)的k阶导数在x=0时是个整数。

3函数f(x)是对称的

我们再回到最初构造的函数，将变形

通过这个变换，我们显而易见的发现这是一个对称的函数

我们对这个函数两边求k次导数

即f(x)的k阶导数在x=π处也取整数。

4再构造一个函数F(x)

对这个函数求2次导数，得到

大家是否发现了：F(x)与F’’(x)许多项都是等大反号的，于是让它们相加，得到：

大家注意：f(x)是一个多项式的形式，最高只有x的2n次幂，所以对它求2n+2次导数，自然等于0，于是

下面我们要求f(x)sin(x)的原函数，为了让这个过程看起来容易一些，我们直接给出原函数F’(x)sin(x)-F(x)cos(x)，并进行证明：

我们求出了f(x)sin(x)的原函数，我们对这个函数在0到π之间进行积分。

由于f(x)的任意阶导数在0和π处都是整数（第二大点），而F(x)是它的线性组合（第四大点），所以F(0)和F(π)也是整数，因此A是一个整数。

根据我们构造函数的特点：

我们再对构造函数进行放缩，在0<x<π时

当n充分大的时候，上式右侧小于1，于是有A<1。综上，0<A<1

假设π是个有理数，我们得到了（七）中A是一个整数，（八）中A在0到1之间。可是，0到1之间没有整数，发生矛盾，因此π不是有理数，π是无理数。

一个看似简单的问题，却需要如此奇妙的方法进行证明，数学真是神奇。

这些数学家，你认得几个？

什么是无理数(什么是无理数和有理数定义)

什么是实数？什么是函数？什么理数？什么是无理数？请讲清楚些。谢谢。

先说有理数。零、整数、分数统称为有理数。小学学的正整数，正分数是有理数，初中负整数，负分数也是有理数。因为小数，有限小数可以分成数，是有理数。

无理数，其实就是不能转化为分数的数，比如无限循环小数，无穷根，比如根号3，。0.31321.cos45是无理数。

实数、有理数、无理数统称为实数。全部展开

有理数和无理数统称为实数。

正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数，这样的数叫做有理数。

无理数是无限循环小数。

函数的传统定义：假设某个变化过程中有两个变量x和y。如果y在一定范围内有唯一的定值对应x的每个定值，那么y是x的函数，x是自变量。我们称自变量x的值的集合为函数的定义域，对应x的y的值为函数值，函数值的集合为函数的值域。

函数的现代定义：设A，B为非空集，f: x y为A到B的对应规则，则A到B的映射f: a b称为函数，记为y=f(x)，其中xA，yB，集合A称为函数f(x)的定义域。如果集合c是函数f(x)的值域，显然有一个c？乙.符号y=f(x)是“y是x的函数”的数学表达式，应该理解为：x是自变量，是规律强加的；f是对应的规则，可以是一个或几个解析表达式、图像、表格或文字描述。y是自变量的函数值。当x是允许的特定值时，对应的Y值就是自变量数值对应的函数值。当f用解析表达式表示时，解析表达式就是分辨函数。Y=f(x)只是一个函数符号，并不是“Y等于f和x的乘积”，f(x)也不一定是解析表达式。

理解函数概念两种函数定义的本质是一样的，只是叙述概念的出发点不同。传统的定义是从运动变化的，现代的定义是从集合和映射的角度。映射是指对于任意一个X，对应的Y只有一个，称为X到Y的映射。注意必须只有一个Y与之对应。同样，如果任意Y对应的X只有一个，我们就假设X和Y是一一对应的。如果X和Y之间有影射，就一定构成一个函数，其中X为自变量，Y为因变量，也称为X的函数，如果有一一对应关系，那么以X为自变量的函数和以Y为自变量的函数是相反的。像y=x ^ 2，是x到y的影射，但不是y到x的映射，因为如果y=2 x有两个满足要求的值，就不满足映射中的唯一定义。至于指数函数，对数函数和指数函数是相反的。当基数大于1时，增函数小于1且大于0，则为减函数。在高中阶段，基数应该都大于零，其取值范围大于零。具体还是要看课本，你说的课。我希望你能采纳并扩展它。

你是初中生吧？不知道这个怎么学习！这些最基本的问题！

如果E的整数次幂是有理数A，那么

n是整数，A是有理数，可以表示为b/c，bc是整数。

这与E的先验同一性相矛盾。

所以e的整数(不是0)次方是无理数。

这个没法算出来，只能用泰勒公式近似求解。拿你的例子：“3的二次方根”来说，表示为：3 ( 2)。

这是一个无理数，所以不能用精确的小数来表示。最多也就是在一定范围内粗略的表达一下他的估计值

高等数学本身有很多结论和运算是纯理论的，没有太大的实际意义。但它毕竟是一门科学，所以我们必须研究它。这涉及到复数的运算。3的二次方根等于3(2)=e(2 * LN3)=e(2 * LN " 3 " 2k* I)=3(2)*(cos 22ksin 22k)。

由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式。
单独一个数和字母也是代数式。

(1)两字母相乘、数字与字母相乘、字母与括号相乘以及括号与括号相乘时，乘号都可以省略不写.如：“x与y的积”可以写成“xy”；“a与2的积”应写成“2a”，“m、n的和的2倍”应写成“2(m+n)”。
(2)字母与数字相乘或数字与括号相乘时，乘号可省略不写，但数字必须写在前面.例如“x×2”要写成”2x”，不能写成“x2”；“长、宽分别为a、b的长方形的周长”要写成“2(a+b)”，不能写成“(a+b)2”。
(3)代数式中不能出现除号，相除关系要写成分数的形式
(4)数字与数字相乘时，乘号(也可以写作 · )仍应保留不能省略，或直接计算出结果.例如“3×7xy”不能写成“37xy”，最好写成“21xy”。

           产生在古代，当算术里积累了大量的，关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量关系的问题，就产生了以解方程的原理为中心问题的初等代数。
           代数是由算术演变来的，这是毫无疑问的。至于什么年代产生的代数学这门学科，就很不容易说清楚了。比如，如果你认为“代数学”是指解bx+k=0这类用符号表示的方程的技巧。那么，这种“代数学”是在十六世纪才发展起来的。
如果我们对代数符号不是要求象现在这样简练，那么，代数学的产生可上溯到更早的年代。西方人将公元前三世纪古希腊数学家刁藩都看作是代数学的鼻祖。而在中国，用文字来表达的代数问题出现的就更早了。
        “代数”作为一个数学专有名词、代表一门数学分支在我国正式使用，最早是在1859年。那年，清代数学家里李善兰和英国人韦列亚力共同翻译了英国人棣么甘所写的一本书，译本的名称就叫做《代数学》。当然，代数的内容和方法，我国古代早就产生了，比如《九章算术》中就有方程问题。
初等代数的中心内容是解方程，因而长期以来都把代数学理解成方程的科学，数学家们也把主要精力集中在方程的研究上。它的研究方法是高度计算性的。
要讨论方程，首先遇到的一个问题是如何把实际中的数量关系组成代数式，然后根据等量关系列出方程。所以初等代数的一个重要内容就是代数式。由于事物中的数量关系的不同，大体上初等代数形成了整式、分式和根式这三大类代数式。代数式是数的化身，因而在代数中，它们都可以进行四则运算，服从基本运算定律，而且还可以进行乘方和开方两种新的运算。通常把这六种运算叫做代数运算，以区别于只包含四种运算的算术运算。
          在初等代数的产生和发展的过程中，通过解方程的研究，也促进了数的概念的进一步发展，将算术中讨论的整数和分数的概念扩充到有理数的范围，使数包括正负整数、正负分数和零。这是初等代数的又一重要内容，就是数的概念的扩充。
有了有理数，初等代数能解决的问题就大大的扩充了。但是，有些方程在有理数范围内仍然没有解。于是，数的概念在一次扩充到了实数，进而又进一步扩充到了复数。
那么到了复数范围内是不是仍然有方程没有解，还必须把复数再进行扩展呢？数学家们说：不用了。这就是代数里的一个著名的定理—代数基本定理。这个定理简单地说就是n次方程有n个根。1742年12月15日瑞士数学家欧拉曾在一封信中明确地做了陈述，后来另一个数学家、德国的高斯在1799年给出了严格的证明。