本文的阅读需要高一水平的物理知识略微超过高中水平的的微积分知识,如果不想看繁琐的过程，可以直接跳到后面的小结。

 当我们竖直悬挂一根在原长状态下质量分布均匀的弹簧时，会发现它的质量分布不再均匀（如图1），即上部的伸长量大于下部的伸长量，这会导致其质量分布不再均匀。为什么呢？显然，较为高的一部分需要抵消的重力更多，因此要伸得较长，来产生更大的力。定性分析到此为止。如果想知道更为详细的情况，就不得不动手算算。

 在这种情况下，弹簧的情况就比较复杂，因为我们暂时还不知道其质量分布，其质心未知，即重力势能难以计算，因此用能量来计算显得困难。但是我们依然可以从简单的情况入手，即弹簧始终质量分布均匀，来看看伸长量是多少，并与后面计算的结果相比较。设原长为L，其质量为m，劲度系数为k，伸长量为ΔL，以其原来的质心所在的平面为重力势能的零势面，则弹簧具有的总能量 

E对ΔL求导，并根据“最小作用量[1]”原理，令导数为零，于是我们得到

 然而，由于实际情况中，弹簧的质量分布是不均匀的，我们无法确保其质心仍然位于其几何中心，因此，上述方法缺乏一般性。我们需要更好的方法。虽然不情愿，但是为了定量解决这个问题，不得不使用牛顿创造的数学工具。为了使用微元法解决问题，先给出一个结论：当我们把一根理想的弹簧的原长进行n等分后，每一段的劲度系数都会变成原来的n倍[2]。。为了简化问题，我们将弹簧抽象成一根一维的弹性棒，除了形状之外，最主要的特性——弹力正比于形变量，以及原长状态下质量分布均匀——与弹簧都一样。设其原长为l，其质量为m，劲度系数为k，其中的点在伸长前到底端的距离为l1，并取l1处一段微小的长度dl1，则这一段极短的弹簧的弹性系数变为

这一小段的弹簧产生的弹力要抵消掉其下部的重力，设其伸长量为dΔl（如图2），则

将（4）代入（5）中，经过基本的代数运算，可得

可见，每一段长度微元的伸长量与这一长度微元在伸长前到底端的距离成正比，这与实验的结果——离底部越远其伸长量越大——相符合。为了求总的伸长量，需要把每一小段的伸长量加起来，数学上就是对（6）式两边同时积分，即

考虑到位于最底端的一小段不用克服重力，所以积分的结果为

Δl的意义为伸长前从底部到l1处这部分弹簧的伸长量。如果将l1=l代入上式，我们将得到整一段弹簧的伸长量

接下来讨论质量分布。我们知道，在三维空间中，描述质量分布的物理量是密度。同样的，为了准确描述一维空间中（或者沿某个方向的）质量分布情况，我们需要引入一个新的物理量——（质量的）线密度，通常用希腊字母λ表示。密度为单位空间中的质量，那么线密度就是单位长度上的质量。为了求空间中某一点的密度，我们可以先取一部分包罗这一点的体积V，设这部分体积包含了质量m，则这一部分的平均密度可以表示成

然后，我们让这部分空间不断地缩小，但是始终包含了之前选取的那一点，那么，上述比值变成一个两个无穷小量的比值，这个比值将会趋于一个极限，这个极限就是该点处（质量）的密度。所以，对于某一点上的密度，其表达式为

其中，dm为该点的质量，dV是该点的体积。这里用到了极限的思想。实际上，在讨论伸长的情况时，也用到了极限的思想（微积分）。由此类比得出某一点处的线密度

其中dx是长度的微分。有了这些概念的准备，我们就可以开始计算了。

在这里，我们需要一个新的量，就是原来距离底端l1的那一小段在伸长后与底端的距离l2（如图2）。显然，二者间有关系

将（8）代入到（10）中，我们得到二者间具体的变换关系

对于伸长前一段dl1，由于质量分布均匀，所以，在这一段上的线密度等于整一段的线密度，即

同时，这一段的dl1所包含的质量

在伸长后，这一小段的长度将会变为dl1+dΔl，但是其质量不变，所以其在原来l1处的线密度将会变小。所以……等等，为了检验计算结果，我们应当先定性地给出一些显而易见的结论。这这里，我想到两个显然的结论：

第一，对于最底端那一点的线密度，应该和伸长前的线密度相等。因为最低端的那一小段不用承受重力，所以不用伸长，其线密度自然就不变。用数学语言来讲就是

第二，从下往上线密度应当是递减的。转换成数学语言：

有了这两个结论，那么接下来的计算就可以参考（15）和（16-1）（16-2），来判断正误。

回到（14）。在伸长后，原来的这一小段的长度将会变为dl1+dΔl，根据线密度的定义，原来l1处的线密度将会变为

把（6）以及（14）代入到（17）中，得到原来l1处的线密度

把（18）与（15）、（16）比较，发现他们相符合，说明我们的计算结果经得起考验。再把（12）代入到（18）中，得到λ与l2的关系式

式（19）也符合（15）（16）。

接下来就是设法进一步检验我们的结论。除了（15）、（16-1）和（16-2）以外，还有一个显然的事实：在伸长前后弹簧的质量不变。由于（19）是最终的表达式，从（10）开始的计算都是为它服务的，所以检验（19）是一个不错的选择。伸长后，对于极短的一段dl2，其线密度几乎不变，所以包含的质量为

为了求整段的长度，应该进行积分。伸长后整一段的长度为l’，所以整一段的质量

联立（11）（13）（19）（20），我们可以发现（20）右边的计算结果就是m（计算过程略），即弹簧的质量，方程左右两边相等。所以，有理由相信（19）是正确的。

1、对于一根在原长时质量分布均匀，质量为m，原长为l，劲度系数为k的弹簧，在竖直放置自然伸长时，其伸长量

2、对于一根在原长时质量分布均匀，质量为m，原长为l，劲度系数为k的弹簧，在竖直放置自然伸长时，沿其伸长方向自底端而上的质量分布的情况（设其上一点距离底端h），即线密度随高度的变化满足

其中λ0=m/l，是弹簧在伸长前质量的线密度。

3、在进行研究时，我们可以事先得出一些显然的结论，这些结论可以作为研究过程中的“公理”。如果想检查我们的结论是否正确，我们可以看看我们的结论与“公理”是否符合，如果相符，就说明我们的结论有一定的可靠性，反之就说明我们的研究出了问题，或者是“公理”有问题（相对论以及量子力学的发展过程，更远的，比如说伽利略的斜面实验），我们就要重新审查我们的理论体系以及推理过程。

[1] 简单的来说，就是：如果一个物理量x与另一个物理量y之间有函数关系y=f（x），么能稳定存在的状态就是当f（x）取极值时，即y=f（x）的图像上那些比附近的点都要高（低）的点所对应的状态才能稳定存在，比如说，一个小球，能自发地静止在波浪线的波峰或波谷的位置。详情请参阅相关资料，本人水平有限。

[2] 劲度系数跟有效匝数成反比，这里理想的含义是匝数跟有效匝数相等。关于劲度系数详情见：

[3]封面的图片来源于B站up @陇上大成  的视频，在此对其表示感谢

[4]本人水平不足，因为我不是相关方面的专业人员，如有错误或不当的地方请多多指教。