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1、如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!第一章习题1. 1判断下列语句是否为命题，若是命题请指出是简单命题还是复合命题。（1）是无理数。（2）5能被2整除。（3）现在开会吗？（4）x+50（5）这朵花真是好看！（6）2是素数当且仅当三角形有三条边。（7）雪是黑色的当且仅当太阳是从东方升起。（8）2000年10月1日天气晴好。（9）太阳系以外的星球上有生物。（10）小李在宿舍里。（11）全体起立。（12）4是2的倍数或是3的倍数。（13）4是偶数且是奇数。（14）李明和王华是同学。（15）蓝色和黄色可以调配成绿色。1.2 将上题中的命题符号化，并讨论他们的真值。1. 3判断下列各命题的真值。（

如果今天是1号，则明天是3号；1. 5将下列命题符号化。（1） 2是偶数不是素数；（2） 小王不但聪明而且用功；（3） 虽然天气冷。老王还是来了；（4） 他一边吃饭，一边看电视；（5） 如果天下大雨，他就乘公交汽车来；（6

3、） 只有天下大雨，他才乘公交汽车来；（7） 除非天下大雨，否则他不乘公交汽车来；（8） 不经一事，不长一智；1. 5设p,q的真值为0 ，r,s的真值为1，求下列命题公式的真值。如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!（1） p(qr);（2） (pr)(ps); （3）（p(qr)(pq)(rs);(4)(p(qrp)(rs);1.6设p：2+3=5。 q：大熊猫产在中国。

问AB吗？1.10求下列命题公式的主析取范式，主合取范式，成真赋值，成假赋值。1.11通过求主析取范式判断下列各组命题公式是不是等值。如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!1.12有一探测队有3名队员，有一天取得一块矿样，3人的判断如下：甲

5、说：这不是铁，也不是铜；已说：这不是铁，是锡；丙说：这不是锡，是铁；经实验鉴定后发现，其中一人两个判断是正确的，一个人判断对一半，一个人的判断全错了，根据以上的情况判断矿样的种类。1.13判断下列的推理是不是正确，先将命题符号化，在写出前提和结论，然后在进行判断。（1）如果今天是1号，则明天是5号，今天是1号，所以明天是5号。（1）如果今天是1号，则明天是5号，明天是5号，所以今天是1号。（1）如果今天是1号，则明天是5号，明天不是5号，所以今天不是1号。（1）如果今天是1号，则明天是5号，今天不是1号，所以明天不是5号。1.14构造下面的推理的证明。1.15如果他是理科学生，他必学好数学，如

6、果他不是文科学生，他必是理科学生，他没有学好数学，所以他不是文科学生。判断上面的推理是不是正确，并且证明你的结论。1.16给定命题公式如下；上述公式的成真赋值A，成假赋值为B，公式的类型为C。如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!供选择的答案: 无 全体赋值 010，100，101，111 010，100，101，110，111B: 无 全体赋值 000，001，011， 000，010，110C: 重言式 矛盾式 可满足式1.17给定命题公式如下；上述公式的主析取范式中含的极小项的个数为A，主合取范式含的极大项的个数为B，成真值的赋值为C供选择的答案A 2 3 5 0 8B 0 8 5

7、3 C 000,001,110; 001,011,101,110,111; 全体赋值 无1.18给定下列三组前提。上述前提中，（1）的逻辑结论（有效结论）为A，（2）的逻辑结论为B，（3）的逻辑结论C。供选择的答案A,B,C: r q s 1.19设计一个符合下列要求的室类照明控制的线路，在房间的门外、门类及其床头分别装一个可以控制同一个电灯F的3个开关A,B,C, 当且仅当一个开关的搬键向上或3 个开关的搬键都向上时候电灯亮，则F的逻辑关系式可以化简为A供选择的答案如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!A: 1.20某电路中有一个灯泡和三个开关A,B,C。已知在且仅在下述四种情况下灯亮：

8、（1）C的扳键向上，A,B的扳键向下。（2）A的扳键向上，B,C的扳键向下。（3）B,C的扳键向上，A的扳键向下。（4）A,B的扳键向上，C的扳键向下。设F为1表示灯亮，p,q,r分别表示A,B,C的扳键向上。（a）求F的主析取范式。（b）在联结词完备集,上构造F.（c）在联结词完备集,上构造F.1.21一个排队线路，输入为A,B,C，其输出分别为FA,FB,FC。本线路中，在同一时间内只能有一个信号通过，若同时有两个和两个以上信号申请输出时，则按A,B,C的顺序输出。写出FA,FB,FC在联结词完备集,中的表达式。第二章习题2.1在一阶逻辑中将下列命题符号化. （1）鸟都会飞翔. （2）并不

9、是所有人都爱吃糖. （3）有人爱看小说. （4）没有不爱看电影的人. 2.2 在一阶逻辑中将下列命题符号化，并指出个命题的真值.个体域分别为 （a）自然数集合N（N中含O）. （b）整数集合Z. （c）实数集合R. （1）对于任意的x，均由 (2 )存在x，使得x+2=0. (3 ) 存在x，使得5x=1. 2.3 在一阶逻辑中将下列命题符号化. （1）每个大学生不是文科生就是理科生.（2）有些人喜欢所有的花.（3）没有不犯错误的人.（4）在北京工作的人未必就是北京人.（5）任何金属都可以溶解在某种液体中.（6）凡对顶角都相等.2.4在一阶逻辑中将下面命题符号化，并分别讨论个体域限制为(a),

10、(b)时命题的真值：（1）对于任意的x，均有x如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!2-2=(x+)(x-)。（2）存在x，使得x+5=9。其中(a)个体域为自然数集合，(b)个体域为实数集合。2.5将下列各式翻译成自然语言，然后再不同领域中却定它们的真值.个体域分别为（a）实数集合(b)整数集合(c)正整数集合(d)（非0

12、(3) 前提：x(F(x)G(x)，x(G(x)R(x)，xR(x)结论：xF(x)2.10在自然推理系统F中，证明下面推理：(1) 每个有理数都是实数，有的有理数是整数，因此有的实数是整数。(2) 有理数、无理数都是实数，虚数不是实数，因此虚数既不是有理数、也不是无理数。(3) 不存在能表示成分数的无理数，有理数都能表示成分数，因此有理数都不是无理数。2.11(1) 试给出解释，使得在下具有不同的真值（2）试给出解释，使得在下具有不同的真值2.12给出解释，使下面的两个公式在解释下面为假，从而说明这两个公式都不是逻辑有效式（用真式）2.13设个体域，在D=a,b,c 下D验证量词否定等值式如

13、果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!2.15设个体域，在D=a,b,c,消去下列公式中的量词。2.16求下列各式的前束范式，要求使用自由变换换名规则。2.17 构造下面推理的证明（1）前提； 结论：（3） 前提：）结论：2.18取个体域为整数集，给定下列各公式如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!在上面的公式中，真命题为A, 假命题为B供选择的答案A:

14、在一阶逻辑中给出下面4个推理2.20在一阶逻辑中构造下面的推理证明每个喜欢步行的人都不喜欢坐汽车， 每个人或者喜欢坐汽车或自行车，有的人不喜欢自行车，所以有的人不喜欢步行。命题符号化： F(x): x 喜欢步行,G(x):x 喜欢坐汽车,H(x):x 喜欢自行车.如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!在上述推理中，（2）后用的推理规则为A，（4）后面用的推理规则为B，（5）用的推理规则是（2）（4）所得到的推理规则C,（8）用的推理规则是（5）和（7）得到的推理规则D供选择的答案A,B,C,D UI, EI, UG, EG,拒取式假言推理析取三段论第三章习题集合与二元关系3.1.选择适当的

15、谓词表示下列集合：(1)小于5的非负整数(2)奇整数集合(3)10的整倍数的集合2.用列元素法表示下列集合：(1)S1x|x是十进制的数字(2)S2x|x2x5(3)S3x|xxZ3x3(5)S5|x，yZ0x2-1y03.2.设F表示一年级大学生的集合，S表示二年级大学生的集合，M表示数学专业学生的集合，R表示计算机专业学生的集合，T表示听离散数学课学生的集合，G表示星期一晚上参加音乐会的学生的集合，H表示星期一晚上很迟才睡觉的学生的集合。问下列各句子所对应的集合表达式分别是什么？请从备选的答案中挑出来。 (1)所有计算机专业二年级的学生在学离散数学课。(2)这些且只有这些学离散数学课的学生

16、或者星期一晚上去听音乐会的学生在星期一晚上很迟才睡觉。如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!(3)听离散数学课的学生都没参加星期一晚上的音乐会。(4)这个音乐会只有大学一、二年级的学生参加。(5)除去数学专业和计算机专业以外的二年级学生都去参加了音乐会。备选答案：TGH GHT SRTHGT TG FSGGFS S-(RM)G

A=B。3.8列出从集合A=1，2到B=1的所有的二元关系。3.9列出集合A=2，3，4上的恒等关系IA，全域关系EA，小于或等于关系LA，整除关系DA。3.10.列出集合A=，上的包含关系。3.11.设A=1，2，4，6，列出下列关系R: (1)

20、果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!4.1、列出以下运算的运算表：(1) A=1,2,，xA，x是x的倒数，即x=.(2) A=1,2,3,4,x,yA有xy=max(x,y),max(x,y)是x和y之中较大的数。4.2、判断下列集合对所给的二元运算是否封闭：(1) 整数集合Z和普通的减法运算(2) 非零整数集合Z*和普通的除法运算(3) 全体nn实矩阵集合Mn(R)和矩阵加法及乘法运算，其中n2(4) 全体nn实可逆矩阵集合关于矩阵加法和乘法运算，其中n2(5) 正实数集合R+和运算，其中运算定义为：,R+,ab=ab-a-b(6) nZ+,nZ=nz|zZ.nZ关于普通的加法和乘法运

(10)S=x|x=2n,nZ+，S关于普通的加法和乘法运算4.3、对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律、结合律和分配律。4.4、对习题2中封闭的二元运算找出它的单位元，零元和所有可逆元素的逆元。4.5、S=QQ,Q为有理数集，*为S上的二元运算，,S有*=(1) *运算在S上是否可交换，可结合？是否为幂等的？(2) *运算是否有单位元，零元？如果有，请指出，并求S中所有可逆元素的逆元。4.6、R为

求所有R上二元运算的单位元、零元以及每一个可逆元素的逆元。4.7、令S=a,b,上有四个二元运算：*,和,分别由表10.8确定。表10.8(1) 这四个运算中哪些运算满足交换律、结合律、幂等律(2) 求每个运算的单位元、零元及所有可逆元素的逆元。如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!4.8、设S=1,2,

23、.,10,问下面定义的运算能否与S构成代数系统?如果能构成代数系统则说明*运算是否满足交换律、结合律，并求*运算的单位元和零元。(1) x*y=gcd(x,y),gcd(x,y)是x与y的最大公约数。(2) x*y=lcm(x,y),lcm(x,y)是x与y的最小公倍数。(3) x*y=大于等于x和y的最小整数。(4) x*y=质数p的个数，其中xpy. 4.9、下面各集合都是N的子集，它们能否构成代数系统V=的子代数：(1) x|xNx可以被16整除(2) x|xNx与8互质(3) x|xNx是40的因子(4) x|xNx是30的倍数 4.10、设V=，其中+和分别代表普通加法和乘法，对下面

24、给定的每个集合确定它是否构成V的子代数，为什么？(1) S1=2n|nZ(2) S2=2n1|nZ(3) S3=1，0，1 4.11、设V1=,其中xy表示取x和y之中较大的数。V2=,其中x*y表示取x和y之中较小的数。求出V1和V2的所有子代数。指出哪些是平凡子代数，哪些是真子代数。 第五章几个典型的代数系统5.1.设A=0,1,试给出半群的运算表,其中为函数的复合运算。5.2.设G=a+bi|a,bZ,i为虚数单位,即i2=-1.验证G关于复数加法构成群。5.3.设Z为整数集合,在Z上定义二元运算如下：x,yZ,xy=x+y-2 问Z关于运算能否构成群？为什么？ 5.4.设A=x|xRx

证明G是交换群。如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!5.6.证明群中运算满足消去律. 5.7.设G为群,若xG有x2=e,证明G为交换群。5.8.设G为群,证明e为G中唯一的幂等元。5.9.证明4阶群必含2阶元。5.10设A=a+bi|a,bZ,i2=-1,

26、证明A关于复数的加法和乘法构成环,称为高斯整数环。5.12.(1) 设R1,R2是环,证明R1与R2的直积R1R2也是环。(2) 若R1和R2为交换环和含幺环,证明R1R2也是交换环和含幺环。5.13. 判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域,如果不能构成,说明理由。(1) A=a+bi|a,bZ,其中i2=-1,运算为复数的加法和乘法。(2) A=-1,0,1,运算为普通加法和乘法。(3) A=M2(Z),2阶整数矩阵的集合，运算为矩阵加法和乘法。(4) A是非零有理数集合Q*,运算为普通加法和乘法。5.14.设G是非阿贝尔群,证明G中存在元素a和b,ab,且ab=ba. 5.15.设H

5.19.对以下各小题给定的群G1和G2以及f:G1G2,说明f是否为群G1到G2的同态。如果是,说明G是否为单同态,满同态和同构,并求同态像f(G1)和同态核kerf.(1) G1=,G2=,其中R*为非零实数的集合

5.20.设f是群G1到G2的同构,证明f-1是G2到G1的同构。5.21.图中给出六个偏序集的哈斯图。判断其中哪些是格。如果不是格,说明理由。5.22.下列各集合对于整除关系都构成偏序集,判断哪些偏序集是格。(1) L=1,2,3,4,5(2) L=1,2,3,6,12(

30、。5.28.说明图13.9中的每个格是否为分配格、有补格和布尔格,并说明理由。如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!5.29.对以下各小题给定的集合和运算判断它们是哪一类代数系统(半群,独异点,群,环,域,格,布尔代数),并说明理由。(1) S1=0，1,-1，运算为普通加法和乘法。(2)

5.32.对于n=1,.,5,给出所有不同构的n元格,并说明哪些是分配格、有补格和布尔格。5.33.设是布尔代数,在B上定义二元运算,x,yB有xy=(xy)(xy)问能否构成代数系统？如果能,指出是哪一种代数系统。为什么？ 如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!5.34.设G1为循环群,f是群G1到G2的同态,证明f(G1)也是循环群。5.35.设G=是15阶循环群。

32、(1) 求出G的所有的生成元。(2) 求出G的所有子群。5.36.设,是5元置换,且 (1) 计算,-1,-1,-1(2) 将,-1,-1表成不交的轮换之积。(3) 将(2)中的置换表示成对换之积,并说明哪些为奇置换,哪些为偶置换。5.37设A=1,2,5,10,11,22,55,110是110的正因子集，A, 构成的偏序集，其中 为整除关系。（1）画出偏序集A, 的哈斯图。（2）说明该偏序集是不是构成布尔代数，为什么？第六章习题 图论基础6.1下列各组数中，那些能构成无向图的度数列？那些能构成无向简单图的度数列？（1）1，1，1，2.3 (2)2,2,2,2,2 (3)1,2,3,4,5 (

33、4)1,3,3,36.2设有向简单图D的度数为2，2，3，3，入度列0，0，2，3，试求D的除度列。6.3设是4阶有向简单图，度数列为3，3，3，3.它的入度列9或出度列）能为1，1，1，1吗？6.4设( )为一正整数序列， 互不相同，问此序列能构成n阶无向图的度数列吗？为什么？6.5下面无向图中有几个顶点？（1）16条边，每个顶点都是2度顶点.（2）21条边，3个4度顶点，其余的都是3度顶点.（3）24条边，各顶点的度数是相同的.6.6 35条边 ，每个顶点的度数至少为3的图最多有几个顶点?6.7设n阶无向简单图中，（G）=n-1，问 （G）应为多少？6.8一个n（n）阶无向简单图中，为奇数

34、，已知中有各奇度顶点，问的补图中有几个奇度顶点？6.9设是阶有向简单图，是的子图，已知的边数（），问的边数为多少？如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!6.10画出的所有非同构的子图，其中有几个是子图？生成子图中有几个是连通图？6.11设为阶简单图（无向图或有向图），为的补图，若，则称为自补图，的生成子图中有几个非同构的自补图？6.12设无向图G有10条边，3度与4度顶点各2个，其余顶点的度数均小于3，问G中至少有几个顶点？在最少顶点的情况下，写出G的度数列、(G)、(G). 6.13设n阶图G中有m条边，证明：(G)2m/n(G). 6.14设无向图中有6条边，3度与5度顶点各一个，其余

35、的都是2度顶点，问该图有几个顶点？ 6.15证明空间中不可能存在有奇数个面且每个面都有奇数条棱的多面体。 6.16阶2-正则图有几种非同构的情况？ 6.17设n阶无向图为3-正则图，且边数m与n满足2n-3=m，问这样的无向图有几种非同构的情况？6.18画出阶有完全图所有非同构的子图，问其中有几个是生成子图？生成子图中有几个是自补图？6.19设均为阶无向简单图，他们均由两条边，他们能彼此均非同构吗？为什莫？6.20已知阶无向图中有条边，各顶点的度数均为，又已知，问在同构的意义下，是唯一的吗？又若为简单时，是否唯一？6.22在的边上涂上红色或蓝色，证明对于任意一种随意的涂法，总存在红色或蓝色？6

36、.23试寻找个阶有向简单图，使得强连通图；为单向连通图，但不是强连通图；而是弱连通图，但不是单向连通图，当然，更不是强连通图6.24设-和-分别为无向连通图G的点割集.G-的连通图分支个数k一定为几？G-l连通分支数也是定数吗？6.25有向图D如图7.19所示.求D中长度为4的通路总数，并指出其中有多少条是回路？又有几条是-到-的通路？6.26现有3个4阶4条边的无向简单图G1,G2,G3,证明它们中至少有两个是同构的。 6.27设G是n阶自补图，证明n=4k或n=4k+1，其中k为正整数。 6.28设G是n阶无向简单图，n3且为奇数，证明G与中奇度顶点的个数相等。 6.29已知在完全二部图K

37、r,s中，rs.(1)Kr,s中含有多少种非同构的圈？(2)Kr,s中至多有多少个顶点彼此不相邻？(3)Kr,s中至多有多少条边彼此不相邻？(4)Kr,s的点连通度为几？边连通度为几？ 如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!第七章习题欧拉图7.1画出完全2部图-.7.2设G为n（n-1），至少用几种颜色给G的顶点染色，使相邻的顶点颜色不同？7.3完全二部图-中，边数m为多少？7.4完全二部图-的匹配数为多少？7.5今有工人甲.乙.丙去完成三项任务a，b，c.已知工人甲能胜任a，b，c三项任务；工人乙能胜任a，b两项任务；工人丙能胜任b，c两项任务.你能给出一种安排方案，使每个工人各自去完成

38、一项他们能胜的任务吗？7.6画一个无向欧纳图，使它具有：（1）偶数个顶点，偶数条边；（2）奇数个顶点，奇数调变；（3）偶数个顶点，奇数条边；（4）奇数个顶点，偶数条边；7.7画一个有向的欧纳图，要求同8.6。7.8画一个无向图，使它是：（1）既是欧纳图，又是哈密尔顿图；（2）是欧纳图，而不是哈密尔顿图；（3）是哈密尔顿图，而不是欧纳图；（4）既不是欧纳图，也不是哈密尔顿图.7.9画一个有向图，要求同8.8。7.10若D为有向图欧纳图，则D一定为强连通图.其逆命题成立吗？7.11在什莫条件下无向图-（ ）为哈密尔顿图？又在什莫条件下为欧纳图？7.12有割点的无向图G不可能为哈密尔顿图.G也不一定

39、不是欧纳图吗？7.13判断下列命题是否为真？(1)完全图Kn(n3)都是欧拉图。(2)n(n2)阶有向完全图都是欧拉图。(3)完全二部图Kr,s(r,s均为非0正偶数)都是欧拉图。 7.14在k(k2)个长度大于或等于3的圈(全为无向的或全为有向的)之间至少加多少条新边(有向的加有向边)才能使所得图为欧拉图？ 7.15证明：若有向图D是欧拉图，则D是强连通的。 7.16完全图Kn(n1)都是哈密顿图吗？ 7.17设G是无向连通图，证明：若G中有桥或割点，则G不是哈密顿图。 如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!7.18设G为n阶无向简单图，边数m=(n-1)(n-2)+2，证明G是哈密顿图

40、。再举例说明当m=(n-1)(n-2)+1时，G不一定是哈密顿图。 7.19今有2k(k2)个人去完成k项任务。已知每个人均能与另外2k-1个人中的k个人中的任何人组成小组(每组2个人)去完成他们共同熟悉的任务，问这2k个人能否分成k组(每组2人)，每组完成一项他们共同熟悉的任务？ 7.20K5带权图如下图所示，求图中最短哈密顿回路。 第八章习题 树8.1证明下面3个图都是平面图。 8.2下面3个图都是平面嵌入，先给图中各边标定顺序，然后求出图中各面的边界和次数。 如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!8.3设G是n阶m条边的简单平面图，已知m30，证明(G)4. 8.4设n阶m条边的平面

41、图是自对偶图，证明m=2n-2. 8.5证明：平面图G的对偶图G*是欧拉图当且仅当G中每个面的次数均为偶数。 8.6求下面3个图的点色数。 8.7 无向图G如图所示：求G的支配数0，点覆盖数0，点独立数0，边覆盖数1，匹配数1. 8.8 证明图中的最大匹配一定是极大匹配，但反之不真。 8.9 证明：对于任意的无向简单图G，均有0. 8.10 n位教员要教n门课程，已知每位教员至少能教两门课程，而每门课程至多有两位教员能教，问能否每位教员教一门课且每门课都有人教？ 8.11 设二部图G=为k-正则图，其中k1，证明G中存在完美匹配。如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载! （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）

《有理数的乘方》教学反思

小学数学\"分数，小数，百分数\"的教学研究与案例评析应注意哪些

一、《课标》中分数、小数、百分数内容的理解

分数、小数的认识分散安排在两个学段，第一学段是分数和小数的初步认识；第二学段是认识分数和小数概念。

百分数的认识安排在第二学段。

《标准》中与分数、小数和百分数的认识有关的内容要求如下：

第一学段：能结合具体情境初步认识小数和分数，能读、写小数和分数。

能结合具体情境比较两个一位小数的大小，能比较两个同分母分数的大小。

第二学段：结合具体情境，理解小数和分数的意义,理解百分数的意义（参见例一）；会进行小数、分数和百分数的转化（不包括将循环小数化为分数）。

能比较小数的大小和分数的大小。

分数、小数是数的概念的一次重要扩展，与学习整数相比，学生对于分数、小数的学习要困难得多。

分数、小数无论在意义、书写形式、计数单位、计算法则等方面，还是在学生的生活经验等方面，都与自然数有较大不同。

分数、小数的学习重点在于，结合学生的生活经验，初步理解分数和小数意义，能够认、读、写小数和分数。

分数与小数的共同点都是有理数，并且本质上小数是特殊的十进制分数。

分数有两个含意，一是表示部分与整体的关系，是一个比率，比如，把一个月饼等分为 5 份，那么其中的一份是 1\/5，两份是 2\/5。

分数还是一种无量纲的数，也就是说，无论是一块小月饼还是一个大蛋糕，如果分五份的话，那么每一份都是 1\/5，与整体本身的大小无关。

应当注意到的是，通过等分得到分数单位：前面所述的 1\/5 就是分数单位，而 2\/5 表示的是两个分数单位：2\/5=2×1\/5=1\/5+1\/5。

分数的另一个含意是表示一个具体的量，如 1\/3 米，1\/3 千克等。

分数大多数情况下是用来表示一个比率，因此，分数的第一种表示在实际教学应当成为重点。

小数表示的是具体的数量，和整数一样是数量的抽象。

在分数的意义中，分数单位很重要。

利用分数单位，容易得到同分母分数的加法：1\/5+2\/5=3\/5。

这个运算表示的是：一个分数单位加上二个分数单位等于三个分数单位。

对于分母不同的分数的大小比较以及加法运算，必须对原有的分数单位进一步等分。

比如，对分了 5 份的月饼的每份再二等分，得到的新单位是原来整体的 1\/10，即 1\/5×1\/2=1\/10。

原来单位与新单位的关系是 1\/5=2\/10；进一步，原来单位的两份等价于新单位的四份：2\/5=2×1\/5=2×2\/10=4\/10。

正是因为这个原因，才有通常所说的分数的性质：分数的分子和分母同时扩大或者缩小相同倍数，分数大小不变；分母不同的分数的大小比较可以化为分母相同的分数比较，进而得到一般的异分母分数的加法运算法则。

小数的表征形式与整数相似，都是十进制。

如果以个位为基础，向左扩展就是十位、百位、千位；如果向右扩展就是十分之一位（十分位），百分之一位（百分位）等。

从这个意义上说，对小数的理解比对分数的理解更容易一些。

百分数是特殊的分数，其数量上的意义与分数完全相同。

由于百分数在实际应用中的特殊性，因此，将百分数作为一个专门的内容学习。

所以学习百分数的重点在于应用，用百分数表示现实生活中的实际问题。

小数和分数的学习分为两个学段，第一学段是小数和分数的初步认识，第二学段是小数的意义和分数的意义的理解。

两个学段的重点不同，呈现的方式和学习的方式也应当有区别。

第一学段的初步认识在于从实际情境中具体的了解小数和分数，重在现实情境的选择和运用。

如小数的认识一般从物品的标价引入。

以元为单位，3.5 元就表示 3 元 5 角。

分数的初步认识是从分物体出发，把一个饼、一个苹果平均分成 5 份，一份就是它的 1\/5。

第一学段的初步认识可以先认识分数，再认识小数。

知道 1\/10，再理解 0.1 就更容易一些。

而在第二学段也可以先认识小数的意义，再认识分数的意义。

因为，接下来的运算问题，小数要比分数容易，小数的运算过程与整数基本相同，分数的计算要复杂得多。

在学习了小数、分数和百分数之后，应当使学生了解它们之间的关系。

可以通过具体的问题帮助学生了解分数、小数和百分数的含义，以及它们的联系。

例一：说明，0.25 和 25%的含义。

在这个例子中，使学生了解，分数、小数和百分数都是有理数的常用表示方法，但含义是有所不同的。

真分数通常表示部分与整体的关系，如全班同学人数的；小数通常表示具体的数量，如一支铅笔 0.25 元；百分数是同分母（统一标准）的比值，便于比较，如去年比前年增长 21%，今年比去年增长 25%。

希望学生能够理解它们的含义，在生活中能够合理使用。

二、核心内容的深层理解与教学策略

德国数学家克罗内克有一句名言：“上帝创造了自然数，其余都是人造的。

第一个“人为”的数是正分数。

早在人类文化发展的初期，由于进行测量和均分的需要，人们引入并使用了分数。

在拉丁文里，“分数”一词源于 frangere，是打破、断裂的意思，因此分数也曾被人叫做“破碎的数”。

在数的历史上，分数几乎与自然数同样古老，在各个民族最古老的文献里，都能找到有关分数的记载，然而，分数在数学中传播并获得自己的地位却用了几千年的时间。

问题 1：小学阶段分数扩充缘于什么需要

分数的无量纲性的意义是什么

分数的扩充一般由两种需要：一是分东西的过程中，需要对一个物体进行切割与分配时，整体中的“部分”无法用自然数来表示，就需要有刻画“部分”的方式方法；二是计算过程中，“2÷3=

无法用自然数表示计算的得数，就需要有刻画这类除法运算结构的方式方法。

分数的两个作用：一个是作为有理数出现的一种数，作为运算中出现的一种数，它能和其他的数一样参加运算。

另一个作用是以比例的形式出现的数。

最重要的分数是真分数，它代表一件事物的一部分，其本质在于它的无量纲量性。

比如：盘子大小的 1\/2 代表的实际意义，与足球场大小的 1\/2 代表的实际意义是不尽相同的，但在讨论分数时是等价的。

关于分数的无量纲性：“量纲”一词来源于物理，比较通俗地解释是：基本物理量的度量单位，例如长短、体积、质量、时间等等的单位。

这些单位反映物理现象或物理量的度量，叫做“量纲”。

无量纲就是没有单位的量。

分数的本质在于它的无量纲性，即用分数表示部分与整体的关系时，不需要考虑物体的形状、大小，只看把这个物体或整体平均分成了几份，要表示这样的几份，分母、分子就对应的是几。

分数的无量纲性的意义在于，能够把事物的许多不可比的状态变成可比的状态。

例如：一个小国家的老百姓的生活质量和富有程度，与一个大国家的老百姓的生活质量和富有程度，在很多情况下并不是可比的，但是，一旦转换成人均 GDP，得到了 GDP 指数，或者得到恩格尔系数就可以进行相互之间的比较了。

通常用百分数来表示这种增长率：增长率=[（今年 GDP– 去年 GDP）\/去年 GDP]×100%。

问题 2：分数的意义可以从哪些基本维度理解

北京教育学院的张丹老师对分数从两个基本维度和四个具体方面进行了解释，这对我们理解分数有很大的启发。

两个维度一个是比，一个是数。

四个具体方面是比率、度量、运作、商。

1.比率：是指部分与整体的关系和部分与部分的关系。

其中部分与整体的关系更多地体现在真分数的含义中。

例如一个圆平均分成 4 份，每一份是整体的 1\/4。

又如，一个长方形面积是整个长方形的 1\/3，整体图形的面积应该是多少

显然，整体图形的面积应该是这样的三份。

这里的 1\/4 和 1\/3 所反映的就是取的份数与整体份数之间的关系。

部分与部分之间的关系更多地表现为是一种“记号”。

例如小红有 5 个苹果，小丽有 3 个苹果，小红的苹果是小丽的 5\/3 倍。

对比率维度的理解，可以帮助学生完成对分数的基本性质以及通分、约分等相关知识的正确认识。

2．度量：指的是可以将分数理解为分数单位的累积。

“数起源于数，量起源于量。

自然数主要用于数个数，即离散量的个数。

当测量连续量（如物体的长度）时，先需要选定度量单位，数被测物体中包含多少个度量单位，不能数尽，为了得到更准确的值，把原来的度量单位分割为更小的度量单位（平均分为 10 等份，以其中一份作为新的度量单位）

3．运作：主要指的是将对分数的认识转化为一个运算的过程。

例如，想知道 6 张纸的 2\/3 是多少张纸，学生将理解为整体 6 张纸的 2\/3，即将 6 张纸这个整体平均分成 3 份，取其中的 2 份，列出算式就是 6÷3×2，也就是 6×2\/3。

4．商：这个维度主要是指分数转化为除法之后运算的结果，它使学生对于分数的认识由“过程”凝聚到“对象”，即分数也是一个数，也可以和其他数一样进行运算。

问题 3：学生理解分数可以借助哪些模型

1.分数的面积模型：用面积的“部分—整体”表示分数。

儿童最早是通过部分—整体来认识分数的，因此在教材中分数概念的引入是通过平均分某个正方形或者圆，取其中的一份或几份（涂上阴影）认识分数的，这些直观模型即为分数的面积模型。

对于分数的面积模型，在学习过程中学生经常遇到一些困难，如：

(1)能否认识到图形“面积相等”的必要性，即整体 1 是否一样大；(2)是否习惯于图形语言到符号语言表达的转换；(3)理解大于整体 1 的分数；(4)从表示多于一个单位的图形中确定谁作为单位 1。

2.分数的集合模型：用集合的“子集—全集”来表示分数。

分数集合模型的核心是把多个看作整体 1，分数集合的优点是有利于用比较抽象的数值形式表示比与百分比。

分数的集合模型的缺点是容易对假分数产生误解，这与面积模型的问题完全一样：谁作为整体 1，这既是认识分数的一个核心，同时也是一个难点。

J·Martin 总结出整体“1”可以分为以下六种情况（以 1\/5 为例）：

(1)1 个物体，例如一个圆形，平均分为 5 份，取其中的 1 份；(2)5 个物体，例如 5 块糖，其中的 1 块占 5 块的 1\/5；(3)5 个以上但是 5 的倍数，例如 15 块糖，平均分为 5 份，取其中的 1 份；(4)比 1 多但比 5 少，例如 2 块巧克力作为整体；(5)比 5 个多不能被 5 整除，例如 7 根香蕉作为整体；(6)一个单独物体的一部分的五分之一，例如，一米的四分之三的五分之一。

以上六种情况不可能让学生同时学习，但学生逐步地经历这些情境对学习分数是非常必要的，特别是前三种情境；第四和第五种情境对于学生进一步理解分数与除法的关系非常必要；情境六则是学生很好地理解分数乘分数的模型。

3.分数的数线模型：是用数线上的点表示分数。

分数的数线模型与分数的面积模型相联系：一个分数可以表示单位面积的一部分，也可以表示单位长度的一部分，前者 2 维，后者 1 维是线性的，是用点来刻画分数。

4.分数与除法 \\ 比的关系：对分数的另一种理解是把分数与除法联系起来，分数是除法的运算结果。

分数与除法的互相转化有重要作用：把分数化为小数或百分数。

问题 4：分数意义的教学策略有哪些

1.分数的初步认识引入可以从以下方面考虑：

（1）从平均分东西中，由分得的结果是整数，过渡到分得的结果是分数。

（2）从除法运算入手，当商不能用整数表示时，就引入分数表示两个数相除的商。

（3）从测量入手，得不到整数结果，可以用分数表示。

（4）在分数概念教学中，不但要强调“平均分”，还要强调它是一个“数”。

（5）在解决“用分数表示图形的大小”时，要让学生掌握解这类题的思维过程。

引入分数的情境应该让学生体会到分数产生的必要性。

既然分数是人们要进行测量和均分才产生的，它的呈现应使人们解决这些问题。

那么，我们教学的时候，可以遵循分数产生的历史，设计一个一定要用分数解决问题的情境，让学生感到，分数的出现在情理之中，学这个知识很有用，这样才能够引起学生的充分注意，引发学生的学习兴趣。

小数是一种特殊的分数，但是又独立于分数，小数是十进制记数向相反方向延伸的结果。

无限循环小数使得我们不得不正面处理无限，向无限进军。

小数产生的两个前提：一是十进制记数法的使用；二是分数概念的完善。

小数产生的两个动因：一是十进制计数法扩展完善的需要；二是分数书写形式的优化改进。

小数的出现标志着十进制记数法从整数扩展到了分数，使分数与整数在形式上获得了统一。

我们现在的小数定义就是根据这种形式变换过程来定义的，将十进分数改写成不带分母形式的数就叫做小数。

小数的出现，是基于十进制表示数量的需要。

人们在度量物体的过程中，总是把人容易感知、触及的量作为合适的单位，如一尺、一斤、一元等，然后依十进制发展出大数目的位值系统。

然而社会生活往往还需要比单位 1 更小的计量，于是有了尺以下的...

怎样把握数学概念教学活动的方式

概念教学不等同于概念课的教学。

一个概念的学习，不仅仅是一节概念可就能完成的。

对概念的理解与掌握是一个循序渐进的过程，需要在概念课的后继课程中不断的反复应用，不断的加深理解。

例如在学习函数后，利用函数的性质比较大小：-x+5>2x2-3x+1，学生能够做对，但是说不清楚为什么。

学生知道利用的是方程、不等式等性质，但却没想到把-x+5>2x2-3x+1当成两个函数，说明学生对于函数概念，函数值，用函数观点看问题，都需要再次理解。

因此，教师在这里就要对函数等概念再次指导学生理解，指导学生从函数观点看这两个数，他们是两个函数比较大小，可以从图像中进行分析，比较函数值的大小，通过研究函数的单调性来解决。

每一个概念的学习，都不是一蹴而就的，概念课的后继课对原有概念的理解依然很重要。

概念是客观事物本质属性、特征在人们头脑中的反映。

数学概念是反映现实世界的空间形式和数量关系的本质属性的思维形式。

在初中数学教学中，加强概念的教学，正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提，是学好定理、公式、法则和数学思想的基础，搞清概念是提高解题能力的关键。

在新一轮课改理念的引领下，结合我的教学实践，就数学概念教学的有关问题与大家共同探讨。

数学是自然的，数学是清楚的。

任何数学概念都有它产生的背景，考察它的来龙去脉，我们能够发现它是合情合理的。

而要让学生理解概念，首先要了解它产生的背景，通过大量实例分析分析概念的本质属性，让学生概括概念，完善概念，进一步巩固和应用概念。

才能是学生初步掌握概念。

下面就举几个概念与法则的教学案例。

代数式（字母表示数）概念一直是学生学习代数过程中的难点，有很多学生

学过后只能记住代数式的形式特征，不能理解字母表示数的意义。

代数式的本质在于将求知数和数字可以像数一样进行运算。

认识这一点，需要有以下四个层次。

（1）通过操作活动，理解具体的代数式

问题一：让学生用火柴棒按下面的方式搭正方形，并请填写好下表：

问题二：有一些矩形，长是宽的3倍，请填写下表：

通过以上两个问题，让学生初步体会“同类意义”的数表示的各种关系。

（2）探究阶段，体验代数式中过程。

针对活动阶段的情况，可提出一些问题让学生讨论探究：

①问题一中3n+1，与具体的数有什么样的关系

②把各具体字母表示的式子作为一个整体，具有什么样的特征和意义

经反复体验、反思、抽象代数式特征：一种运算关系；字母表示一类数等）。

这一阶段还包括列代数式和对代数式求值，可设计下题让学生进一步体会代

①每包书有12册，n包书有_册。

②温度由t℃下降2℃后是_℃。

③一个正方形的边长是x，那么它的面积是_.

④如果买x平方米的地毯（每平方米a元），又付y立方米自来水费（每立方米b元），共花去_元钱

（3）对象阶段，对代数式的形式化表述。

这一阶段包括建立代数式形式定义、对代数式的化简、合并同类项、因式分

学生在进行运算中就意识到运算的对象是形式化的代数式而不是数，代数式本身体现了一种运算结构关系，而不只是运算过程。

这一阶段，学生必须理解字母的意义，识别代数式。

（4）图式阶段，建立综合的心理图式。

通过以上三个阶段的教学，学生在头脑中应该建立起如下的代数式的心理表

征：具体的实例、运算过程、字母表示一类数的数学思想、代数式的定义，并能加以运用。

（1）运算操作：计算一个足球队在一场足球比赛时的胜负可能结果的各种

（其中每个和式中的两个有理数是上、下半场中的得分数）。

（2）探究规律：把以上算式作为整体综合进行特征分析：同号相加、异号相加、一个数与零相加等的过程和结果对照总结规律，理解运算意义。

（3）形成对象：把各种规律综合在一起成为一完整的有理数加法法则，并产生有理数和的模式：有理数+有理数=①符号②数值

这一阶段还包括按照有理数和的模式及具体的运算律进行任意的有理数和的运算和代数式求值的运算等。

（4）形成图式：有理数加法法则以一种综合的心理图式建立在学生的头脑中，其中有具体的足球比赛的实例、有抽象的操作过程、有完整的运算律和形成的模式。

而且通过以后的学习获得和其他概念、规则的区别与联系。

因此，概念教学的环节应包括概念的引入-概念的形成-概括概念-明确概念-应用概念-形成认知。

与新课改理念相比，传统的教学模式下学生的学习缺少“活动”阶段，对概念的形成过程没有充分体验，学生数学概念的建立靠教师代替快体验、快抽象。

（1）过快的抽象过程使得只能有一少部分学生进行有意义的学习，难以引发全体学生的学习活动，大部分学生理解不了数学概念，只能靠死记硬背。

例如学生学习有理数运算很长时间，还经常出现符号运算错误，这就是学生对有理数运算没有理解而造成的。

（2）由教师代替学生快体验、快抽象出数学概念，即使是能跟随教师进行有意义学习的学生其学习活动也是不连贯的，建构的概念缺乏完整性。

例如学生学习了代数式的概念，经常出现a+a+a×2=3a×2，25x-4=21x，5yz-5z=y等错误，这是因为学生没有进行必要的“活动”，使“探究”的体验不完整需用造成的。

又如在求解方程中出现（x+2）2=1=x2+4x+4=1=…等错误，说明学生还停留于运算过程层面，对方程对象的结构特征不理解。

（3）学生建构概念的图式层面是学习的最高阶段，在现有教学环境下很多学生难以达到这一层面。

例如，为什么要学习解方程

新课改理念下的数学概念教学是由学生活动、探究到对象、图式的学习过程，体现了数学知识形成的规律性。

为此，我结合自己的教学实践对数学概念教学采取以下策略：

（1）教师要把“教”建立在学生“学”的活动中。

为了使学生建构完整的数学知识，首先要设计学生的学习活动。

这需要教师创设问题情境，设计时要注意以下几个方面：①能揭示数学知识的现实背景和形成过程；②适合学生的学习水平，使学习活动能顺利展开；③适当数量的问题，使学生有充足活动体验；④注意趣味性，活动形式可以多种多样，引起全体学生的学习兴趣。

（2）体现数学知识形成中的数学思维方法。

数学思维方法是知识产生的灵魂，把握数学知识形成中的数学思维方法，是学生展开思维、建构概念的主线。

学生学习中要给予提示、建议并在总结中归纳。

另外，要设计能引起学生反思的提问，如“你的结果是什么

使学生能顺利完成由“活动”到“探究”，“探究”到“对象”的过渡。

（3）数学对象的建立需经多次反复。

一个数学概念由“探究”到“对象”的建立，有时既困难又漫长（如函数概念）。

“探究”到“对象”的压缩、抽象需要经过多次反复，循序渐进，螺旋上升，直至学生真正理解。

“对象”的建立要注意简练的文字形式和符号表示，使学生在头脑中建立起数学知识的直观结构形象。

加强知识间的联系和应用，帮助学生在头脑中建立起完整的数学知识的心理图式。

综上所述，数学概念教学应努力通过揭示概念的形成、发展和应用的过程，培养学生的辩证唯物主义观念，完善学生的认知结构，发展学生的思维能力。

只要我们遵循认识规律，注意概念教学的研究与实践，就不难提高数学的教学质量。

小数的意义和性质是人教版几年级的内容

《小数的意义和性质》是人教版小学数学四年级下册的内容。

1、理解并掌握小数的性质；2、能运用小数的性质进行小数的化简和改写；3、培养学生对所学知识的归纳概括，分析综合及灵活运用的能力。

教材重点：通过探索，发现小数的性质，运用小数的性质解决相关问题。

教学难点：对小数的性质这一概念的理解是本节的难点。

小数部分后有有限个数位的小数。

如3.1465，0.364，8.等，有限小数都属于有理数，可以化成分数形式。

一个最简分数可以被化作十进制的有限小数当且仅当其分母只含有质因数2或5或两者。

类似的，一个最简分数可以被化作某正整数底数的有限小数当且仅当其分母之质因数为此基底质因数的子集。

循环小数：从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断地重复出现的小数叫做循环小数。

循环小数亦属于有理数，可以化成分数形式。

无限不循环小数：小数部分有无限多个数字，且没有依次不断地重复出现的一个数字或几个数字的小数叫做无限不循环小数，如圆周率π=3.79323…，自然对数的底数e=2.04…。

无限不循环小数也就是无理数，不能化成分数形式。

参考资料：百度百科－小数