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1、1,分析,2,牛顿定律是瞬时关系,状态变化不是瞬时的，要经历一个过程,相互作用也不是瞬时的持续作用,2）相互作用在空间上的持续 力的空间累积,1）相互作用在时间上的持续 力的时间累积,涉及到动量、冲量的概念,涉及到动量功、能的概念,3,第三章 动量 动量定理,3.1 动量 冲量 动量定理,3.2 质点系的动量定理 动量守恒定律,理解动量、冲量概念, 掌握动量定理和动量守恒定律 ，掌握用动量守恒定律解决问题的特点和方法。,教学基本要求：,4,3.1 动量（momentum） 冲量（impulse） 动量定理 (theorem of momentum ),一、动量,由牛顿定律,有,- 牛顿定律的微

2、分形式,力在时间内的累积量为：,5,定义：力在一段时间内的累积量称为冲量， 即：,二、冲量,三、质点动量定理,恒力的冲量：,变力的冲量：,（冲量的方向一般不 是力的方向）,即：在给定的时间内，外力作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量。,6,明确几点：,1）动量定理说明质点动量的改变是由外力和 外力作用时间两个因素，即冲量决定的。,2）冲量的方向不是与动量的方向相同，而是 与动量增量的方向相同,3） 动量定理 是矢量式，其直角坐标 的分量式：,7,例题 一颗子弹在枪筒内受合力为F = a bt ，运行到枪口刚好 F = 0 ，由枪口射出时速率为 v0 。 求：子弹在枪筒内运行的时间；

3、子弹所受的冲量；子弹的质量。 （a、b为常数、SI单位制）,解：,由动量定理,子弹出枪口时,由冲量的定义,8,4）平均冲力,在冲击和碰撞等问题中， 常引入平均冲力的概念。,9,解：,对地平均冲力为:,例题：一重锤质量为m，从高h处自由落下，打在地面不再跳起。设重锤与地面相互作用时间为 。 求：重锤对地的平均冲力。,重锤受两力：,由动量定理：,注意,这里重锤自身的重量要考虑在内。只有当前项远大于后一项时，才能不计自重。,10,例题：一只篮球质量为 0.58 kg，从2.0 m 高度下落，到达地面后，以同样速率反弹，接触时间仅0.019s。 求：对地平均冲力。,解：,篮球到达地面的速率,对地平均冲

4、力为:,相当于 40kg 重物所受重力!,11,例题：质量为2.5g的乒乓球以10m/s的速率飞来，被板推挡后，又以20m/s的速率飞出。 求：1）乒乓球得到的冲量；2）若撞击时间为0.01s，则板施于球的平均冲力的大小和方向。,解：,由于作用时间很短，忽略重力影响。,则,取坐标，将上式投影：,设挡板对球的冲力为,12, 为平均冲力与 x 方向的夹角,13,因为内力 ，故：,3.2 质点系动量定理 动量守恒定律,（theorem of mometum of a system of particles）,一、质点系的动量定理,由于系统的内力成对出现，系统的内力矢量和为零。,14,质点系总动量的增

5、量等于作用于该系统合外力的冲量,强调：只有外力才能引起质点系总动量的改变。质点系内力的矢量合为0，对系统总动量的改变无贡献，但内力会使系统内各质点的动量发生变化。,质点系的动量定理：,推广到多质点系统，动量定理表达式为：,即：,15,推开前后系统动量不变,16,由质点系的动量定理：,动量守恒定律：当系统所受的合外力为0时， 系统的动量守恒。,二、动量守恒定理,17,1、质点系受合外力为 0，每个质点的动量可能变化，系统内的动量可以相互转移，但它们的总和保持不变。各质点的动量必相对于同一惯性参考系。,2、若合外力不为 0，但在某个方向上合外力分量为 0，则在该方向上动量守恒。,明确几点：,18,

6、前者保证整个过程中动量守恒，后者只说明始末时刻动量相同。,5、动量守恒定律只适用于惯性系，在微观高速范围仍适用，是自然界最普遍，最基本的定律之一 。,3、自然界中不受外力的物体是没有的，但如果系统的内力外力，可近似认为动量守恒。在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中，往往可忽略外力。,19,例题：质量为m的人站在一质量为M、长为 l 的小车一端，由静止走向车的另一端，求人和小车各移动了多少距离? ( 不计摩擦 ),解：水平方向上车和人系统不受外力作用，,故动量守恒；,设车和人相对地面速度 分别为 和,即:,两者运动方向相反,20,设人在时间 t 内走到另一端，,人相对于车的速度为：,21

7、,解：1）无牵引力和摩擦力，动量守恒。,2）有牵引力：,例题：煤粉从漏斗中以 dm/dt 的流速竖直卸落在沿平直轨道行驶的列车中，列车空载时质量为M0，初速为v0，求：1）在加载过程中某一时刻 t 的速度和加速度。2）（忽略摩擦力）如果要使列车速度保持v0，应用多大的力牵引列车？,22,我国长征系列火箭升空,23,例题： 一粒子弹水平地穿过并排静止放置在光滑平面上的木块，穿行时间各为 t1、 t2，设子弹在木块中受到恒阻力F 。求：子弹穿过后， 两木块各以多大速度运动？,解：,子弹穿过第一木块时， 两木块速度相同均为v1,子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为v2,24,考虑到动量定理的意义，冲量仅决定于始末两个状态。,再结合 式，可得结果。,

大家也许小时候都有过一个疑问：人们走路的时候为什么要甩手呢？为什么如果走顺拐了会感觉特别别扭呢？一个很常见的解释是，为了保持身体平衡..这种解释了和没解释没什么区别的答案是永远正确的，但问题是具体甩手是怎么保持身体平衡的？

为了讲清楚这个现象，需要先引入一个叫角动量的概念。（本文中所研究的现象只涉及绕轴的旋转，因此在这里就引入一个角动量的简化版本的定义好了。）对于一个质量为m质点：先随便找一条直线作为参考轴，设被研究的质点到这条轴的距离为r，如果质点垂直于r方向的速度为v，那么这个质点（相对于参考轴）的角动量则为L=rmv。如果被研究的物体不是质点，例如是一只人类，那么她整个的角动量是她身上所有质点的角动量之和。

定义了角动量之后，可以通过简单的推导立刻推出一个非常牛逼的性质，角动量定理：物体的角动量变化率等于它所受的外力矩。（大家应该记得力矩是什么吧..就是r乘以垂直于r方向的力。）于是乎，倘若系统没有外力矩作用，那么角动量就华丽丽的守恒了：此即为传说中的角动量守恒！这种情况是十分多见的：例如一个旋转着的陀螺，为什么它不会很容易倒下呢？原因就在于角动量守恒：就选取陀螺的转轴为参考轴，那它就是不受外力矩的，因此它的角动量守恒，因此在理想情况下它将一直转下去。大家还记得动量p可以写成p=mv吧，于是角动量L就等于r×p。因此角动量守恒就可以被称之为rp守恒~！（这只是非官方叫法，莫当真。。。）

角动量守恒与能量守恒、动量守恒这三个守恒定律，是这个宇宙中最基本最牢不可破的三条定律，它们都是我们宇宙基本时空性质的反应。根据理论力学中的一个深刻的定理——诺特尔定理：能量守恒等价于时间平移对称性，即物理定律并不随着时间的流逝而发生改变；动量守恒等价于空间平移对称性，即物理定律并不随着空间地点的改变而改变；角动量守恒则等价于空间各向同性，即物理定律并不随着空间朝向的改变而改变。

回到本文一开始的问题上来。

我们选取过人的质心与地面垂直的直线作为参考轴。右脚踩在地上而左脚往前迈时，左脚一个相对于轴向前的速度，而右脚有一个相对轴向后的速度。假设我们的手不甩的话，他们对身体总角动量就没有贡献，于是身体有了一个绕参考轴顺时针旋转的角动量。而当左脚踩在地上而右脚向前迈进时，相应的，人的身体具有逆时针旋转地角动量。根据角动量定理，角动量只要发生改变，就必须有力矩作用在系统上。因此脚底必须给身体一个让其逆时针旋转的力矩，这是走路时身体受到外力矩的唯一方式。但是注意到脚底给身体的合力必须是零，否则人没法匀速走路了，因此这个力矩得是一对等大反向而作用点不同的力产生，必须是脚底板和地面有个相对的旋转运动才能产生出来。然而这种脚底转着搓地的动作想想都觉得难受，我们的身体大概没有进化出专门干这种诡异事情的肌肉。总结一下就是：如果不甩手，脚底板就要承受很别扭的转着搓地的运动。一般来说人们在走路时是不会选择后者的，因此就必须甩手。

当我们认可了脚底不会去转着搓地之后，人的身体整个就没有外力矩了，进而有角动量守恒并且等于零。换句话说，根植于潜意识中的走路程序始终是在维持着身体的角动量守恒。以此就可以很轻松地看出我们应该如何甩手了：当两腿让身体有顺时针旋转时，双手就必须让整体再有个逆时针旋转，即哪边的腿往前迈，哪边的手就必须往后甩，这样才能让整体角动量保持为零，这就是正常的甩手方式；而如果顺拐的话，手和腿朝着同一方向，显然无法让整体角动量为零，这样走路的话就又需要脚底板难受了。这就是走路甩手奥秘的全部。

角动量守恒在生活中还有许许多多的应用。

一个例子是可以很轻松地解释直升机的尾翼是干嘛用的。小时候我也好奇为什么直升机都配备一个尾翼，似乎直升机只要一个大的螺旋桨提供升力就够了啊。可是用角动量守恒去一分析就可以知道，如果没有尾翼，直升机系统是角动量守恒的，因为起飞时角动量为零，因此会一直为零。而直升机的螺旋桨是一定要旋转的，这就让直升机无可奈何，只有机身拼命地往相反方向去旋转才可能保证总角动量始终为零。在没有尾翼的情况下，这种反向旋转是不可避免的，任何巧妙的机械都无法实现让他不转。因此为了让机身不转，必须打破角动量守恒，这就要提供外力矩，尾翼就是用来干这事的。

《意料之外的绞刑》（马丁·加德纳 著）里提到了一种有意思的东西，叫翻身陀螺，上图就是一个例子。它是一种特殊的陀螺，就是它在绿色朝下旋转的时候，会因为不稳定而自动翻身，翻成绿色朝上然后稳定地旋转。翻转的道理先不用管，问题是：一开始让他顺时针旋转的话，翻身之后他是逆时针转还是顺时针转呢？也许没有接触过角动量概念的人会觉得是逆时针转，因为陀螺好像不太可能停下来然后换个方向转，而直接把陀螺倒过来看貌似就是逆时针转的了。可是当我们知道了角动量守恒之后，就可以轻松判断一定会仍然顺时针旋转了。我们甚至根本不必关心翻身的过程到底有多复杂，这就是用守恒律去研究问题的一大好处。

最后再来一张xkcd的漫画，相信明白了角动量守恒的你们应该能看得懂了：

//原载于。出于某种大家可以自行揣测的原因，我在果壳网发表时并没有用自己的ID。

与系统的能量守恒类似，系统的动量也存在守恒的状况。那么，动量守恒定律公式如何推导呢？下边小编整理了一些相关信息，供大伙参考！

动量是矢量。动量守恒定律的方程是一个矢量方程。通常规定正方向后，能确定方向的物理量一律将方向表示为“+”或“-”，物理量中只代入大小：不能确定方向的物理量能够用字母表示，若计算结果为“+”，则说明其方向与规定的正方向相同，若计算结果为“-”，则说明其方向与规定的正方向相反。

动量是一个瞬时量，动量守恒定律指的是系统任一瞬间的动量和恒定。所以，列出的动量守恒定律表达式m1v1+m2v2+…=m1v1ˊ+m2v2ˊ+…，其中v1，v2…都是作用前同一时刻的瞬时速度，v1ˊ，v2ˊ都是作用后同一时刻的瞬时速度。只要系统满足动量守恒定律的条件，在相互作用过程的任何一个瞬间，系统的总动量都守恒。在详细问题中，可通过任何两个瞬间系统内各物体的动量，列出动量守恒表达式。

物体的动量与参考系的选择有关。通常，取地面为参考系，所以，作用前后的速度都必须相对于地面。

它不仅适用于两个物体组成的系统，也适用于多个物体组成的系统；不仅适用于宏观物体组成的系统，也适用于微观粒子组成的系统。

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