中所需的概率论 高斯的推导（七）数据分析师

论道正态，的4大数学推导

如本blog内之前所说：凡是涉及到要证明的东西.理论，便一般不是怎么好惹的东西。绝大部分时候，看懂一个东西不难，但证明一个东西则需要点数学功底，进一步，证明一个东西也不是特别难，难的是从零开始发明创造这个东西的时候，则更显艰难(因为任何时代，大部分人的研究所得都不过是基于前人的研究成果，前人所做的是开创性工作，而这往往是最艰难最有价值的，他们被称为真正的先驱。牛顿也曾说过，他不过是站在巨人的肩上。你，我则更是如此)。

     上述第4节已经介绍了的历史由来，但尚未涉及数学推导或证明，下面，参考概率论沉思录，引用“的前世今生”等相关内容，介绍推导正太分布的4种方法，曲径通幽，4条小径，殊途同归，进一步领略的美妙。

误差分布导出的极大似然估计 = 算术平均值

    设真值为，而为次独立测量值，每次测量的误差为，假设误差的密度函数为，则测量值的联合概率为n个误差的联合概率，记为

    由于高斯假设极大似然估计的解就是算术平均，把解带入上式，可以得到

    由于此时有，并且是任意的，由此得到：.再在(6)式中取，并且要求，且，则有，并且

    所以得到而满足上式的唯一的连续函数就是，从而进一步可以求解出

    由于是概率分布函数，把正规化一下就得到密度函数

本节书摘来自华章社区《电子元器件的可靠性》一书中的第2章，第2.7节正态分布或高斯分布，作者王守国，更多章节内容可以访问云栖社区“华章社区”公众号查看

2.7　正态分布或高斯分布
2.7.1　正态分布规律
Distribution）最初是由误差理论推导出来的，是概率论中最重要的概率分布之一。它是哈根和高斯从不同假设角度出发，推导出相同的分布函数，故又称高斯分布，其分布密度函数f(t)为f(t)=12πe－(t－μ0)22σ2（2-13)式中，σ、μ0为与时间无关的常数。σ称为标准偏差或方均根误差，μ0称为均值。其失效分布密度函数如图2.13a所示。

从图2.13中可以看出：
1） 曲线关于μ0左右对称，两边的面积正好各占一半，且(μ0－σ)～(μ0+σ)的面积为曲线下总面积的68.3%，(μ0－2σ)～(μ0+2σ)的面积为曲线下总面积的95.4%，(μ0－3σ)～(μ0+3σ)的面积为曲线下总面积的99.7%，而不论σ值的大小如何均是这样，如图2.13b所示。
2） 在相同的σ值下，μ0的大小只影响图形的位置，而不影响形状。也就是说，μ0影响分布函数的平均值。
3） 在相同的μ0值下，σ的大小只影响曲线的平坦程度。σ越大，曲线越平坦，其失效概率分布越分散。
因此，只要确定均值μ0和标准偏差σ，就完全确定正态分布曲线。

2.7.2　失效率的状态分布
正态分布代表了产品的失效时间是以均值μ0为中心的对称分布，其失效率随时间增长而递增。正态分布可用来描述产品在某一时刻后由损耗或退化产生的失效。产品服从正态分布的可靠性特征量分别为:
=2μ02π2∫∞0e－Z22dZ2=2μ0ππ2=μ0　　因此，服从正态分布的电子产品的平均寿命是常数，且等于分布函数的均值μ0。显然，σ将表示产品寿命的分散程度，σ小表示分散程度小。
同样，也可以求出正态分布的方差，它等于分布的标准偏差的平方，即正态分布的方差为Dt=∫∞－∞(t－μ0)2f(t)dt=σ2　　正态分布在可靠性计算中有两个主要应用：第一是考虑元器件的定量特性与标称值的关系，包括计算电子元器件特性符合性能要求的概率；第二是用于电子元器件描述耗损失效期的失效分布规律，因为耗损失效期的分布规律非常接近于正态分布。
必须指出的是，在威布尔分布与正态分布的分布函数均值和标准偏差相等的条件下，当威布尔分布的形状参数m介于3～4之间时，两种分布的分布密度函救的曲线基本上是重合的。因此，可以将正态分布规律用m=3～4的威布尔分布规律来近似。

2.7.3　正态分布概率纸
正态分布参数μ0、σ可用解析方法计算来确定，也可以根据类似威布尔分布的分析方法构造出正态概率纸，用图解法来求得。
因为累积失效概率函数F(t)=1－R(t)=∫t0f(t)dt=12πσ∫t0e－(t－μ0)22σ2dt若令Z=t－μ0σ，则dZ=1σdt，有F(t)=1－R(t)=∫Z－∞12πe－Z22dZ=Φ(Z)　　显然，给出一个Z值，就有函数值Φ(Z)与之对应，正态分布表就是Z值与Φ(Z)值之间的对应关系表，其特殊点的对应关系如图2.14所示。
利用其对应关系可以构造出一种特殊概率纸——正态概率纸。正态概率纸也由两个直角坐标系构成，一个直角坐标系是t～Z直角坐标系，横轴是t轴，纵轴是Z轴，两坐标轴的刻度是线性的，另一个直角坐标系是t～Φ(Z)坐标系，由于F(t)=Φ(Z)，也就是t～F(t)坐标系，其横轴还是原来的t轴，刻度不变；纵轴还是原来的纵轴，但纵轴的F(t)=Φ(Z)是按图2.14对应Z值的Φ(Z)值划分刻度的，从而构成正态概率纸，如图2.15所示。

因为Z=t－μ0σ，Z与t呈线性关系，所以，凡产品失效概率遵循正态分布规律时，在t～Z直角坐标系中将描绘出一条直线，而这条直线同样描绘在t～F(t)坐标系中。因此，满足正态分布的分布函数F(t)在t～F(t)坐标系中必将是一条直线，把这样的概率纸称为正态概率纸。
对于正态分布用正态概率纸来处理是十分方便的。下面简述正态概率纸的应用。
1） 同前所述，将试验数据由小到大排列，按t～F(t)作成数据表；
2） 在正态概率纸上描绘出［ti,F(ti)］对应的点；
3） 通过所描出的点按最小二乘法原则或目视法配置回归直线，此直线就是所确定的产品失效分布曲线。
2.正态分布参数的估计
（1） 平均寿命μ0的估计
过F(t)轴上刻度为50%的点引水平线与回归直线相交，过交点引垂线与t轴相交的刻度值即为μ0。
（2） 标准偏差σ的估计
实际上有不少产品，其失效分布并不完全符合正态分布，更符合对数正态分布，如某些半导体器件和引擎材料疲劳试验的裂缝缺陷导致的失效，其分布符合对数正态分布。对数正态分布函数形式和分析方法与正态分布相类似，不同的只是将t用lnt来代替而已，其分布函数为F(t)=Φlnt－μ0σ如令lnt=x，则u=x－μ0σ，有F(t)=Φx－μ0σ=Φ(u)　　由于t与x一一对应，u与Φ(u)也一一对应，因此，可以构造出对数正态概率纸。它与正态概率纸的唯一不同之出，只是横轴不按t线性刻度划分，而是按lnt线性刻度划分。同样可得对数正态分布的对数均值估计值为μ0=lnt0.5，以及对数标准偏差的估计值为σ=μ0－lnt0.159或σ=lnt0.841－μ0　　这里必须特别指出的，由这种概率纸虽可估计出对数均值μ0和对数标准偏差σ，但不能直接从图上估计出产品的寿命特征值，还必须按下式换算才能得到产品的寿命均值α和标准偏差的估计值β公式，即α=eμ0+0.5σ2

  二项分布有两个参数，一个 n 表示试验次数，一个 p 表示一次试验成功概率。现在考虑一列二项分布，其中试验次数 n 无限增加，而 p 是 n 的函数。

  1.如果 np 存在有限极限 λ，则这列二项分布就趋于参数为 λ 的 泊松分布。反之，如果 np 趋于无限大（如 p 是一个定值），则根据德莫佛-拉普拉斯(De'Moivre-Laplace)中心极限定理，这列二项分布将趋近于正态分布。

  2.实际运用中当 n 很大时一般都用正态分布来近似计算二项分布，但是如果同时 np 又比较小（比起 n来说很小），那么用泊松分布近似计算更简单些，毕竟泊松分布跟二项分布一样都是离散型分布。

日常生活中，大量事件是有固定频率的。

• 某医院平均每小时出生3个婴儿

• 某公司平均每10分钟接到1个电话

• 某超市平均每天销售4包xx牌奶粉

• 某网站平均每分钟有2次访问

它们的特点就是，我们可以预估这些事件的总数，但是没法知道具体的发生时间。已知平均每小时出生3个婴儿，请问下一个小时，会出生几个？

有可能一下子出生6个，也有可能一个都不出生。这是我们没法知道的。

泊松分布就是描述某段时间内，事件具体的发生概率。

       上面就是泊松分布的公式。等号的左边，P 表示概率，N表示某种函数关系，t 表示时间，n 表示数量，1小时内出生3个婴儿的概率，就表示为 P(N(1) = 3) 。等号的右边，λ 表示事件的频率。接下来两个小时，一个婴儿都不出生的概率是0.25%，基本不可能发生。

接下来一个小时，至少出生两个婴儿的概率是80%。

       可以看到，在频率附近，事件的发生概率最高，然后向两边对称下降，即变得越大和越小都不太可能。每小时出生3个婴儿，这是最可能的结果，出生得越多或越少，就越不可能。

      二项分布即重复n次的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且是互相对立的，是独立的，与其它各次试验结果无关，结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变，则这一系列试验称为伯努利实验。

distribution）,最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
       正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

假设随机变量X服从一个位置参数为μ、尺度参数为σ的正态分布，则可以记为：

当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

在python中画正态分布直方图

通过numpy构造正太分布数据，之后画图，可以通过size大小来调节数据的正太分布效果

画直方图与概率分布曲线