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这是二分法与求方程近似解教案，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。二分法与求方程近似解教案第 1 篇1、 教学目标1.1 知识目标：理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法。1.2能力目标：体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法；让学生能够初步了解近似逼近思想，培养学生能够探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力。1.3情感、态度与价值观正面解决问题困难时，可以通过迂回的方法去解决。2、 教学重点能够借用计算器，用二分法求相应方程的近似解。3、教学难点对二分法的理论支撑的理解。4、教学方法实例导入 推出课题 实践探究 总结提炼学生感悟(总结、反思)5、教具多媒体课件6、教学过程…………………………………………………………………………………………………一、创设情景，引入新课师：大家先来看一段录像(放映CCTV2幸运52片段)支持人李咏说道：猜一猜这件商品的价格。观众甲：2000！李咏：高了！观众甲：1000！李咏：低了！观众甲：1700！李咏：高了！观众甲：1400！李咏：低了！观众甲：1500！李咏：低了！观众甲：1550！李咏：低了！观众甲：1580！李咏：高了！观众甲：1570！李咏：低了！观众甲：1578！李咏：低了！观众甲：1579！李咏：这件商品归你了。下一件……师：(手拿一款手机)如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？生1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔十元降低报价。生2：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔100元降低报价。如果低了，每50元上涨；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价……生3：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价……师：在现实生活中我们也常常利用这种方法。譬如，一天，我们户县一中与人民路之间的线路出了故障，电工是怎样检测的呢？是按照生1那样每隔10米或者按照生2那样每隔100米来检测还是按照生3那样来检测呢？生：(齐答)按照生3那样来检测。师：生3的回答，我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件，区间逼近法)。二、讲解新课师：那我们能否采用这种逐步逼近的方法来解一些数学问题呢？(多媒体)能否求解方程式生4：方程的解可用求根公式来解。师：不解方程，当然也不许用求根公式，如何求方程的一个正的近似解？(精确到0.1)(探究离不开问题，问题教学有赖于教师对问题情景的创设，以及问题的呈现方式)1、 学生先自行探求，并进行组织交流。(倡导学生积极交流、勇于探索的学习方式，有助于发挥学生学习的主动性)①师生共同探讨交流，引出借助函数f(x)=的图象，能够缩小根所在区间，并根据f(2)<0,f(3)>0,可得出根所在区间(2,3)；②引发学生思考，如何进一步有效缩小根所在的区间；③共同探讨各种方法，引导学生探寻出通过不断对分区间，有助于问题的解决；④用图例演示根所在区间不断被缩小的过程，加深学生对上述方法的理解；⑤引发学生思考在有效缩小根所在区间时，到什么时候才能达到所要求的精确度。2、 学生简述上述求方程近似解的过程。(通过自己的语言表达，有助于学生对概念的理解)(思考，解决。问题激励，语言激励)(生推导，师欣赏，鼓励学生，生口答，得出)生5：因为2.375与2.4375精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为3、 揭示二分法的定义。指出运用二分法的前提是要先判断某根所在的区间。例题剖析(多媒体)例1.根据表格中的数据，可以断定方程 的一个根所在的区间是( )x-101230.3712.727.3920.09x+212345A (-1,0)B (0,1)C (1,2)D (2,3)师：我们可以通过什么来判断某根所在的区间的？生6：师：有了这个依据，本题应选什么？为什么？生7：师：现在，判断某根所在区间有哪些方法？生8：画图或利用函数值的正负来判断。例2.利用计算器，求方程(本例鼓励学生自行尝试，即能否利用二分法来求解本例，此处教师仅仅是引导学生如何把问题进行有效转化。要让学生体验解题遇阻时的困惑以及解决问题的快乐，感受数学学习的乐趣)(让学生思考片刻)师：估计方程的根在什么范围内？生：(无语)师：(启发，师微笑着说)判断某根所在区间的方法是---(部分学生跟着说出方法)那，现在我们可以画出哪些函数的图象？生9：作：y=lgx，y=3-x的图象；师：你们发现了什么？生(齐答)：图象有一个交点；师：这意味着什么？生：在两个函数图象的交点处，函数值相等。因此，这个点的横坐标就是方程lgx=3-x的解。从图象上可以发现，这个方程有惟一解，且在区间(2，3)内。师：判断出了根所在区间后接下去怎么办？生：利用函数；师：哪个函数？怎么算出近似解来？生10：因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以原方程的近似解为x2.6师：在求解上述两类不同类型方程近似解的基础上，引导学生归纳二分法求解方程f(x)=0[或g(x)= h(x)]近似解的基本步骤：①画图或利用函数值的正负，确定初始区间(a,b)，验证f(a)f(b)<0；②求区间(a,b)的中点；③计算f(x1)：若f(x1)=0，则x1就是函数f(x)的零点，x1就是f(x)=0的根，计算终止；若f(a)f(x1) 0，则选择区间(a,x1)；若f(a)f(x1)0，则选择区间(x1，b)；④循环操作②、③，直到当区间的两端点精确到同一个近似值时才终止计算。(通过归纳总结，能够完善学生的认知结构)(多媒体)练习：1)2)3)( )A.1B. 2C. 3D. 44) ()A.仅有一根B.有一正根一负根C.有两负根D.无实根(全班共四组，第一、二组做练习1)、3)；三、四组做练习2)、4)。)(目的：让学生进一步巩固掌握二分法求近似解的操作步骤及其应用)思考：从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为几个？(此例既体现了二分法的应用价值，也有利于发展学生的应用意识)三、课堂小结师：请同学们回顾一下本节课的教学过程，你觉得你已经掌握了哪些知识？(生总结，并可以互相交流讨论，师投影显示本课重点知识)1、 二分法是一种求一元方程近似解的通法。2、 利用二分法来解一元方程近似解的操作步骤。3、 可以利用函数的图象来判断方程根的个数。四、布置作业必修1第119页习题3、47、教学反思二分法的思想和用二分法求方程的近似解是本节课的重点也是难点，我用模仿CCTV2幸运52的物价竞猜和线路检查，让学生体会二分法的思想和解决问题的方法，帮助学生突破难点。为了进一步分化用二分法求方程近似解这个难点，我采用分步提问的方法。当然，不足之处在于设置问题的过程中，可能有时铺垫过少，效果还不是特别理想，对于方法的介绍，并没有做到完全放开让学生提取，我想在以后的设计中，应该努力尝试，大胆的把问题甩给学生，相信在教师的引导下，他们会总结的更好，汲取的更快。二分法与求方程近似解教案第 2 篇　　教学目标　　知识与技能 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用.　　过程与方法 能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备.　　情感、态度、价值观 体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一.　　教学重点　　通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.　　教学难点　　恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解.　　教材分析　　本节课注重从学生已有的基础(一元二次方程及其根的求法，一元二次函数及其图象与性质)出发，从具体(一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标之间的关系)到一般，揭示方程的根与对应函数零点之间的关系.在此基础上，再介绍求函数零点的近似值的“二分法”，并在总结“用二分法求函数零点的步骤”中渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔.教科书不仅希望学生在数学知识与运用信息技术的能力上有所收获，而且希望学生感受到数学文化方面的熏陶，所以在“阅读与思考”中，介绍古今中外数学家在方程求解中所取得的成就，特别是我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献.　　学情分析　　通过本节课的学习，使学生在知识上学会用“二分法”求方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系;在求解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，所以希望学生具备恰当地使用信息技术工具解决这一问题的能力.这就要求学生除了能熟练地运用计算器演算以外，还要能借助几何画板4.06中文版中的“绘制新函数”功能画出基本初等函数的图象，掌握Microsoft Excel软件一些基本的操作.　　教学媒体分析　　多媒体微机室、Authorware7.02中文版、几何画板4.06中文版、Microsoft Excel、QBASIC语言应用程序　　教学方法　　动手操作、分组讨论、合作交流、课后实践　　教学环节设计流程图　　教学设计理念　　1.构建共同基础，提供发展平台;　　2.提供多样解法，适应个性选择;　　3.倡导积极主动、勇于探索的学习方式;　　4.注重提高学生的数学思维能力;　　5.发展学生的数学应用意识;　　6.与时俱进地认识“双基”;　　7.强调本质，注意适度形式化;　　8.体现数学的文化价值;　　9.注重信息技术与数学课程的整合;　　10.建立合理、科学的评价体系.　　教学过程与操作设计：　　环节　　教学内容设计　　师生双边互动　　信息技术应用　　中外历史上的方程求解　　在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座.虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月.　　由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数的零点(即的根)，对于为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法(二次时，称为求根公式).我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程求解的问题，在《九章算术》，北宋数学家贾宪的《黄帝九章算法细草》，南宋数学家秦九韶的《数书九章》中均有记载.在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，人们曾经希望得到一般的五次以上代数方程的根式解，但经过长期的努力仍无结果.1824年，挪威年轻数学家阿贝尔(N. H. Abel，1802-1829)成功地证明了五次以上一般方程没有根式解.1828年，法国天才数学家伽罗瓦(E.Galois，1811-1832)巧妙而简洁地证明了存在不能用开方运算求解的具体方程.人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题.　　师：介绍中外历史上的方程求解问题，从高次代数方程解的探索历程引导学生认识引入二分法的意义，从而引入课题.　　生：感受到数学文化方面的熏陶，最大限度的调动学生的学习兴趣，提高学习的积极性和主动性.　　Authorware7.02课件展示　　这节课就让我们来共同学习一下 §3.1.2《用二分法求方程的近似解》　　想一想　　我们已经知道，函数在区间(2，3)内有零点，且<0，>0.进一步的问题是，如何找出这个零点?　　做一做　　第一步：取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得(2.5)≈-0.084.因为 (2.5)·<0，所以零点在区间(2.5，3)内.　　第二步：取区间(2.5，3)的中点2.75，用计算器算得(2.75)≈0.512. 因为 (2.5)·(2.75)<0，所以零点在区间(2.5，2.75)内.　　结论:由于(2，3) (2.5，3) (2.5，2.75)，所以零点所在的范围确实越来越小了.如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小(见下表和图)　　师：一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.为了方便，下面我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.　　师：引导学生分析理解求区间，的中点的方法.　　生：用计算器算得　　(2.5)≈-0.084　　(2.75)≈0.512　　几何画板4.06中文版演示计算结果　　师：这样，在一定精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值.　　例如，当精确度为0.01时，由于|2.5390625-2.53125|=0.0078125<0.01，所以，我们可以将=2.53125作为函数零点的近似值，也即方程根的近似值.　　Authorware7.02课件展示　　议一议：你能说出二分法的意义及用二分法求函数零点近似值的步骤吗?　　1.二分法的意义　　对于在区间[，]上连续不断且满足·<0的函数，通过不断地把函数的零点所在的　区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection).　　2.给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：　　(1)确定区间，，验证·<0，给定精确度;　　(2)求区间，的中点;　　(3)计算：　　1若=，则就是函数的零点;　　2若·<0，则令=(此时零点);　　3若·<0，则令=(此时零点);　　(4)判断是否达到精确度;即若<，则得到零点近似值(或);否则重复步骤2-4.　　结论: 由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.　　思考：为什么由<，便可判断零点的近似值为(或)?　　师：阐述二分法的逼近原理，引导学生理解二分法的算法思想，明确二分法求函数近似零点的具体步骤.　　师：分析条件　　“·<0”、“精确度”、“区间中点”及“<”的意义.　　生：结合求函数　　在区间(2，3)内的零点，理解二分法的算法思想与计算原理.　　Authorware7.02课件展示　　由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以借助几何画板4.06中文版软件和Microsoft Excel软件来完成计算.　　我们还是以求函数的零点为例　　学生在教师引导下操作　　师：　　第一步：打开几何画板4.06中文版软件.　　第二步：点击工具栏中的“图表”，选中“绘制新函数(Ctrl+G)”，或在工作区中点击右键，选中“绘制新函数”.　　第三步：在弹出的对话框中输入　　，点击“确定”.　　几何画板4.06中文版　　环节　　教学内容设计　　师生双边互动　　信息技术应用　　第四步：观察函数图象，确定零点所在的大致区间为(2，3).　　几何画板4.06中文版　　第五步:打开　　Microsoft Excel软件　　第六步: 分别在单元格A1、B1、C1输入、、　　精确度，在C2输入0.5，分别在A2、A3输入2、2.5，选中这两个单元格后，按住鼠标左键并向下方拖动“填充柄”到单元格内出现填充值4时为止，完成自动填充.　　Microsoft Excel软件　　环节　　教学内容设计　　师生双边互动　　信息技术应用　　第七步: 在B2单元格点击“粘贴函数”，　　输入函数值公式　　“=lnA2+2*A2-6”，得到与A2相应的函数值.　　第八步:然后双击(或拖动)B2的“填充柄”，得到与第一列相应的函数值.　　生：观察所得函数值，所以零点在区间(2.5，3)内.　　第九步：重复上述操作：将A1、B1、C1复制到A7、B7、C7，把精确度设为0.25，在A8、B9分别输入2.5、2.75，选中这两个单元格后，按住鼠标左键并向下方拖动“填充柄”到单元格内出现填充值3.25时为止，完成自动填充.复制B2到B8，得到与A8相应的函数值，然后双击(或拖动)B8的“填充柄”，得到与第一列相应的函数值.　　生：观察所得函数值，所以零点在区间(2.5，2.75)内.　　Microsoft Excel软件　　环节　　教学内容设计　　师生双边互动　　信息技术应用　　结论：借助信息技术求方程近似解(函数零点)的步骤如下：　　1.利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，确定函数零点所在的大致区间;　　2.利用然后用Microsoft Excel软件逐步计算解答.　　第十步：重复上述过程，将精确度设为上次操作的一半，直到小于0.01为止，特别地，这时可以将区间端点作为零点的近似值.　　生：观察所得　　函数值，并且精确度为　　0.0078125<0.01，所以零点在区间(2.53125 ，2.5390625)内，　　*=2.53125可以为函数的零点.　　生：认真思考，运用所学知识寻求确定方程近似解的方法，并进行讨论、交流、归纳、概括、评析形成结论.　　Microsoft Excel软件　　例题：借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解(精确度0.1)　　解：(略). 打开几何画板 打开Excel　　尝试练习：　　1. 借助计算器或计算机，用二分法求函数　　的零点(精确度0.1)　　2. 借助计算器或计算机，用二分法求方程 的近似值(精确度0.01)　　师：首先利用几何画板4.06中文版软件画出函数图象，确定函数零点所在的大致区间，然后用Microsoft Excel软件逐步计算解答.　　生：独立完成解答，并进行交流、讨论、评析.　　Authorware7.02课件展示　　几何画板4.06中文版　　Microsoft Excel软件　　我们也可以借助QBASIC语言编写一定的程序来求方程的近似解.(精确到0.01)　　程序框图：　　师：介绍学生感兴趣的计算机编程问题，渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔.　　Authorware7.02课件展示　　环节　　教学内容设计　　师生双边互动　　信息技术应用　　程序语句：　　INPUT “，，=”;，，　　DO　　*=(+)/2　　=LOG()+2*-6　　=LOG(*)+2**-6　　IF *>0 THEN　　=*　　ELSE　　=*　　END IF　　LOOP UNTIL ABS(-) < OR =0　　PRINT　　END　　打开QBASIC文件　　师：输入零点的大致区间和精确度，执行程序，检验程序运行结果的正确性.　　QBASIC语言　　应用程序　　1.有兴趣的同学可以自学QBASIC语言或其他计算机语言，编写程序，来检验做题结果正确与否.　　2.查找有关资料或利用Internet查找有关高次代数方程的解的研究史料，追寻阿贝尔(Abel)和伽罗瓦(Galois)，增强探索精神，培养创新意识.　3.谈谈通过学习求函数的零点和求方程的近似解，对数学有了哪些新的认识? 将你这节课的收获与感受写成一篇小报告或小论文的形式，发表在学校的数学论坛上.　　师：继续激发学生学习数学的热情;感受数学文化方面的熏陶;充分地利用学校资源进行后续学习和交流.　　Authorware7.02课件展示二分法与求方程近似解教案第 3 篇一、内容与内容解析本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修1第三章《函数的应用》3.1《函数与方程》中第3.1.2节《用二分法求方程的近似解》，属于本小节的第三课时.第一课时我们学习了“方程的根与函数零点的关系”，第二课时学习了“函数零点的存在性”，学生通过前面两节的学习，对方程的根的存在性以及函数零点和方程的根的关系有了一定的认识.掌握了基本初等函数的图象和性质并具有了一定的数形结合的思想，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了直观认识，在此基础上介绍用二分法求函数零点近似值，也就水到渠成.二分法是求方程近似解的常用方法，在寻求方程近似解的过程中首先将方程解的问题转化为函数的零点问题处理，体现了函数的思想以及函数与方程的联系.然后借助函数的图象先初步确定函数零点所在的区间，再通过不断地把零点所在区间一分为二逐步缩小区间的范围，使区间的两端点逐步逼近函数的零点，进而得到零点的近似值.这一过程为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，为数学必修3中算法内容的学习做了铺垫.二分法体现了数学的逼近思想，对学生以后学习圆周的计算，球的面积体积公式的由来等微积分的知识起了奠基的作用.因此决定了它的重要地位.本节课的教学重点：掌握用二分法求给定方程的近似解.二、目标和目标解析（一）教学目标1. 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，能借助计算器、计算器等工具运用二分法求方程的近似解；并能够根据这样的过程进行实际问题的解决.2. 通过学生的自主探究，初步了解逼近思想、强化函数与方程思想、数形结合的思想，培养学生探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力.3. 通过对具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，体会从特殊到一般的认知过程.4.通过创设情境调动学生参与课堂的热情，激发学生学习数学的情感.并在二分法步骤的探索、发现过程中，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心.（二）教学目标解析1．本节教学内容的脉络是：先对上节课已经研究的函数的零点问题的研究结论加以回顾，并进一步提出后续问题，即“零点的值究竟是多少”，以开门见山的方式提出问题，引发学生的思考.然后对于如何解决这个问题，以一道生活中的实际问题为背景启发学生寻求解决问题的方法.这样从实际问题迁移到数学问题，调动学生参与课堂的热情，激发学生学习数学的兴趣.通过关于方程解的问题引入主题，引导学生以这个问题为线索展开讨论，用生活中的实例作为启发，进而回到方程求解当中，进一步理解二分法的概念、原理及其适用条件，掌握运用二分法求方程近似解的方法.2．数学思想的教学一般要经过渗透孕育期、领悟形成期、应用发展期、巩固深化期四个阶段，而非简单复制与灌输．在探究“用二分法求方程的近似解”的方法过程中本着“四主”的教学思想，即以“学生为主体，教师为主导，问题为主线，思维为主攻”，重点突出学生的“质疑、解疑”和教师的“启发导疑”的求知过程.通过体验求方程近似解的二分法的探究过程，启发学生利用直观想象分析问题，来培养学生的直观想象能力，加强学生对数学通性通法的学习，体验二分法的算法思想，培养学生自主探究的能力．感受方程与函数之间的联系，及数形结合思想的魅力.3.通过师生的“质疑”、“导疑”、“解疑”，最后“规范格式，归纳探究成果”的过程，让学生感受到由特殊到一般的认识规律，体会概括结论和规律的过程，培养学生认识事物的正确方法.4．在探究二分法原理的过程中，通过小组合作交流，同桌协作探究的方式，调动学生学习的积极性和主动性，培养学生的探究精神及协作意识，使学生真正体会二分法的思想，并能体验成功的喜悦.三、教学问题诊断分析学生在学习本节内容之前已经学习了方程的根与函数零点，理解了函数图象与方程的根之间的关系，并且已经具有一定的数形结合思想，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了直观认识，在此基础上再介绍求函数零点近似值的二分法比较自然.在用二分法教学时，以学生关心的“方程的解究竟是什么”这个问题为线索，通过“学生质疑—启发导疑—合作解疑”的过程实施教学，学生在学习过程中也许会提出不同意见，比如“为何要二分，四分法或黄金分法行不行”，“近似解近似到何种程度”“怎样表示近似解”，在教学中教师对于上述问题要做好预案，明确“为何二分、怎样逼近、如何终止、怎样表示近似解”几个问题.同时给学生提供充分的实践动手的机会.由于用二分法求方程的近似解是一个繁琐复杂的计算过程，学生在求解时会遇到许多困难，所以本节课借助多媒体、几何画板、计算器等信息技术手段，引导学生观察、计算、思考，理解问题的本质，从而领悟估算和二分的思想，提高数形结合的能力，同时在课程的最后启发学生可以将此繁杂的计算过程通过编程来完成，为后面算法的学习做好铺垫.　　本节课的教学难点：二分法的原理；零点所在区间的判断；精确度的理解.四、教法分析“问题是数学的心脏”，也是数学教学的心脏.问题教学，是适应新课改要求的一种数学教学方法，是在课堂教学条件下，创设问题情境，由教师与学生一起发现问题、提出问题，在教师的主导下，分析问题、解决问题.本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探究相结合的教学方法.通过“创设情境，激发探究欲望——合作讨论，引导探究方法——规范格式，归纳探究成果——巩固练习，拓展探究成果——归纳总结，体会探究价值”几个环节来完成.课堂中注重创设师生互动、生生互动的和谐氛围，通过学生动手实践、动脑思考等方法探究数学知识获取直接经验，进而培养学生的思维能力和应用意识等.五、教学支持条件分析根据本节课教材内容的特点，为了更直观形象地突出重点，突破难点、调动学生的学习兴趣，以“几何画板”软件为平台，绘制函数图象，变抽象为直观，体会“数形结合”思想；同时辅之以计算器强大的计算功能，为学生的数学探究与数学思维提供支持.六、教学过程（一） 创设情境，激发探究欲望创设情境： 上一节课学习中我们已经知道了函数在（2,3）这个区间内有零点，并且由于它在该区间单调递增，所以它在（2，3）这个区间有且仅有一个零点.那么这个零点究竟是什么呢？我们通过什么手段找到它呢？教师活动：给出思考题作为解决问题方法的启发.思考题: 从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，应该如何检查接点？【设计意图】1.从学生感兴趣的实际问题入手，轻松的进入课堂，不知不觉地进入数学的情境中.2.学生在解决思考问题过程中已经利用了二分法的思想将出现问题的结点的范围不断缩小，并用逼近的原理解决问题.从而有效地渗透了数学思想.3.通过思考题使同学体会数学源于生活服务于生活的本质.（二）合作讨论，引导探究新知问题1：由生活中的问题迁移到数学问题，方程的解究竟是什么？我们如何解决？刚才的思考题对你有何启发？学生活动：将全班分成小组，分组合作探究解答以上问题.问题2：对于例1研究方程的解，你有什么方法？可否利用函数思想，借助上节课所学的函数零点的知识来帮助研究方程的解？学生活动：回忆旧知，迁移到新知.【复习】1.函数的零点方程的实根函数的图象与轴交点的横坐标.2．零点存在定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数在区间 内有零点,即存在使得这个就是方程的根.问题3：能否根据思考题的启发先缩小方程的根所在的区间？学生活动：借助计算器求得方程的根.问题4：能否将此根所在区间进一步缩小？学生活动：借助计算器进一步求得方程的根.问题5：能否将此根所在区间再进一步缩小，反复操作使之无限逼近方程的根，从而求出方程的近似解？学生活动：小组互助操作，两人用计算器计算，两人记录方程的解所在的区间.并最后由小组代表总结发言.问题6：何时终止计算，取得近似解？问题7：近似解的选取，取最后一次，还是其他的？学生活动：由学生发现终止的方法，得出方程的近似解.预案：对比实际问题，直观的想法：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定的精确度（假设取的要求下，我们可以得到零点的近似值.学生活动：利用计算器，小组间成员互相配合，迅速求解出结果（画表格计算）次数零点所在区间区间中点的值中点函数近似值区间长度（）1（2,3）2.5-0.08412（2.5,3）2.750.5120.53（2.5,2.75）2.6250.2150.254（2.5,2.625）2.56250.0660.1255(2.5,2.5625)2.53125-0.0090.06256(2.53125,2.5625)2.5468750.0290.031257(2.53125,2.546875)2.53906250.0100.0156258(2.53125,2.5390625)2.535156250.0010.0078得出：当时，终止计算.问题8：当 时，方程的近似解是多少？学生活动：近似解为2.5或2.5625，或最后（2.5，2.5625）中的任意实数.问题9：如果当 时，方程的近似解又是多少？学生活动：近似解为2.5390625或2.53125，或最后（2.5390625，2.53125）中的任意实数.问题10：如何确定精确度？如何理解精确度？师生活动：只要根据实际问题需要确定精确度即可，同时对于区间满足即可.【设计意图】1.以问题研讨的形式替代教师的讲解，分化难点、解决重点，有利于学生对知识的掌握，并强化对二分法原理的理解.2.学生在讨论、合作中解决问题，充分体会成功的愉悦.3.利用计算器运算速度快、精确度高，适合做重复性操作的特点，让学生学会使用计算器做数学，感受现代工具带来的便捷.（三）规范格式，归纳探究成果教师活动：给出二分法的定义二分法：对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．学生活动：分析定义中的关键词并归纳二分法的步骤.二分法及步骤：给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：1．确定区间，，验证·，给定精确度；2．求区间，的中点；3．计算：若，则就是函数的零点；若·<，则令=（此时零点）；若·<，则令=（此时零点）；4．判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值（或）；否则重复步骤2---4.【设计意图】1.让学生从特殊到一般得出求函数零点近似解的的常用方法，揭示数学通常的发现过程，给学生“数学创造”的体验，这种引出方式自然而易于学生接受.2．培养学生提炼方法，归纳概括的能力，并学会学以至用.渗透从特殊到一般的数学思想.（四）巩固练习，拓展探究知识1.下列函数图象中，不能用二分法求零点的是 .2. 用二分法求方程 的近似解（精确到0.1）学生解法预案：解 : 原方程化为令，由于在上是增函数，在内有唯一零点，即方程在内有唯一解，【设计意图】本环节老师采用教师提问，学生回答的形式，利用课堂练习巩固所学的知识内容、数学思想、数学方法以求达到教学目标.（五）归纳总结，体会探究价值由学生和教师共同总结本节课所学到的知识.教师活动：通过本节课的学习,谈谈你有何收获与体会?学生活动：经过思索后可能生成以下预案：1.明确二分法是一种求一元方程近似解的常用方法.2.二分法求方程的近似解的步骤，以及计算机（器）的使用，让我们感受到程序化的方法即算法的价值.3.本节课充分体现了数学中的一些数学思想，如函数与方程思想、数形结合思想及无限逼近的思想等.最后将二分法求方程近似解的方法以口诀形式加以总结，进一步提高学生的学习兴趣. 口诀：定区间、找中点，中值计算两边看.同号去，异号算，零点落在异号间.周而复始怎么办? 精确度上来判断.【设计意图】通过总结，培养学生数学交流和表达的能力，养成及时总结的良好习惯，并将所学知识纳入已有的认知结构. 通过对二分法求方程近似解步骤的总结，并最后以口诀记忆的方法，渗透算法的知识，为算法的学习做铺垫，并便于理解记忆，归纳梳理了本节的知识和方法.（六） 目标检测题1.书后练习P91.1.22.提出数学或生活中的二分法的案例,并尝试解决它.3.探究题：(1)方程有几个解？如果有解，全部解的和与积是多少？（精确到0.01）（2）如果将方程改为呢？【设计意图】目标检测题进一步巩固了本节课知识，开放型题目进一步拓展了学生数学的知识，探究题目体现了因材施教，使不同水平的学生在数学上得到不同的发展.二分法与求方程近似解教案第 4 篇随着江苏省各地市、各学校先后在课堂教学中对“生本”理念的不断贯彻和提升，“创新”已经成为学生学习的灵魂。在“把课堂还给学生”的呼声中，我校也提出了《以学促教，师生协同成长的实践研究》课题，该课题作为省“十二五”课题的子课题已在太仓立项。这一课题的提出，不仅对学生而且对教师都提出了更高层次的要求。通过该课题的研究，拟解决以下三个主要问题：（1）在“以学生为主体”的课堂教学模式下，逐步使学生完善从被动学习到主动思考的转变。（2）通过不断研究学生“学”中的问题，完善教师的“教”的教学设计。（3）通过对学生“学”中出现问题的不断深入和研究，使教师逐步向科研型教师转化，实现在学生的发展中创新科研型教师的培养。下面结合《用二分法求方程的近似解》这节课谈谈我们是如何寻找适合学生的教学设计的。一、教学内容分析本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本》的第三章3.4.2用二分法求方程的近似解。本节课要求学生根据具体的函数图象，能够借助计算机或信息技术工具计算器，用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系……二、学生学习情况分析学生已经学习了函数，理解函数零点和方程根的关系，初步掌握函数与方程的转化思想。但是对于求函数零点所在区间，只是比较熟悉求二次函数的零点，对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难。另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题。三、设计思想倡导积极主动、勇于探索的学习精神和合作探究式的学习方式；注重提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识；与时俱进地认识“双基”，强调数学的内在本质，注意适度形式化；在教与学的和谐统一中体现数学的文化价值；注重信息技术与数学课程的合理整合。四、教学目标通过具体实例理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法，从中体会函数的零点与方程根之间的联系及其在实际问题中的应用；能借助计算器用二分法求方程的近似解，让学生能够初步了解逼近思想；体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一；通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程。五、教学重点和难点1.教学重点：用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识。2.教学难点：方程近似解所在初始区间的确定，恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解。六、教学过程设计（一）创设情境，提出问题问题1 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障。这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多。每查一个点要爬一次电线杆子，10km长的线路大约有200多根电线杆子呢。想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？以实际问题为背景，以学生感觉较简单的问题入手，激活学生的思维，形成学生再创造的欲望。注意学生解题过程中出现的问题，及时引导学生思考，从二分查找的角度解决问题。[学情预设] 学生独立思考，可能出现以下解决方法：思路1 直接一个个电线杆去寻找。思路2 通过先找中点，缩小范围，再找剩下来一半的中点。[学情展示] 多数学生认同思路1的观点，但觉得不够合理，又不知如何处理。[调整教学] 跟学生讲明思路1的不可操作性，引导学生从思路2入手，引导学生解决问题：如图，维修工人首先从中点C。查用随身带的话机向两个端点测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查。每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，如此查下去，不用几次，就能把故障点锁定在一两根电线杆附近。[动态展示] 用一个动态过程来展示一下（展示多媒体课件）。在一条线段上找某个特定点，可以通过取中点的方法逐步缩小特定点所在的范围（即二分法思想）。[设计意图] 从实际问题入手，利用计算机演示用二分法思想查找故障发生点，通过演示让学生初步体会二分法的算法思想与方法，说明二分法原理源于现实生活，并在现实生活中广泛应用。（二）师生探究，构建新知问题2 假设电话线故障点大概在函数f（x）=lnx+2x-6的零点位置，请同学们先猜想它的零点大概是什么？我们如何找出这个零点？[学情展示] 部分学生试图用描点法画出函数f（x）=lnx+2x-6的图象；另一部分学生通过做出函数f（x）=lnx与函数f（x）=6-2x的交点，来找出零点，不够精确。[调整教学] 利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，通过具体的函数图象帮助学生理解闭区间上的连续函数，如果两个端点的函数值是异号的，那么函数图象就一定与x轴相交，即方程f（x）=0在区间内至少有一个解（即上节课的函数零点存在性定理，为下面的学习提供理论基础）。引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义，掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围。我们已经知道，函数f（x）=lnx+2x-6在区间（2，3）内有零点，且f（2）0。进一步的问题是，如何找出这个零点？合作探究：学生先按四人小组探究。（倡导学生积极交流、勇于探索的学习方式，有助于发挥学生学习的主动性）生：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值。师：如何有效缩小根所在的区间？生1：通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。生2：是否也可以通过“取三等分点或四等分点”的方法逐步缩小零点所在的范围？师：很好，“取中点”和“取三等分点或四等分点”都能实现缩小零点所在的范围。但是在同样可以实现缩小零点所在范围的前提下，“取中点”的方法比取“三等分点或四等分点”的方法更简便。引导学生分析理解求区间（a，b）的中点的方法x=a+b2。合作探究：（学生2人一组互相配合，一人按计算器，一人记录过程。四人小组中的两组比较缩小零点所在范围的结果。）步骤略。[设计意图] 从问题1到问题2，体现了数学转化的思想方法，问题2有着承上启下的作用，使学生更深刻地理解二分法的思想，同时也突出了二分法的特点。通过问题2让学生掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围。问题3 判断是否达到精确度ε：即若|a-b|[学情预设] 学生思考问题3举出二次函数外，对照步骤观察函数f（x）=lnx+2x-6的图象去体会二分法的思想。结合二次函数图象和标有a、b、x0的数轴理解二分法的算法思想与计算原理。[教学效果] 以问题研讨的形式替代教师的讲解，分化难点、解决重点，给学生“数学创造”的体验，有利与学生对知识的掌握，并强化对二分法原理的理解。（三）例题剖析，巩固新知例 借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度0.1）。两人一组，一人用计算器求值，一人记录结果；学生讲解缩小区间的方法和过程，教师点评。思考：问题（1）用二分法只能求函数零点的“近似值”吗？问题（2）是否所有的零点都可以用二分法来求其近似值？教师有针对性地提出问题，引导学生回答，学生讨论，交流。反思二分法的特点，进一步明确二分法的适用范围以及优缺点，指出它只是求函数零点近似值的“一种”方法。[设计意图] 及时巩固二分法的解题步骤，让学生体会二分法是求方程近似解的有效方法。解题过程中也起到了温故转化思想的作用。（四）尝试练习，检验成果（五）课堂小结，回顾反思1.理解二分法的定义和思想，用二分法可以求函数的零点近似值，但要保证该函数在零点所在的区间内是连续不断；2.用二分法求方程的近似解的步骤。七、教学反思这节课既是一堂新课又是一堂探究课。整个教学过程，以问题为教学出发点，以教师为主导，学生为主体，设计情境激发学生的学习动机，激励学生去取得成功，顺应合理的逻辑结构和认知结构，符合学生的认知规律和心理特点，重视思维训练，发挥学生的主体作用，注意数学思想方法的溶入渗透，满足学生渴望的奖励结构。整个教学设计中，特别注重以下几个方面：（1）重视学生的学习体验，突出他们的主体地位。（2）注重将用二分法求方程的近似解的方法与现实生活中案例联系起来，让学生体会数学方法来源于现实生活，又可以解决生活中的问题。（3）注重学生参与知识的形成过程，动手、动口、动脑相结合，使他们“听”有所思，“学”有所获，增强学习数学的信心，体验学习数学的乐趣。（4）注重师生之间、同学之间互动，注重他们之间的相互协作，共同提高。我们应努力去发现问题并利用问题为学生精心设计发现和解决问题的再创造过程，倡导积极主动勇于探索的学习方式，努力培养学生的创新意识。总之，教学过程中提出问题、分析问题、解决问题的过程，是师生共同建构学习主体的过程，是学生通过创造性的解决问题，获得知识和发展能力的过程，这就需要我们在平时教学过程中结合教学目标和任务及学生实际情况和可接受的水平创设良好的探究情境，鼓励学生独立思考、自主探究。}

来源：核心期刊咨询网时间：2021-01-14 15:0812摘要：摘 要： 针对传统电磁场数值计算系统的计算结果与理论值的均方误差较大的问题，设计基于留数定理的时域电磁场数值积分计算系统。在传统计算系统硬件的基础上，设计以FPGA为核心的积分计算系统硬件。以设计的系统硬件部分为基础，设计系统的软件部分。使用傅
　　摘 要： 针对传统电磁场数值计算系统的计算结果与理论值的均方误差较大的问题，设计基于留数定理的时域电磁场数值积分计算系统。在传统计算系统硬件的基础上，设计以FPGA为核心的积分计算系统硬件。以设计的系统硬件部分为基础，设计系统的软件部分。使用傅里叶变换将频域电磁场信号转换为时域信号，根据留数定理，编写程序对时域内的电磁信号函数积分求解，完成对计算系统的设计。通过与传统的电磁场数值计算系统的对比实验，证明了设计的基于留数定理的时域电磁场数值积分计算系统的均方误差更小，更具有优越性。
　　关键词： 时域; 电磁场数值; 积分计算; 系统设计; 留数定理; 傅里叶变换
　　0 引 言
　　?W斯特发现通电磁体周围存在磁场，建立了电磁场理论。电磁场是一种由带电物体上的电荷运动产生的磁场，是电场和磁场相互依存、不断联系的统一体。在电磁场中，能量以电磁波的形式存在。电磁场广泛应用在机电能量转换、电力系统、通信、生物电磁学、电磁兼容以及信息存储等工程领域。随着近代科学的不断发展，麦克斯韦建立的电磁场理论不断被完善，求解电磁场数值的方法不断发展，有限差分法、时域有限差分法、有限元法和矩量法是电磁场数值方法中比较重要的几种方法[1?2]。计算机科学的快速发展使这些电磁场数值计算方法被大量的应用。传统的差分电磁场计算系统在对电磁场数值积分计算时受自身局限性影响，不能对开区域电磁场的连续分布分量进行求解。
　　留数定理是根据柯西定理在复分析中用来计算积分或曲线路径。留数定理通过在函数孤立奇点的邻域内展开洛朗级数，经过逐项积分得到近似解[3]。留数定理能够提高积分计算精度，简化计算过程。因此，本文设计基于留数定理的时域电磁场数值计算系统。
　　1 基于留数定理的时域电磁场数值积分计算系统硬件设计
　　在原有系统硬件基础上设计基于留数定理的时域电磁场数值积分计算系统的硬件部分，采用FPGA作为硬件部分的核心，利用FPGA芯片内部集成的大量可编程资源实现计算系统对数值计算高精度的要求。
　　ALTERA公司的FPGA开发板如图1所示，该开发板上的FPGA芯片内存为270 KB，具有15个18×18 Multipliers乘法器、10个时钟单元以及179个I/O接口。片内的SPI FLASH可以存储FPGA的配置文件以及计算过程中的缓存数据[4]。开发板上的JTAG接口可以通过该端口对FPGA进行调试和程序固化。配置复位按键，可以在二次计算校验时，一键复位，避免重新下载相关程序。
　　FPGA通电后需要对FPGA进行配置，在设计系统阶段本文采用JPGA模式配置FPGA。存?υ诖?行的PROM中的配置文件经过JPGA串口，在配置时钟信号CCLK控制下执行配置操作。按照图2配置所示，将配置文件存储在PC机中。经过JPGA串口，从PC机处读取配置文件并存入SRAM，实现对FPGA的配置[5]。基于留数定理的时域电磁场数值积分计算系统运行时，使用具有32位地址总线的PLB总线实现FPGA与PC机之间的通信。当执行软件任务时，PC端将处理完毕的时域电磁场信号转换后，输入到FPGA完成积分计算。
　　2 基于留数定理的时域电磁场数值积分计算系统软件设计
　　2.1 电磁场数值时域转换处理
　　电磁场时域数值积分计算系统利用电磁场强度采集器采集电磁场强度信号。该信号是在频域上的电磁场强度信号，为方便使用留数定理计算电磁场数值，需要对采集器信号进行频域?时域转换[6?7]。
　　采用傅里叶变换法将频域电磁场数值转换为时域电磁场数值。将电磁场数值函数看作一个线性不变的系统，则频域与时域之间的转换关系如下：
　　[ht=12π-∞+∞Hωeiωtdω] (1)
　　式中：[t]为时域时间，单位为[s];[ω]为频域下电磁场运行时的角频率，单位为[rad/s];[H]为当前电磁场运行时的磁场强度，单位为[Am];[i]为复数下的虚数单位，满足[i2=1，i<0]。傅里叶变换下电磁场数值的时域与频域的对应关系如图3所示[8?9]。
　　傅里叶变换使用正弦波叠加完成，随着叠加的递增，正弦波中上升部分让原本增加的曲线不断变陡，而下降部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分，使其变为水平线，最终叠加形成一个矩形，多个矩形连接就变成了时域上的脉冲信号[10?11]。
　　傅里叶变换将复频域内的信号函数投影至实数空间的频域中，再将信号函数的各频率进行成分累计，转换成时域上的信号。因此，只要确定了频域中电磁场的磁场强度就可以通过傅里叶变换，转换为时域中的信号[12?13]。
　　根据麦克斯韦的微分方程，在时域内使用中心差分法近似离散得到直角坐标下的麦克斯韦方程，如下：
　　[?Hz?y-?Hy?z=ε?Ex?t+σEx?Hx?z-?Hz?x=ε?Ey?t+σEy?Hy?x-?Hx?y=ε?Ez?t+σEz?Ez?y-?Ey?z=-μ?Hx?t?Ex?z-?Ez?x=-μ?Hy?t?Ey?x-?Ex?y=-μ?Hz?t] (2)
　　式中：[E]为产生电磁场的电场强度，单位为[Vm];[ε]为电磁场中电磁介质的磁导率;[σ]为电磁场中电磁介质的介电常数;[μ]为电磁场中电磁介质的电导率[14]。使用傅里叶变换对电磁场数值做时域转换，并得到差分形式的麦克斯韦方程后，根据留数定理，求解时域电磁场数值积分结果。
　　2.2 留数定理求解时域电磁场数值积分
　　电磁场数值函数路径会围成一个封闭或半封闭的区域，留数定理是将除区域上的有限个奇点外的区域解析。即若电磁场数值函数路径围成区域为[B]，区域[B]上有限个孤立奇点[b1，b2，…，bn]，则函数[fz]围成路径的积分计算形式如下：
　　[lfzdz=2πij=1nRes fbj] (3)
　　式中：[z]为时域下电磁场数值函数的变化量;[Res fbj]为时域电磁场数值函数围成区域[B]上的留数点函数[15]。根据上述定理，编写计算器的计算程序，完成使用留数定理计算时域电磁场数值积分计算。
　　3 实 验
　　为验证本文设计系统的性能，设计了相关对比实验。
　　3.1 实验内容
　　实验测试组为本文设计的基于留数定理的时域电磁场数值积分计算系统，参考组为传统的电磁场数值计算系统。实验对比指标为2组系统计算时域电磁场数值的均方误差。对比实验对象为矩形区域内不同强度的电磁场。
　　3.2 实验准备
　　选用矩形金属槽，使用电磁场实验仪在金属槽内产生电磁场。通过电平控制输入电流的大小来控制电磁场的强度。实验环境见图4。
　　将电磁场强度采集器放置在指定位置，在实验过程中，由采集器将采集的电磁场强度输入测试组和参考组两个计算系统中，完成对电磁场数值的计算。在计算机上安装数据处理软件，分析两组计算系统的均方误差，并输出。
　　3.3 实验结果
　　实验结果见图5，曲线A为传统系统计算电磁场数值的均方误差曲线，曲线B为本文设计系统计算电磁场数值的均方误差。
　　由图5可知，曲线A要远远高于曲线B，两条曲线的整体趋势都是先上升后下降;曲线A是先增加再减小，然后小幅度的增加后一直减少，曲线A和曲线B都减小到一定数值后不再变化，但是曲线A的最低值要高于曲线B的最低值;曲线A波动较大，曲线B比较平稳。相比传统系统，本文设计系统的计算均方误差更小，更具有优越性。
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