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  “圆周率的计算”问题分析：

  当我们要计算圆周率的时候，我们有两种方法进行计算，第一种方法为使用公式计算，第二种为使用蒙特卡罗方法。

  圆周率的近似计算公式：

  圆周率的蒙特卡罗方法：

  圆周率本身就是一个圆形，而蒙特卡罗方法即为将以正方形的边长的一半为半径进行画圆，而这个圆正好在正方形的界内，即为正方形的内切圆，那么圆周率与圆的面积去除以正方形的面积的商有关系。

  而如何计算这个结果，我们可以先求,即为这个图形的。在这个图形里面，我们可以对正方形进行撒点，撒满之后，在正方形内的点构成了正方形的面积，在圆内的点构成了圆的面积。通过正方形点的数量与圆方形中所撒的点的比值就能够计算出圆的面积，然后乘4即为圆的面积。因为正方形的面积好求解，通过两者比值即可求出圆的面积。

  对于求解圆周率的近似公式法我们可以进行编写代码

  N=100 #设置循环的数量或者累加的数量为100

  即使用\进行换行如下所示一般：

  pi=0#定义一个初始值为0
  N=100 #设置循环的数量为或者累加的数量为100
   

  对于求解圆周率的蒙特卡罗方法我们可以进行编写代码

  DARTS= #在当前正方形的区域内抛洒点的总数量 hits=0.0 #目前在圆的内部的点的数量 if dist<=1.0: #如果点到直线的距离小于1，则在圆内。即判断点到圆心的距离，如果大于1的话则在圆外，即正方形区域内，如果等于1，即在圆上，如果小于1，即在圆内。 hits=hits+1 #如果在圆内，即覆盖在圆内的点进行加1. pi=4*(hits/DARTS) #所求比值为的圆，进行乘以4，即可求取整个圆的圆周率，圆的圆周率与内切圆与正方形的比值有关。

  数学思维：找到公式，利用公式进行求解。

  计算思维：抽象一种过程，用计算机自动化求解

  使用time库的计时方法获得程序运行时间

  改变撒点数量，理解程序运行时间的分布，时间大部分都花在了循环代码上。

  初步掌握简单的程序性能分析方法。

  不求解圆周率，而是某个特定圆形的面积

  在工程计算中寻找蒙特卡罗方法的应用场景

• 圆周率π圆周率π是圆的周长和其直径的比值，...它的计算公式有很多种，可以用无穷级数来表示，比如数学家莱布尼茨发现的计算圆周率公式：莱布尼茨发现的计算圆周率公式再比如，数学家拉马努金发现的计算圆周率公式...

  圆周率π是圆的周长和其直径的比值，这是一个常数，在数学中是非常重要的。这个数是一个无理数，也就说是一个无尽不循环的小数，大约为3.14159……，后面有无数个小数位，永远也写不尽。经过数千年的努力，人类已经能够计算出相当精确的圆周率数值。它的计算公式有很多种，可以用无穷级数来表示，比如数学家莱布尼茨发现的计算圆周率公式：

  莱布尼茨发现的计算圆周率公式

  再比如，数学家拉马努金发现的计算圆周率公式：

  拉马努金发现的计算圆周率公式

  此外，还有数学家沃利斯在1655年发现的沃利斯乘积：

  沃利斯发现的计算圆周率公式

  而在2015年，物理学家发现，上述于17世纪发现的经典圆周率公式也隐藏在量子物理世界中。这令物理学家兴奋不已，因为它揭示了量子物理学和数学之间存在不可思议的特殊联系。物理学家完全没有想到，早在360年前发现的纯数学公式竟能描述一个现代物理系统。

  这个发现与氢原子的能级有关。由于精确算出氢原子的能级是不现实的，于是，物理学家Carl Hagen使用变分原理来估算氢原子的能级。在把这些数值与常规计算法进行比较时，他发现比率中出现了一个不寻常的趋势。很快他意识到，这实际上是计算圆周率的沃利斯乘积的一种表现，这是第一次从物理学中得到圆周率公式，十分意外的结果。

  对此，数学家Kevin Knudson表示，在氢原子的量子力学方程中竟然隐藏着圆周率的公式，这十分不可思议。大自然在过去的80年里一直保守着这个秘密，现在终于被揭开了。这不禁令人好奇，在量子力学和纯数学之间是否还隐藏着其他的秘密联系呢？

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  圆周率其实就是一个圆周长与直径的比值我们通常用希腊字母π表示, 他的计算公式有多种,  其中用莱布尼茨公式是这样

  如果你想知道为什么?  既然你诚心诚意的发问了,  我就大发慈悲的告诉你!

  首先看一下等比数列求和公式

  那么针对于下面的等比数列, 我们先证明下这个公式

  针对于上面公式我们可看到当

   带入上方公式可得

  我们便得到了莱布尼茨公式, 但是有些心细的人可能注意到了  你

  对于上面等比数列, 我们对 n+1 项求和可得

  我们把减项移到左边可得

  我们对上面等式做 0到1上积分可得

  所以我们证明出π的莱布尼茨公式成立

  接下来我们用OC 和 Swift 写下这个公式, 即计算下π,  两边乘4可得

    我们可以直接对这个无穷序列进行建模,

  我们可看到 分子是4, 分母为 首项为1, 公差 为2 的等差数列,  同时还需留意每一项需要乘上

  调用, 当我们执行50000次时候

  当次数趋近无穷大时候, 结果趋近于π

  OC, 可见swift运行效率更高一些

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原创 北京大学 北京大学

因“3.14”是最接近圆周率的两位小数

3月14日又名为“πDay”

也是北大数学科学学院师生

举办活动，庆祝πDay的第11年

带我们一起来探索其中奥秘

（文末有互动，分享赢福利！）

你的生日在圆周率里吗？

它会出现在π的小数点后第几位呢？

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“其实现在关于π中是否包含所有数字组合的性质还没有得到证明呢……你会成为那个程序也找不到你的生日的天选之人吗？”

接下来就跟随小北一起探索π的奥秘吧！

自然首先要从“3.14”开始

“3.14”是圆周率π的起始三位数

π作为一个无限不循环小数

人类对π的探索至少可以追溯到三千年前

圆周率π，就是圆的周长与直径的比值。

圆，这一被毕达哥拉斯称之为最美的平面图形，在工程、艺术、哲学领域都广受青睐，在我们识数鸡眼里也十分美妙。爱屋及乌，千百年来人们也在不断地探索和感受着π的魅力。早在三千年前，人们就开始尝试计算圆周率的数值。

各大文明古国都对圆周率的数值有一定的认识，我国的《周髀算经》（公元前1世纪）和《九章算术》（公元1世纪）记载的估计值为“3”。这一时期，人们对圆周率的探索尚处在实验阶段，通过衡量圆周长度、摆放谷粒求取面积、切割匀重木板称重等粗糙的方法对圆周率进行估算。

最早应用几何方法近似计算圆周率的人是古希腊数学家阿基米德。他使用圆的内接、外切正多边形，应用夹逼的方法对圆周进行了估计，并证明了

2014年纽埃发行了“π——圆的秘密”彩色纪念银币。该币直径50毫米，重50克，面额2新西兰元，发行量500枚。该币最大的特点就是应用了纳米雕刻技术，在币面上的一个边长11毫米的方块内，容纳了π的超过100万个数字。

在我国古代，刘徽的“割圆术”仅用圆的内接正多边形就可求出圆周率的上、下界，并给出了“

，还给出两个圆周率的近似分数，即密率355/113（这是分母小于16604的分数中最接近圆周率的一个）和约率22/7，这一成果被称为“祖率”，在圆周率计算史上保持了九百多年的记录。

北京古观象台祖冲之雕像

同样运用几何方法，阿拉伯学者卡西于1424年算出有17位可靠数字的圆周率，德国数学家鲁道夫用一生精力计算出的35位小数。

随着数学分析的发展，数学家发现了许多比几何方法更加高效的计算公式，让识数鸡获得了更加精确的圆周率。

1579年，法国数学家韦达利用他发现的连乘积公式计算出：

1673年，莱布尼茨利用反正切函数的级数展开式：

1706年，英国数学家梅钦发现了Machin公式：

并用该公式计算到的小数点后100位。

此后的一段时间里，数学家开始广泛使用无穷级数的方法计算圆周率的更多位数，较著名的有印度数学家拉马努金在1914年发现的公式：

在1948年，英国数学家费格森和美国数学家伦奇计算到的808位小数，这是人工计算圆周率的最高成就。

随着电子计算机的发展，圆周率的精度被不断快速地刷新。数学家们提出了各种巧妙的计算方法，极大丰富了我们识数鸡计算圆周率的手段。

丘德诺夫斯基兄弟得到拉马努金公式的改进公式：

出生日期、手机号、QQ号

甚至各种账户的数字密码

你都能在圆周率中找到。”

藏有所有整数的数是真实存在的

例如可以把所有的正整数从小到大地写出来：

并且证明了几乎所有实数是正规的。

注：正规数，粗略定义为，在数字上显示出随机分布，且每个数字出现机会均等的实数。“数字”指的是小数点前有限个数字（整数部分），以及小数点后无穷数字序列（分数部分）。

不是明确构造为正规数的数

所以虽然π中找到了任何在世的人的出生日期

还在等待数学工具的发展

人类对数学知识的不断探索

18世纪，法国数学家布丰（）提出的“投针问题”，记载于布丰1777年出版的著作中：“在平面上画有一组间距为

的平行线，将一根长度为

的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率。”

布丰本人证明了，这个概率是：

由于它与π有关，于是人们想到利用投针试验来估计圆周率的值。布丰最早设计了投针试验。

1） 取一张白纸，在上面画上许多条间距为a的平行线。

的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n次，观察针与直线相交的次数，记为m。

3）计算针与直线相交的频率

由频率估计概率从而得到π的近似值。这一试验开后世Monte Carlo方法之先河。

最后，识数鸡还找到很多有意思的

（1） 上文提到的韦达公式，仅仅使用数字2就可以求出π的近似值

（2）欧拉公式，让π与数学中其他4个最重要的常数汇聚一堂，被称为最优美的公式之一

巧的是，今年刚好是欧拉诞辰314周年！

（3）斯特林公式，对整数阶乘（n!=1·2·……·n）的绝佳近似，在统计物理中大放异彩，为麦克斯韦-玻尔兹曼统计等等的推导立下不朽功勋

（4）正态分布密度函数，其中的π由归一化产生的。中心极限定理指出大量独立同分布的随机变量的均值近似服从正态分布，从而解释了正态分布的“无处不在”，由此，π在概率论中也是经常亮相

在我们眼中只是普通的年份

2021也可以是蕴含奇妙的数字

2021虽然自身不是一个素数

但它每两个相邻数字之和都是素数

并且全部数字之和也是素数

识数鸡带我们先从“素数”出发

看看2021还有那些奇妙之处吧

而且可由两个相邻素数相乘得到（）

上一个拥有此性质的年份是1763（41×43），258年前；

而下一个这样的年份，则是2491（47×53），470年后

2021是前后七百多年中唯一一个十分特殊的年份！

识数鸡小科普：可由两个（可以相同）素数乘积得到的正整数，被称为半素数

“2021“的两个素数因子43和47

更是乌拉姆螺旋中的素数；

乌拉姆螺旋，图源：“普林小虎队”推送

2021年的第一天的数字序列

上一对这样的跨年孪生素数是和，24年前

而下一对则是和，9年后

那么今年的全部数字序列中有多少素数呢？

识数鸡将2021的365个八位日期数字全部搜索一遍

2021年新的朋友圈文案

2021不能写成两整数的平方和

因为43和47都是模4余3的素数

但它可写成三整数的平方和

此外，根据将正整数n表示成四个整数平方和的表法个数

即将2021表示成四个整数的平方和的方法

（计顺序、计正负）共有16896种

它是一个有175个洞的甜甜圈，

上面还粘了四个尖尖的葡萄干。”

定义了世界，规范着运行

更是激励着你我不断探求

2019年11月26日，联合国教科文组织在第40届大会上宣布将3月14日定为国际数学日。2021年3月14日是第二届国际数学日，今年的庆祝活动将围绕主题“Mathematics for a Better World”展开。

从2010年第一次πDay举办了“圆周率节”三角地游园会，同学们依次体验Buffon投针、围圈计算圆周率等五个游戏挑战，得到最终的“Q.E.D.”认证（ 数学证明中常用的“ 证毕” ）。到2019年π-Day融合了数学与武侠元素，举办主题命名为“π大侠的未名江湖”的庆祝活动。今年已是北大数学科学学院的师生们庆祝πDay的第11年。

随着经验的积累，πDay活动的形式不断推陈出新，“生日π对”、“314点”、白色情人节“恋爱分析”等等，数院同学和识数鸡每年都会给大家带去不同的乐趣。

今年的πDay主题活动同样精彩纷呈，有圆周率填空作画、buffon投针实验、查询生日在圆周率位置等有趣游戏等供同学们体验。更有徒手量π、连线成π、鲁班球、圆周率速记等积分挑战与挑战纪念品等你来嬴！

活动地点：新太阳活动中心北侧空地

今天识数鸡科普的知识中，出现的几个数学名词，你了解多少呢？来投票检验一下你的数学段位吧！

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πDay主题帆布袋与书签

原标题：《πDay|神奇！你的生日出现在圆周率中！》