摘要:从数学发展史的角度,较全面地叙述人类发现超越数是数学的两个侧面,即从代数数论集论得到超越数是存在的。并简单介绍两个常见的超越数e和π。
　　关键词:代数无理数超越无理数e,π,γ-欧拉(Euler)数有理数
　　我们来回顾一下数系的状况,早在18世纪时,虽然在弄清无理数概念方面没有什么成就,但是对无理数本身还是作出了某些进展。1737年Euler()基本上证明了和是无理数,Labert证明了是无理数。任何有理系数代数(多项式)方程的任何一个根(不管是实的还是复的)叫做一个代数数,这样方程…(1)的根叫做代数数,其中是有理数。因此所有的有理数和一部分无理数是代数数,这是因为,任一有理数(是方程的根),而是的根,不是代数数的数叫做超越数,因为Euler说过:“它们超越了代数方法的能力。”Euler至少早在1744年就认识到了代数数与超越数之间的这一差别。他猜测说,以有理数为底的有理数的对数,必定或者是有理数,或者是超越数,然而18世纪时不知道有哪一个数是超越数,因为证明超越数存在的问题仍旧没有解决。
　　到19世纪中叶,关于代数无理数与超越无理数的工作,是朝着更好地了解无理数的方向跨进的一步。代数无理数与超越无理数之间的区别在19世纪已经完成了。值得一提的是超越数的存在的证明都是兵分两路地进行着。为此我们重新捡起它们的头绪。
　　一方面,直到1844年前,是否存在任何超越数的问题没有解决,但就在这一年,Liouville证明了下述形式的任何一个数都是超越数:,其中是0到9的任意整数。
　　要证明上述结论,Liouville先证明了几个关于用有理数逼近代数无理数的定一个代数数是满足代数方程(1)的任何一个实数或复数,其中都是整数。一个根叫做n次代数数是指它满足一个n次方程,但不满足低于n次的方程。有些代数数是有理数,它们都是一次的。Liouville证明如果是一个n次代数无理数x的任一近似值,则存在一个正数M使,这里p与是整数。这表明,对于一个n次代数无理数的任一有理逼近其精度必定达不到,换句话说,如果x是一个n次代数无理数,则必存在一个正数M使
　　不等式,,当时无理数解p与,从而当时亦然。因此,对于一个固定的M,如果上述不等式对每一个正整数都有解,则x是超越数。Liouville证明他的那些无理数是满足上述最后的条件的,从而就证明了他的那些数都是超越数。
　　另一方面,康托(Cantor)从集论中得到代数数集合是可数集证明。肯定存在不是代数数的实数。这样的数称为超越数。他的证明是这样的。
　　和上叙述的一样代数数是满足方程(1)的任何实数或复数,其中都是整数,代数数的概念是有理数的自然扩充,因为后者构成这特殊性型。
　　但并不是每一个实数都是代数数。这一差可以从康托的证明看出所有代数数的全体是可数的。由于所有实数的集合是不可数时,所以一定存在不是代数数的实数。
　　将代数数集合排列成可数序列的方法如下,对于形如(1)的每一个方程,将正整数…(2)规定为它的“高度”。对于每一个确定的h,高度为h的方程(1)只有有限个。其中每一个方程最多只有n个不同的根。因此,由高度为h的方程得出的代数数只有有限个,于是我们可以将所有代数数排成一列,即先排高度为1的代数数,然后排高度为2的代数数,等等。这就进一步完善了超越的理论。不但证实了超越数的存在而且更进一步完善了超越数的理论。不但证实了超越数的存在而且更进一步指出了它是一个不可数集。难怪中国伟大的学者数学家华罗庚教授在其著的“数论导引”中感叹到“业已证明超越数之存在性,且实数中几乎全部是超越数,盖代数数集仅一可数集尔!”
　　在识别特殊的超越数方面。其次跨进的一大步是1873年Hermite关于是超越数的证明,在得到这个结果以后,Hermite马络CarlWilhelmBorohardt()说:“我不敢去试着证明的超越性。如果其他人承担了这项工作对于他们的成功没有比我再高兴的人了,但相信我,我亲爱的朋友,这决不会不使他们花去一些力气。
　　Legendre早曾猜测是超越数,FerdinadLindemann。()在1882年用实质和Hermite没有什么差别的方法证明了这个猜测,Lindemann指出,如果是不相同的代数数实的或复的而是不全为零的代数数,则和数不能是零,如果我们取,则可见当是非零代数数时,不能是代数数。由于可以取成1、是超越数,现在已知从而数不能是代数数,由于两个代数的乘积是代数数,而是代数数,所以不是代数数,是超越数的证明解决了著名的几何作图问题的最后一个项目,因为所有可作出的数都是代数数。

先设想一个酒徒在山寺狂饮，醉死山沟的情景：

“山巅一寺一壶酒（3.14159），儿乐（26），我三壶不够吃（535897），酒杀尔（932）！杀不死（384），乐而乐（626）。死了算罢了（43383），儿弃沟（279）。”[前30位]

接着，设想“死者”的父亲得知儿“死”后的心情：

“吾疼儿（502），白白死已够凄矣（8841971），留给山沟沟（69399）。”[15位]

再设想“死者”父亲到山沟里寻找儿子的情景：

“山拐我腰痛（37510），我怕你冻久（58209），凄事久思思（74944）。”[15位]

然后，是父亲在山沟里把儿子找到，并把他救活，儿子迷途知返的情景：

“吾救儿（592），山洞拐（307），不宜留（816）。四邻乐（406），儿不乐（286），儿疼爸久久（20899）。爸乐儿不懂（86280）。‘三思吧（348）！’儿悟（25）。三思而依依（34211），妻等乐其久（70679）。”[最后40位]

没错，上面就是π的前100位了!

今天，在这个特殊的日子，让我们从π出发，考虑实数的分类 !

有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称 。正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。

由于任何一个整数或分数都可以化为十进制循环小数，反之，每一个十进制循环小数也能化为整数或分数，因此，有理数也可以定义为十进制循环小数。

有理数集是整数集的扩张。在有理数集内，加法、减法、乘法、除法（除数不为零）4种运算通行无阻。

无理数是所有不是有理数字的实数。当两个线段的长度比是无理数时，线段也被描述为不可比较的，这意味着它们不能“测量”，即没有长度（“度量”）。

常见的无理数有：圆周长与其直径的比值，欧拉数e，黄金比例φ等等。

可以看出，无理数在位置数字系统中表示（例如，以十进制数字或任何其他自然基础表示）不会终止，也不会重复，即不包含数字的子序列。例如，数字π的十进制表示从3.793开始，但没有有限数字的数字可以精确地表示π，也不重复。

形如（，n为正整数）的整系数（为整数，）代数方程的根x叫做“代数数”。

代数数可以定义为“有理系数多项式的复根”或“整系数多项式的复根”。

第一个定义可以具体描述为：

设z为复数。如果存在正整数n，以及n+ 1个有理数，并且，使得：则称z是一个代数数。

这个定义中，由于可以推出，其中整数分别等于，M是n+ 1个有理数分母的最小公倍数。所以“存在有理系数多项式使得z是其复根”可以推出“存在整系数多项式使得z是其复根”。

另一方面，由于整数集合是有理数集合的子集，所以“存在整系数多项式使得z是其复根”也可以推出“存在有理系数多项式使得z是其复根”。

这说明两个定义是等价的。

代数数在有理数下的“+”、“-”、“x”、“÷”运算中是封闭的，因此构成一个域，称为代数数域。

不能作为有理代数方程的根的无理数，即不是代数数的数称为超越数。因为欧拉说过：“它们超越代数方法所及的范围之外。”而得名。

代数数集包含了有理数集。然而，代数数集并不包含全部实数。

代数数集是一个可数集，即所有代数数能与全体自然数建立一一对应，而实数集是不可数的无穷集，因此，一定存在不是代数数的实数。

现已证明 π和e这些无理数不是代数数，但不是所有的无理数都不是代数数。

由此可见，就实数集而言，实数既可按有理数和无理数分为两类，又可按实代数数和实超越数分为两类。实代数数集是有理数集的自然扩充。

瑞士科学家约翰·海因里希·兰伯特于1761年证明π是个无理数，即不可表达成两个整数之比。1882年，林德曼（Ferdinand von Lindemann）更证明了π是超越数，即π不可能是任何整系数多项式的根。

圆周率的超越性否定了化圆为方这古老尺规作图问题的可能性，因所有尺规作图只能得出代数数，而超越数不是代数数。

化圆为方问题是指已知单位长度1，要作出 的长度。 这等价于从1开始作出 。然而，能够用尺规作出的数z都有对应的最小多项式。也就是说，存在有理系数的多项式m，使得

然而，1882年，林德曼等人证明了对于圆周率 来说，这样的多项式不存在。所有规矩数都是代数数，而 不是，这说明用尺规作图是无法化圆为方的。

的超越性用到了称为林德曼－魏尔斯特拉斯定理的结论。林德曼－魏尔斯特拉斯定理说明，如果若干个代数数在有理数域 上线性独立，那么 也在上线性独立。

反设是代数数，那么 也是代数数。考虑代数数0和 ，由于 是无理数，所以它们在上线性独立。然而 和 分别是1和-1，并非在 上线性独立，矛盾。

这说明 不是代数数，而是超越数。

2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源则是中国古代数学家祖冲之的圆周率。

国际圆周率日可以追溯至1988年3月14日，旧金山科学博物馆的物理学家Larry Shaw，他组织博物馆的员工和参与者围绕博物馆纪念碑做3又1/7圈（22/7，π的近似值之一）的圆周运动，并一起吃水果派。之后，旧金山科学博物馆继承了这个传统，在每年的这一天都举办庆祝活动。

2009年，美国众议院正式通过一项无约束力决议，将每年的3月14日设定为“圆周率日”。决议认为，“鉴于数学和自然科学是教育当中有趣而不可或缺的一部分，而学习有关π的知识是一教孩子几何、吸引他们学习自然科学和数学的迷人方式……π约等于3.14，因此3月14日是纪念圆周率日最合适的日子。”

在谷歌公司2005年的一次公开募股中，共集资四十多亿美元，A股发行数量是14,159,265股，这当然是由π小数点后的位数得来。（顺便一提，谷歌公司2004年的首次公开募股，集资额为$2,718,281,828，与数学常数e有关）

排版软件TeX从第三版之后的版本号为逐次增加一位小数，使之越来越接近π的值：3.1，3.14，……当前的最新版本号是3.1415926。

每年3月14日为圆周率日。“终极圆周率日”则是1592年3月14日6时54分（因为其英式记法为“3/14/15926.54”，恰好是圆周率的十位近似值）和3141年5月9日2时6分5秒（从前往后，3.）。

7月22日为圆周率近似日（英国式日期记作22/7，看成圆周率的近似分数）。

有数学家认为应把“真正的圆周率”定义为2π，并将其记为τ（发音：tau）。

以上就是小编给各位带来的圆周率日的分享。最后，请欣赏一段将数学与音乐完美结合的《圆周率之歌》小视频~

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1、实数的概念是什么：实数是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数。

2、实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。实数集通常用黑正体字母 R 表示。R表示n维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。

3、所有实数的集合则可称为实数系或实数连续统。任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。在保序同构意义下它是唯一的，常用R表示。由于R是定义了算数运算的运算系统，故有实数系这个名称。

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