以下文章来源于小熊慢慢说 ，作者小熊君

数理科哲，慢慢说呗 ^_^

我们知道，牛顿力学成立于惯性系，若碰到非惯性系问题，牛顿力学将会失效。如果非要让牛顿定律在非惯性系下奏效，须特别引入惯性力的概念，这可以使牛顿定律保持形式不变。带来的好处是，在解决各种非惯性系问题时，我们仍然可以套用惯性系中已经形成的各种方法、技巧和基本思路。

非惯性系可为两种——加速平动系和转动系。对加速平动系，我相信凭大家聪明的脑袋瓜子，弄懂它应该没什么问题。

可是对转动系，弄懂它的难度就大一些。它包含的情形多种多样，推导时有很多细节要点，与刚体力学还有着千丝万缕的联系，由转动系带来的各种效应——傅科摆、落体偏东、河水对河道两岸冲刷的差异等等——也并非三两句话就能讲明白。转动系啊，想说懂你不容易。

近日，我对转动系问题做了深入的主题阅读，翻阅和对比了梁昆淼、周衍柏、金尚年、David Tong、赵凯华、漆安慎等行家里手的力学和理论力学教材。越深入越感到，这些学者仿佛就在我身边，他们用温暖的大手拉着我，促膝长谈。他们从不同视角，以不同方式，向我讲述物理学中的严谨态度和精妙推理。这次主题阅读对我理解转动系的全貌，梳理个中细节、建立逻辑链条的帮助很大。

但是，在阅读中我也隐约察觉到他们的些许无奈——他们出于读者群、教材定位、叙述逻辑等的考量，不得已放弃了若干想说又不能细说的东西。概括来说就是：为考虑读者的接受能力，他们往往采用先从简单的转动情形入手，然后逐步深入的写法，又常在某些微妙而又重要的细节上一笔带过，令初学者常有似懂非懂之感。

在本文中，我将尝试换个叙述逻辑，直接从最一般的转动系问题入手，获得质点在非惯性系下的动力学表达。在这个过程中，我将着重凸显其中不可忽略的微妙细节，呈现完整的逻辑链条。

转动，我们可以用角速度

的数值表示旋转的快慢，它的指向反映旋转的方向。对转动的讨论一般分两种：平面的定轴转动和空间的定点转动。

首先，让我们对质点的转动系问题做个分类，以便了解将要做什么。

观察下图，如果让你根据转动系的状态，对质点的运动情形做分类，你该如何分呢？

可以想见，质点的转动系情形是非常多样的，从简单到复杂，从特殊到一般，可作如下分类：

作匀速直线运动；转动系

作空间定点转动，且含加速平动；

看起来好多啊，难道我们要从1到6一个一个讨论下去吗？

放心，我不会这么做的。一来比较繁琐，二来不具备一般性。由于第5种情况天然地包含前4种，前4种无非是第5种情况在特定条件下的特例，所以，我们直接讨论第5种情况，然后逐步增加限制条件，就能自然而然地得到前4种情形的结果。

有人可能会问了，直接从情形5出发，会不会太难呢？其实，大可不必担心哈，因为这个难不过是推导时写的字母较多，思考的要点却是清晰和明确的。之所以从情形5开始，是因为它能直接呈现那些我们最容易忽略的推导细节，更利于我们对转动问题建立完整的认识。

磨刀不误砍柴工。在正式讨论之前，我们有必要先做两个准备：一是讨论无限小转动，二是讨论矢量在不同参考系下的表示与求导。

其实，名为准备，实为推导中的关键细节，把这两个准备弄清楚了，转动系下的动力学表示便迎刃而解。

为什么要讨论无限小转动？

请大家先思考一个问题，我们是怎么定义瞬时速度的？

我们是这么做的：先定义了平均速度

，然后将平均速度在时间

时的极限定义为瞬时速度

。在这顿操作中，我们其实并不关心有限的时间

我们要讨论转动系问题，描述转动快慢的物理量是角速度。那么，我们又是怎么认识角速度的呢？

在中学学习圆周运动时，角速度的定义式为

，到了大学我们又了解到，为描述旋转的方向，需要用右手螺旋定则给

变成矢量。在讨论匀速定轴转动时，这其实没什么大问题。因为匀速定轴转动中，瞬时角速度始终与平均角速度相等，使得我们并不需要关心角速度的大小和指向的变化，也就不涉及角速度的瞬时性。

然而，当涉及转动系的定点转动时，对角速度的这点认识是不够的。由于角速度的大小或指向均可变化，我们不得不去关心角速度的瞬时性。因此，也就有必要区分有限转动和无限小转动。只有在讨论无限小转动时，才能给出角速度的精确定义，从而赋予它严格的矢量性。

另一方面，线速度和角速度的关系

是讨论转动问题的一个重要内容，我们也需要把他由定轴转动推广到更一般的空间转动中去。这也只能通过对无限小转动的讨论来实现。

关于有限转动和无限小转动，其实有个矢量对易律的知识点，蛮有意思。为避免冲淡主题，暂且不表，感兴趣的朋友可阅读周衍柏第三版《理论力学教程》118页的论述。

接下来，我们借用刚体力学的思路，讨论转动系的无限小转动。

发生一微小的转动。为描述这一微小转动，我们定义粗体

为角位移，它将同时干两件事：一是利用其数值

描述转动的角度大小，二是利用其指向描述转动时转轴的指向（即

方向，用右手螺旋定则判断旋转方向）。

，转动前其相对惯性系的位矢为

构成的平面垂直。且有以下关系成立

等式左边恰好就是线速度的定义式

，类似的，我们把等号右端的第一部分定义为瞬时角速度

至此，讨论无限小转动给我们带来了两个成果：

不仅可以发生数值变化，也可以发生指向的变化。因此它不仅适用于定轴转动，更适用于一般的空间转动。

。这个关系对于我们接下来讨论转动系下的矢量求导问题很重要。要特别提醒的是，此式中的三个物理量均是相对惯性系

而言的，时刻记住这一点，这很重要。

关键准备-矢量求导与参考系

为什么要讨论不同参考系下的矢量求导呢？

在讨论转动系和惯性系下质点的位矢、速度和加速度的关系时，我们会有很多矢量的求导运算（含单位矢量的求导），并且要经常在转动系和惯性系间来回跳跃。如果不明确矢量以及矢量求导与参考系和坐标系的依赖关系，就容易张冠李戴，造成推导过程中的理解偏差。

在展开接下来的讨论之前，请严格区分参考系和坐标系，当我在说参考系时，并没有引入对坐标系的任何描述。

我们先讨论矢量与参考系和坐标系的关系。

矢量与参考系和坐标系的关系

我们知道，要想研究一个物体的运动必须选择参考系，而选择参考系的实质是确定参考原点。一旦选定了参考原点，描述物体位置的位置矢量就被确定下来。由于对矢量作平移时不改变矢量本身，所以在对多个矢量进行加法、点乘、叉乘运算时，可以让矢量脱离参考系，使其在空间中任意平行移动。换句话说，一个指向和大小确定的矢量是不依赖于具体的参考系的。

既然如此，我们就可以把在一个参考系中确定好的矢量平行移动到另一个参考系去考察、去描述，而不改变矢量本身。记住这一点，这很重要。

那么，在参考系中如何对一个确定的矢量进行具体地考察和描述呢？这就得引入坐标系。

中，我们可以建立直角坐标系

中，也可以建立直角坐标系

如下图所示。对同一个位置矢量

描述它，也可以把它平行移动到参考系

描述，所得的坐标自然是不同的。虽然坐标不同，但由于描述的是同一个矢量，所以矢量的长度是不变的。

”分别表示“处于参考系

的记法不同，但是由于描述的是同一个矢量，所以它们的含义相同。即：

有了这个认识之后，我们就可以讨论惯性系和转动系下对同一矢量的求导了。

在惯性系和转动系中对同一矢量求导

我问大家一个问题，对矢量求导和对标量求导有什么不同呢？

不同点在于，对标量求导关心的是数值变化，而矢量求导不仅关心数值变化，还关心指向的变化。

数值的变化好说，如何描述指向的变化呢？

这时候单位矢量的重要性就凸显出来了，对矢量方向的描述必须依赖单位矢量。所以，要想考虑对矢量方向的求导，就不得不先解决单位矢量在不同参考系下的求导。

对单位矢量在不同参考系下求导

的三个恒矢量，显然它们在

系中对时间的导数为零，即

”表示“处于惯性系（inertial system）下”；下标“

”表示“处于转动系（rotating frame）下”。另外，在经典时空观下我们默认

下求导，会有何种表现呢？

求导的过程已经在无限小转动中已经被讨论过了。也就是公式(5)，所以

讨论完单位矢量的求导后，就可以分析对任意矢量

的求导了。注意此时的矢量

不是恒定矢量，而是关于时间的函数。

转动系与惯性系下对任意矢量

对时间求导可以轻松写出，利用

在推导中，为什么第二个等号的前三项没有加“

”记号呢？可以看到，前三项均是对标量的求导乘以单位矢量，而对标量函数求导不需要考虑参考系问题。

接着看惯性系中的情况。

对时间求导可以有两种计算方式。

中原有的坐标来表达，即按下式进行

这种写法对我们求瞬时速度的坐标分量有帮助，但这并不能帮我们建立惯性系与转动系在求导上的联系。

为达这一目的，就有了第二种计算方式——在惯性系下对矢量

暂停片刻：可能有人会问：形式“

中的表述，怎么能用它求矢量

做个解释：这就是我为什么刚才要花篇幅讨论“矢量与参考系和坐标系的关系”的原因。对同一个矢量，无论把它挪到哪个参考系或坐标系下，它总是原来的那个矢量，发生改变的是描述它的坐标分量和单位矢量。

，它们表达的其实是同一个东西。

下并非恒定矢量，它们的指向会发生变化。所以，在惯性系

求导时，对它方向变化快慢的描述，也是由

这是一个非常微妙的细节，很多教材在推导时常采用简化情境和符号的方式避开了这一点。若不深究，初学者很难发现这个细节。

了解了这一点，我们继续推导矢量

在惯性系下的第二种求导方式。即

在推导中，为什么第二个等号的前三项没有加“

”记号呢？可以看到，前三项均是对标量的求导乘以单位矢量，而对标量函数求导不需要考虑参考系问题。

我们还看到，前三项分别跟着单位向量分别是

，因此这三项恰好为矢量

的三个分量分别在转动系中的求导，即

我们终于得到了一个对讨论转动问题极为重要的关系。它表明：对任意矢量

中求导，等于其在转动系

中求导，加上转动系相对惯性系的角速度

也就说，对任意矢量，其在惯性系下的导数与其转动系下的导数，应该服从以下结构：

特别地，为接下来讨论质点在转动系中的运动学和动力学做准备，我们把角速度矢量

OK，到此为止，我们的准备工作终于做完了^_^

接下来就可以进入转动非惯性系下的运动学和动力学问题了。

对运动学的讨论，目的是要建立质点在惯性系和非惯性系下的位矢、速度、加速度关系；

对动力学的讨论，目的是要分析质点在非惯性系下的动力学方程应该如何表达。而要想展开动力学讨论，就不得不先进行运动学分析，讨论连接动力学与运动学的桥梁——加速度。

质点在惯性系与转动系下的位矢关系

。它们都是时间的函数。在惯性系

，它们也是时间的函数。

对位置矢量，直接由图知

接下来重点看速度和加速度。

质点在惯性系与转动系下的速度关系

在惯性系和转动系下，质点的速度分别为

换种求导方式，也就是把

由于转动系不发生平动，则

为恒矢量，所以上式第二项为零。将

这是质点在惯性系下的速度与其转动系下的速度关系：质点在惯性系下的绝对速度

，等于质点在转动系下的速度

，加上转动系的平动速度

可从物理意义上理解为“质点由于转动系转动而产生的牵连速度”。

惯性系与转动系下的加速度关系

依葫芦画瓢。在惯性系和转动系下，质点的加速度分别为

换种求导方式，也就是把

这就是质点在惯性系下的加速度与其转动系下的加速度关系。

——妈呀，这也太长了吧！别的公式都是越化越简单，这货怎生得又丑又长啊。

——得，长是长了点儿，但这丑嘛······倒不见得。甭看这几个叉乘项长得寒碜，它们可都是有身份的“人”。为帮助理解，接下来我们逐步加入限制条件，在不同的情形下凸显它们的物理意义。

情形1：转动系作匀速定轴转动，质点相对转动系静止。在此条件下可知

正好指向质点的旋转中心，这正是质点因转动系旋转而获得的向心加速度。

情形2：转动系作匀速定轴转动，质点相对转动系作匀速直线运动。在此条件下可知

可以看出，情形2相比情形1多出了一个

，这是质点相对转动系的速度

牵连而产生的加速度，我们称之为科里奥利加速度，即

情形3：转动系作匀速定轴转动，质点相对转动系作变速运动。在此条件下可知

可以看出，情形3相比情形2多出了一个

，这不难理解。这就是质点相对转动系的加速度

情形4&情形5：转动系作变速定轴转动或定点转动，质点相对转动系作变速运动。在此条件下可知

可以看出，情形4相比情形3多出了一个

，这是质点由于转动系的角速度

的变化而牵连产生的加速度。不难想到，当转动系的转动加快时，质点切向速度会随之增大，所以此项实为切向加速度。

（至于情形6，是在情形5的基础上附带一个加速平动，教材告诉我们考虑矢量合成即可。那么，是否可以在无限小转动中附加一个平动，从头推导出一个与矢量合成相同的结论呢？略微尝试后感觉不太简单，以后再试试）

有了上述一系列结论，我们就可以讨论质点在非惯性系下的动力学表达了。

，设其受到其它质点的相互作用力的合力为

。在惯性系下，由牛顿第二定律有

这就是质点在惯性系下的动力学方程。很简单，中学就学过。

接下来看质点在转动系下的动力学表达。

首先质点的受力。由于质点受到的相互作用力是实实在在发生的，不会因更改参考系而变化，所以转动系下观测的相互作用力仍然为

；再看质量，在不考虑相对论效应的时候，物体的质量是个常量，仍然为

；在转动系下测量的加速度为

。假如我们坚持要写牛顿第二定律，那么公式应该为

。表明在转动系下，牛顿第二定律并不成立，这就是我们称转动系为非惯性系的原因。

为了让牛顿第二定律在转动系下依然形式不变，我们可以采用一个折中的办法，就是引入假想的力——惯性力。具体怎么做呢？把

式代入到惯性系的动力学方程中，得到

观察上式，我们如果把中括号的部分理解为假想的力，称之为惯性力。那么，等号左右两边仍然是“力等于质量乘以加速度”的形式。即在非惯性系下，质点的动力学方程仍然符合牛顿第二定律的形式。在这个过程中，我们相当于扩大了力的概念，把力分为两种，一种是“两个物体间的相互作用力（简称牛顿力）”，另一种是由于考虑非惯性系问题而引入的“假想的力”。显然，惯性力是没有施力物体的，这是惯性力与牛顿力的不同点之一。

结合刚才对加速度的讨论，我们把惯性力中的三个部分分别取不同的名称。其中，

至此，质点在转动系中的动力学表达便完成了。

在本文中，为讨论转动系问题，我们先做了两个重要的准备。一个是通过讨论无限小转动，得出了角速度的精确定义，并且发现了联系线速度和角速度的重要关系式。二是重点讨论了矢量及其求导与参考系和坐标系的关系。

有了这两手准备之后，我们直接上手讨论转动系问题的情形5——质点

作空间定点转动，得到了质点在这惯性系和转动系中的速度、加速度的一般表示，以及动力学方程。

若想进一步了解转动系在生活中产生的各种效应的原因，欢迎阅读结尾的参考资料。这里附上两个有趣的视频。

第一个视频是傅科摆现象。按常识，单摆的运动应该在一个固定的竖直平面上，而傅科摆现象告诉我们，单摆摆动时会受到某个微弱的侧向力，使得单摆摆动平面会有缓慢的偏移。原因是什么呢？欢迎在评论区留言^_^

第二个视频是在转动系中抛球出现偏离现象。在地面上向伙伴扔球，一接一个准。可是，若两人均在转动系中，互仍小球还会一接一个准吗？欢迎在评论区留言^_^

《理论力学教程》第三版，周衍柏编，高等教育出版社；

《普通物理学教程 力学 上册》第四版，梁昆淼编，高等教育出版社；

《力学 下册》第四版，梁昆淼著，高等教育出版社；

《理论力学》第二版，金尚年著；

《新概念普通物理学教程 力学》第二版，赵凯华 罗蔚茵著，高等教育出版社；

《理论力学 物理类》，中国大学MOOC网站，任延宇主讲。

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原标题：《转动系，想说懂你不容易》

在二维平面中，点$P$就是坐标$(x,y)$，点集就是一系列坐标的集合${P_1,P_2,...,P_n}$，不过这个集合是有序的（顺时针）。

主要用来判断角度关系。

我们只实现一类物体——凸几何体。

凸几何体固有的几何外形——$N$个顶点，所以只需要储存这些顶点即可。

有人问：物体运动后，位置改变了怎么办？一般而言，要对原始顶点集做矩阵变换，才能得到最终位置。

另外，为了便于计算，还需要储存一些向量——几何体每条边的单位向量。

由已知的顶点集可以确定一个几何体，那如何求其面积？

假设由原点$O$和任意两个相邻顶点$P$、$Q$组成三角形，那么这些所有三角形加起来就是几何形的面积。

现在就是求$ riangle OPQ$的面积了。由叉乘的定义，两向量叉乘的结果的模就是其相应平行四边形的面积。

在这里，物体的密度$ ho$是均匀的。

质量、速度、位置、受力、密度、角偏、角加速度、扭矩、摩擦系数等。

美观起见，给物体添加颜色。

力学令人着迷，用计算机来模拟力学就不那么容易了，万事开头难，做仿真还是要从理论学起。

力学无非就是加速度、碰撞、摩擦等内容。不过对物体（刚体）来说，它的运动不是平动就是转动。

平动部分是较为简单的，最经典的公式：

刚体的转动可能令人感觉陌生，其实类比平动，大致相同。

平动中，力$F$产生加速度$a$，进而影响速度$v$，进而影响位移$s$。

转动中，力矩$M$产生角加速度$alpha$，进而影响角速度$omega$，进而影响角位移$ heta$。

但是，力矩$M$产生角加速度$alpha$，公式是$M=Jalpha$，这里就比平动复杂了。$J$是转动惯量，也能用$I$表示，类比于质量$m$。

物体在重力场中受到一个恒定方向、恒定大小的力$g$，将它算入总受力。

两个物体间产生碰撞，这是物理引擎最核心的部分之一。

一般来说，要解决这几个问题：

1. 如何检测到碰撞的产生？
2. 如何确定碰撞点及方向？
3. 如何解决“子弹”问题？

解决了上述几个问题后，我们就可以求得发生碰撞的两个物体的总受力和力矩和，从而解析它们将要产生的平动和转动。

涉及碰撞的内容很多，在后面会讲到。

物体受空气阻力和地面摩擦力影响。地面摩擦力对物体产生的影响算入力矩和。

实际上，一个涉及力学的物理引擎要做的最主要的事就是：

求物体所受力和力矩，从而计算它将要发生的平动和转动。

但如何求得力和力矩？这便是一个很复杂的问题了。像重力可以直接影响物体所受力，摩擦可以直接影响物体所受力矩，这些都很简单。较为复杂的就是两个物体间的碰撞了，在这里，物体引擎有一半以上的代码是用来计算碰撞的。

本节书摘来异步社区《游戏开发物理学（第2版）》一书中的第1章，第1.6节，作者： 【美】David M Bourg , Bryan Bywalec 译者： 崔力强 , 魏广程 责编： 陈冀康，更多章节内容可以访问云栖社区“异步社区”公众号查看。

1.6　质量、质心和转动惯量

物体的属性——质量（mass）、质心（center of mass）和转动惯量（moment of inertia），总体来讲被称为质量特性（mass properties）——对于研究力学来说是至关重要的，因为物体的线性运动、角运动及物体对于给定外力的响应都是质量特性的函数。因此，为了准确建模物体的运动，你需要知道或者有能力计算这些质量特性。让我们先看几个定义。

通常来讲，人们认为质量是用来衡量一个物体中含有物质的多少。从研究力学的角度来讲，也可以认为质量是用来衡量物体对于运动或者运动中的变化的阻力。因此物体的质量越大，就越难让它动起来，或者说越难改变它的运动状态。

在力学以外的术语中，质心（也被称为重心（center of gravity））是物体上的一个点，该物体的质量均匀的分布在质心的周围。在力学中，质心是这样一个点，当任何的外力施加在该点上的时候，都不会引起该物体的转动。

虽然大多数人熟悉质量（mass）和重心（center of gravity）这样的术语，但是转动惯量就没有那么熟悉了；然而在力学中，它们都是一样重要的。一个物体的转动惯量是当物体在一个坐标轴上的转动的时候，用来衡量该物体质量的放射性分布指标。质量是物体对于线性运动的阻力[1]，类比之下，可以认为转动惯量是用来衡量物体对转动的阻力的。

现在你已经知道这些属性是什么意思了，我们来看看如何计算它们。

对于由多部分组成的物体，总质量可以通过简单地把每个部分的质量加起来得到。每个部分的质量可以通过密度乘以体积得到。假设该物体的密度是统一的，那么该物体的总质量就可以简单地用密度乘以物体的总体积得到。这个可以使用下面的方程表示：

在实践中，你通常不需要做体积的积分来得到物体的质量，尤其是我们将要考虑的那些物体（例如汽车和飞机）的密度并不是均匀的。因此你可以把物体分解成为比较容易计算质量的部分，计算每个部分的质量，然后简单地把每个部分的质量加起来，从而得到总质量。

物体重心的计算更复杂点。首先，把物体分为有限个基本的质块，每个质块的中心使用参考坐标系的轴来定位，使用mi来引用这些质块。接下来取每个质块的相对于参考坐标轴的一阶距（first moment），再把它们加起来。一阶距求解方法如下：先得到沿着某个给定的坐标轴从原点到质块中心的距离，该距离与该质块质量的乘积即为一阶距。最后把所有质块的一阶距的和除以物体总质量，就可以得到该坐标轴上的物体质心的坐标。你必须对每个维度都做这样的计算，也就是说，对2D做两次计算，对3D做三次计算。下面是物体质心3D坐标的方程。

其中（x，y，z）c是物体质心的坐标，而（x，y，z）o是每个质块的质心坐标。量xodm、yodm和zodm表示质块质量dm关于坐标轴的一阶距。

这里，不用太担心这些积分方程。在实践中你只需将有限的质量相加，方程看起来会友好很多，如下所示：

注意，你可以轻易地将这些方程中的质量替换为重量，因为重力加速度g会同时出现在分子和分母中，因此会从等式中消去。记住，物体的重量就是它的质量乘以重力加速度g，g在海平面为9.8 m/s2。

计算物体总质量和离散粒子系统重心的方程可以很方便地写作向量符号形式如下：

其中mt是总质量，mi是每个系统中每个粒子的质量，CG是合并后的重心，而cgi是每个粒子在设计或参考坐标下的重心。注意CG和cgi是向量，因为它们表示笛卡尔坐标系中的位置。这样做是为了方便你能够一次处理x、y、和z（或者在二维中的x和y）。

在稍后的示例代码中，让我们假设组成物体的粒子由一种数据结构组成的数组表示，每个这种数据结构都包含对应点粒子的设计坐标和质量。这个数据结构同样会包含稍后计算的粒子相对于组合后刚体质心的坐标。

这里是示范如何计算总质量以及合并元素重心的代码：

现在解出了合并后的重心位置，你就可以计算每个粒子的相对位置如下：

为了计算转动惯量，你需要取组成物体的每个粒子对于每条坐标轴的二阶矩。之后用所得二阶矩乘以质量与距离平方的积。这个距离不是沿计算质心时的坐标轴到粒子中心的距离，而是从我们计算转动惯量相对的坐标到粒子中心的垂直距离。

三维中的任意物体如图1-2所示，当计算对于x轴的转动惯量Ixx时，距离rx将会在yz平面上，rx2=y2+z2。同样的，对于关于y轴的转动惯量 Iyy，r y2 = y2 + z2，而对于关于z轴的转动惯量Izz，r z2 = y2 + z2。

三维中相对于坐标轴的转动惯量方程为：

让我们看一眼实际中矩的更通常的情况。假设给定物体对于穿过物体质心的中性轴（neutral axis）的转动惯量为Io，而你想知道对于平行与这个中性轴但有一定距离的另一个轴的转动惯量I，你可以使用坐标变换，或者平行轴定理（parallel axis theorem）来确定对于这个新轴的转动惯量。需要使用的公式如下：

其中m是物体的质量，而d是两轴之间的垂直距离。

这里有一个重要的实用观测：新的转动惯量是两坐标轴分开距离平方的函数。这表明当Io比较小而d比较大时，你可以安全地忽略Io，因为md2项将占主导地位。当然，在这里你需要尽力判断。这个用于变换坐标轴的公式同时表明了物体的转动惯量在相对于过物体重心的轴计算时最小。物体对于任何不通过物体质心的平行轴的转动惯量将会增大md2。

在实践中，除了对密度均匀的简单形状，计算转动惯量都是一个很复杂费力的过程，因此我们通常会将物体对于一个过其质心的转动惯量使用近似物体的基础形状的公式来进行近似求解。进一步，我们会将复杂物体分成小组件，并利用某些组件的Io相对于其md2对于整个物体转动惯量的可以忽略的特性简化计算。

图1-3到图1-7展示了一些能够轻松地计算转动惯量的简单几何实体。在图题中展示了这些简单密度均匀的几何体相对于三个坐标轴的转动惯量公式。你可以轻易地在大学动力学教材中找到其他基础几何体的类似公式。

正如你所见到的，这些公式实现起来相对简单。这里用到的技巧就是将一个复杂物体分为一系列小而简单的有代表性的几何形，它们组合起来会近似于复杂物体的惯性属性。这个联系很大程度上是一种考虑期望精度水平的判断。

让我们通过一个简单的2D示例来展示如何应用本节中讨论过的公式。假设你正在编写一个自顶向下视图的自动赛车游戏，想在其中使用基于2D刚体动力学仿真汽车精灵。在游戏最开始，玩家的汽车处于起跑线，加满油并准备出发。在开始仿真之前，你需要计算初始状态时车、司机和燃料载重的质量特性。在这个例子中，物体（body）由三部分组成：车、司机和满载的燃料。之后在游戏中，物体的质量会随着燃料燃烧和司机在车祸中被甩出去变化。现在，让我们只注意图1-8所示的初始状态。

示例中每个组件的属性在表1-2中给出。注意，长延x轴测量，宽延y轴，高会向外伸出屏幕。同时注意每个组件中心坐标，即写作（x，y）形式是在全局坐标系下书写的。

我们需要计算的第一个质量特性是物体的质量。由于我们已经有了汽车和司机的重量，这个计算就很简单了。余下的燃料重量就是我们所谓唯一缺少重量分量。由于我们有了燃料的密度和油箱形状，我们可以计算出油箱体积并乘以密度和重力加速度来得到油箱中燃料的重量。得出燃料为920.6N，如下：

重力加速度（Acceleration due to gravity）是正在下落的物体向地面掉落时的加速度。一个物体的重量等于它的质量乘以重力加速度。符号g用于表示重力加速度，g在地球海平面高度的值大约是9.8 m/s2 。重量在公制系统中的单位是牛顿N。
现在，物体的总重量为：

为了得到物体的质量，你只要简单地将重量除以重力加速度。

我们需要的下一个质量特性是物体的重心位置。在这个示例中我们将会计算相对于全局坐标系原点的物体中心坐标。我们同样会将一阶矩公式应用两次，一次对于x坐标，另一次对于y坐标：

注意，我们在这些公式中使用了重量而非质量。记住，由于重量中的重力加速度是个常量，并且同时出现在分子、分母中而被消去，所以我们可以这么做。

现在到了计算物体转动惯量的时候了。在这个2D示例中计算过程足够简单，因为我们只有一个转动轴指向纸张外，因此我们只需要进行一次计算。第一步是计算每个组件相对于自己中性轴的局部转动惯量。由于我们对于每个组件几何形和质量分布信息了解是有限的，我们将会进行一个简化的近似，通过将每个组件表示为一个方柱体，因此可以应用图1-5中相应的转动惯量公式。在下列等式中，我们将会用小写的w表示宽度，以便不与它的重量混淆，我们之前用大写的W表示重量。

由于这些结果是每个组件关于它自己中性轴的转动惯量，我们现在需要用平行轴定理将这些矩转换成相对于过我们刚计算得出的物体重心的中性轴的转动惯量。

为了进行这个计算，我们必须解出从物体重心到每个组件重心的距离。从每个组件重心到物体重心的距离平方为：

现在我们可以应用平行轴定理如下：

注意计算司机和燃料的Icg时它们是如何被md2项所主导的。在这个例子中，司机和燃料的局部惯性相应的只有它们各自md2的2.7%和2.1%。

最终我们通过将每个组件贡献的Icg相加得到物体对于自己中性轴的合转动惯量如下：

表1-3展示了物体的质量特性，即车、司机和整箱燃料的总和。

清楚地理解这个例子中所展示的概念非常重要，因为当我们接下来过渡到更复杂的系统，尤其是3D中的一般运动时，这些计算只会变得更加复杂。此外，我们需要仿真的物体运动是这些质量特性的函数，其中质量将会决定这些物体会如何被力所影响，质心将会用于追踪位置，而转动惯量将会用于决定在受到不过中心的力时物体如何转动。

至此，我们已经看到了在3D空间中关于三条坐标轴的转动惯量。

但是，在一般3D刚体动力学中，即使局部坐标轴通过物体质心，物体也可能绕任意轴转动，而不是必须绕三条坐标轴之一。这种复杂性表示我们必须给物体的I添加一些项来处理一般转动。我们将会在本章的后面解决这个问题，但是在此之前我们需要详细地复习牛顿第二运动定律。