举个例子，3x+4y=20，这个方程有多少个解？是不是无穷多个解？因为有一个x，就有一个y。x无论是多少，一定能求出一个y来，那么它有不确定的解，无数个解，所以就叫不定方程。

什么叫不定方程组？其实就是x+y+z=10，2x+y+7z=20。如果就这两个方程，是不是三个未知数？是不是也解不了？这时候也有不确定个解，这叫做三个未知数，然后两个方程，也不确定，这就叫做不定方程组。

不定方程组的题怎么解？其实就是去消个元。你可以把 Y消掉，那不就变成了x+6z=10，你消个元又变成了一个不定方程了。

这就是不定方程和不定方程组。这个不定方程组其实它的解题方式跟不定方程是一样的，因为消个元就变成不定方程了。

如果这个题目里面xy代表了人，桌子，盒子之类的，那有什么特点？是不是x和y一定得是整数？这里面默认了他们一定是整数，然后他们又满足这个方程，这两点合在一起，是不是这个方程就可以解了？

我们之前提过的奇偶特性，举个例子，偶数4y一定是偶数，所以3x也一定是偶数。3x如果一定是偶数的话，那么x是不是一定是偶数？ x可以等于2，可以等于4，还可以等于6。

分别看看y等于什么？x=2的话，y是不是应该等于14/4？这不是整数排除了。x=4，y=2。好，这组解没问题。x=26, y是等于1/2。不对。

那是不是只有一组解，是不是就解完了？X=4，Y=2，这是第一种“奇偶特性”。

再举个例子，说11a+7b=121。如果你用刚才的奇偶特性好像都解不了？

有第二种方法叫做“因子倍数”。什么意思？121跟11，11a跟11，是不是都是11的倍数？这个能看出来。所以7b这个数字是不是也一定得是11的倍数？其实相当于7b等于121减去一个11乘以11a？所以7b一定是11的倍数，对吧？

所以我就推出7b一定是11的倍数。如果7b一定是11的倍数，那7是一个质数，b是不是一定得是11的倍数？ b也就等于11，能等于22吗？不可能，超了。

b等于11的话， a等于什么？a是不是等于4？ a=4，这个题不就结了吗？

我们再讲第三个，叫做尾数法。

这个题是不是一看10y，这个尾数是确定的？这个题为什么用尾数法？是不是因为10y它的尾数一定是0，对吧？尾数一定是0，那么它的41尾数是1，那么3x的尾数是不是一定是1？3乘以几，尾数是1？是不是3乘以7等于21？3乘以7等于21， y=2，是不是解完了？

所以这个题用了尾数法，是不是因为这里有个10y？因为10y的尾数一定是0，它是确定性的。

除了10以外，还有哪些它的尾数也是确定的，想一想，5行不行？事实上这个题能不能用尾数？

5y这一个数字，它的尾数是不是一定是0或者5？它的尾数一定是0或者5，41的尾数是1，

如果是0的话，应该是1。

我们拿过一个不定方程来，第一件事情就是看看这个题里的系数有没有像10，15，20这一类的。因为当系数出现它们的时候，那么它的尾数是确定性的，或者叫做半确定。

如果是10，确定是0，如果是5，15，那就是半确定，要么是0，要么是5。当这个系数出现这些东西了，我们一定是优先使用尾数，这是第一个思路。你拿过一个题来，一个不定方程，你要去解它了，一定是先看看系数有没有这一类。如果有，先用尾数。

你第二步是去看有没有倍数关系。如果有倍数关系，用倍数。

如果前三个没有，再用奇偶。

如果前三个都不行了就用代入排除法。

你拿到一个不定方程解它的一个顺序，

这个就是我们解限制性不定方程最重要的一个思路。

两种笔，7元的有x个，3元的y个，那就是7x+3y=60。说钱正好用完了，这两种笔问最多能买多少只？总共就60块钱，你问最多买多少，那就是贵一点的少买点，7块钱的少买点。 x就尽可能的小。

解这个不定方程，第一，看这个题有尾数吗？系数里面有50 15之类，没有尾数，用不了。

那有没有倍数？60是不是3的倍数？所以7x一定是3的倍数。那么x一定是3的倍数， x最小是不是等于3？7块钱买的尽可能少，最小就是3了。y等于多少？13。

没问题，这就是最小了。答案选择C。

说出生的月份×29，出生的日期×24，两个乘积加起来等于900，问出生在哪一个季度？在哪个季度出生，那不就看哪个月份出生吗？求x，看哪个月份出生的，解一解。

这个题有尾数吗？没有。有没有倍数？这两者之间是不是有倍数关系？24和900是不是有倍数？这最大的倍数多少？6肯定没问题了，12可不可以？一定是60的倍数，一定是12的倍数，好，最大是12的倍数。不可能是24了，12的倍数，我推出29x是不是一定得是12的倍数？29x一定是12的倍数，那么x是不是一定得是12的倍数？ X就等于12。

X=12，12月份出生的答案就是第4个了，答案选D。

去找这个倍数关系的时候，一定要去找他俩最大的倍数。

这里面提出一个12来，一定是12的倍数， X是不是一定得是你从12开始往里带？

可能我没看到这么大，我就看了一个900和24，24y它俩是3的倍数。

如果你算出来，如果你提出一个3来了，你确定x是3的倍数，你是不是应该从3往里带？你要带一个3不行，再带一个6，不行再带一个9，不行再带到12。

计算量增大特别多，是吧？注意一点，一定要找最大的倍数，有4的倍数的时候，你不要找2的倍数，要不计算量增加一倍！你能找到12就不要找到3，也不要找到6。直接从12开始带。

大包装盒，有x个，小包装盒假设有y个，那就是12x+5y=99。来解解这个不定方程，第一眼看能不能用尾数，有5y？0或者5，99，尾数是9，那么往前推，

如果是0它就是9，如果是5，前面它就是4，对不对？

12乘以几尾数是9？12乘以几尾数都不可能是9，第一个不用看了。

12乘以几尾数是4？ X等于几？尾数是4？200是吧？ X=4 ，Y等于几？是15。没问题。这组解没问题。

除了2以外还有谁？是不是7也可以？也可以， Y等于几？y=3。

两组解都对，都没有问题。肯定有一个是错的，肯定还有其他的条件？

找一找，题目说总共有10多个盒子？那答案就是第一个, X=4 ，Y=15，加一块有19个（十多个）盒子，符合题意。问相差多少？相差13个。答案选D。

这个题是不是叫做全价票？假设x人，9折票y人，5折票z人，

是不是总费用这个式子还可以列？全价票的是2000 9折票就1800块，5折票那就1000块。除了总费用之外，还有170的税费，说每个人都要交，逃不了，正好总费用27000没其他条件了，就这些，都用完了。

不定方程组是不是要去解不定方程组，先消元。

要消元的话消谁？要消元的时候一定要先去看一看，这题你要求谁？买9折的是y，买全价票是x，这个题你要求x和y对吧？你们的目的是求x和y，你消元一定消z对吧？

这个太好解了吧？5x+4y=18，这你用啥代入都行是吧？X=2，y=2，那答案是不是选择A选项？这个题很简单。

这里面是不是一看，假设一等奖x人，二等奖y人，三等奖z人，不就这两个吗？来解不定方程，要消元了，来消谁？来要消元消谁？你先看求谁。获二等奖多少人，获二等奖的不就500人吗？

那么求y的话先消x或消z对吧？消x或消z都可以。

这道题能用尾数吗？能用倍数吗？能用奇偶吗？

都不能。那咋办？用代入排除法吧，你往里一代入那答案就出来了，这解完了。

有没有觉得这个题有点不太一样？假设钢笔x，笔记本y，墨水z的话，那么3x+y+2z=35。

然后第二句话，什么叫做5x+y+3z=52。你看这个题跟之前讲的有什么不一样？你说xyz是不是代表的是价格？你想想，价格是钱。

还有重量。这三者一定得是整数吗？钱我10块钱三个行不行？时间0.5小时行不行？重量0.3千克行不行？没问题。

所以这个题里面是不是就不能用之前讲的方法了？

我之前讲的限制性xyz，它们一定得是整数才能用。这题一定是无数个解。好，如果这题是无数个解，怎么做？这个题里面是不是也没有让你解xyz？它没有问你xyz分别是多少？它问的是 x+y+z等于多少？这是不一样的。

其实这类题都是出题人精心设计好的。

到此经过了精心的设计， x+y+z无论你怎么做，它一定是一个确定的值。无论你怎么解，你解出多少个解来，最后所有的解x加y加z都是一个确定性的值，这是一个精心设计好的题型。

这类题其实现在来说不常见了，在以前还是挺爱考的，但是现在套路性太强了，所以考的不多了。

我们看一看这类题的两种解题思维，第一种思维相对来说略微难一点，比较不太容易把握，叫整体替换。什么意思？我把一这个数字乘以2，然后我把它进行一个相减，减完之后巧了吧？正好凑出一个x+y+z=18。

巧了，选第4个。这个叫整体替换，当然整体替换不是很容易去想。

我讲一个通用一点的更容易一点的。

既然这个题里面问x+y+z的和是多少？这个题既然是出题人是精心设计好的，x+y+z无论你怎么解，解完了之后一定是一个确定的值，就是他们最后解完的值一定是18，无论你把哪一组解求出来，无穷多个解，最后得到的x+y+z的和都是一个确定的。

既然你精心设计好了，我可不可以就真的去求一组解呢？我们求一组解来看一看，如果我想求一组解，是不是应该再加一个条件？

如果说我再加了一个叫做x=0，是不是可以解了？为什么说x=0？我假设一个x，当x=0的那一组解，我就求那一个解， x=0的那组解。

然后这两个一解，z是不是就等于做一个减法，z=17，17带回来，y=1。

x+y+z是不是还等于18？答案选第4个。

这个方法其实也叫做“赋零法”，但一定要清楚什么时候用“赋零法”，千万不要乱用，一定要理解这个题的原理，一定要想明白为什么为什么可以用赋零，一定要想清楚才能够灵活去用。

因为这个题无论你求出多少组解来，无论你怎么求，无论你求了多少组，最后得到之后，他们加起来最后的和一定是一个确定性的。

像这个题我赋了x为0，我可不可以赋y等于0？或者我赋z等于0可不可以？可以。xyz一定是一样的，对吧？所以也可以赋x=0，或者y或者z=0。

为什么这个题你赋了x等于0？我之所以有赋x等于0，是因为好算对吧？剩下y跟z好解，所以我设了x等于0，对吧？一定赋完了之后变得更加好解的就可以。

当你看到这个题，问你 x+y+z三者的和是多少了？这题没跑的。如果问你x+z的和是多少？一定是这类题，你就用“赋零法”就可以了。

来我们看一下这个题，这里是假设一张桌子为x，凳子为y，椅子就是z对吧？这是两个方程，三个未知数，解不了的不定方程，这个题的本质是不是也是求x+y+z？本质没有变化。

像这个题其实也可以整体替换，但是一般情况下我们不太好容易看出来。这个题给大家演示一下怎么整体替换。

然后这两个一相加。对吧？然后你再去求出 x加y加z的10倍，这也是可以。

你遇到不容易找的时候，就出问题了。我还是用 “ 赋零法”讲一讲。

这里好像还是赋x等于0更容易, X如果等于0，x=0， y等于什么？不就是2.5吗？ Z等于什么？Z是不是等于22/8，那就是11/4，2.75。

各10倍 , 这不很容易吗？答案就选c了。

这类题其实它的套路性非常的强，其实已经好久没考过了，上一次考应该是在2018年上海卷子，然后再往前应该2016年的联考。这道题其实就应该是2016年年考的，然后初期的概率已经不多了，因为套路性太强了，就是一个赋0。现在这种出题人水平越来越高了，这种简单套路性的出的会越来越少了，但是我们还是应该去掌握的。

在学习的过程中还是要去多掌握的，关于整个的不定方程的例题就是这些了。

这个题是秒杀，看一眼就出来了。假设大客车有x个，那就是37x+小客车20y=271，是不是解这个不定方程？第一个看一看能不能用尾数？可以，20y尾数一定是0，对吧？直接用尾数就可以了。

那么这个东西的尾数一定是1，那37乘以谁尾数是一？3对吧，答案选第二个了。尾数法没有任何问题。

23本身是一个质数，所以x一定是4的倍数， X=4的时候往里带， y等于几？

x=4的话，23×4的话应该是92，500-92是408÷16，这个是整数吗？肯定不对，X等于8再往里带8，往里带8的时候23×8，Y就应该等于500-184，这一看也肯定不是整数。

差不多了是吧？x等于12的时候就92的三倍。那应该是276，x=12，y=14，来看一看。

大包装盒是276，小包装盒224，我们其实刚才都已经算了，应该要多了52个鸡蛋是吧？答案选择第4个D。

这个题拿过来之后是不是一定要分组讨论？答对15以上加10分，否则减5。

假设答对大于等于15题的时候，那是不是就是答对得5分？答错了减3分，答对15题以上，另加10分共得60分，没问题吧？整理一下是不是5x-3y=50？这个不定方程来解一解，你看我50是5的倍数对吧？这题你要用尾数也可以。

但是尾数感觉好像更复杂一点了？尾数的话这里面可能性感觉很多，用尾数也行，尾数感觉可能性太多了，这个题很明显，直接用5的倍数就行了。是吧？这里能推的是5的倍数，所以3y一定是5的倍数，所以y一定是5的倍数。你说y能不能等于0？这个答错能不能等于0？可以没问题， Y可以等于0，y等于0的时候x等于几？ Y=0，X=10。

题目叫大于等于15，所以不符合最开始的题干。能不能用y等于5的时候，x等于几？x=13，前提也不符合，所以错了。继续，当y等于10的时候， Y=10，x等于几？等于16。没问题，这中间符合。这时候求z等于多少？总共29个题， Z是不是应该等于3？

这个3有答案没问题，人家问最少的，现在很难确定它一定是答案对吧？所以我们继续来分析一下。

然后继续试试小于15的时候，X越来越大，不用想了。

人家问最少那肯定是c是吧？这就是C, 这个题这题真的有点难。

来看一看，均为正整数。这里面是不是都是11的倍数？

都是11的倍数，所以7b也一定得是11的倍数，所以b一定等于11，b=11，那么a等于多少？那就是a是不是应该=5？所以答案选第4个。非常的简单。

假设捐了300的x人y人z人,然后捐款额度300，等于总金额36,000，

剩这两个现在要去消元，如果消元的话怎么消？

这里一看这么2y=60这不是偶数吗？这两个都是偶数？或者说都是2的倍数吗？

其实奇偶特性就是一个2的倍数的意思，其实也是特殊的倍数特性，对吧？60是2的倍数，2y是2的倍数，所以17z也一定是偶数，z=2，简单一看y等于什么？把2带回去, y=13，答案选C。

这两个方程是解x对吧？两个相减z约掉x是不是等于一个？11。把11带回来，z等于什么？z=-1，所以x+y+z一看=10，答案选c。赋零法要熟悉，非限制性不定方程太明显了，想都不用想。

好，我们来看整体替换，当然我不知道有没有同学想起来整体替换，再说一说。这叫做整体替换，3和4这两个一相减其实就是x加y加z对吧？然后一算等于10，答案选C就ok了。这是比较简单的。

如果你想不到就直接用“赋零法”吧，“赋零法”那么简单，直接一代入0消元就OK了。