与传统的基于大质数因子分解困难性的加密方法不一样，ECC经过椭圆曲线方程式的性质产生密钥安全

ECC164位的密钥产生一个安全级，至关于RSA 1024位密钥提供的保密强度，并且计算量较小，处理速度更快，存储空间和传输带宽占用较少。目前我国居民二代身份证正在使用 256 位的椭圆曲线密码，虚拟货币比特币也选择ECC做为加密算法。性能

古希腊数学家欧几里得的《几何本来》提出了五条公设。编码

• 1.由任意一点到任意一点可做直线。加密

• 2.一条有限直线能够继续延长。spa

• 3.以任意点为心及任意的距离能够画圆。设计

• 4.凡直角都相等。code

• 5.同一平面内一条直线a和另外两条直线b.c相交，若在a某一侧的两个内角的和小于两直角，则b.c两直线经无限延长后在该侧相交。blog

《几何本来》只有在第29个命题ip

一条直线与两条平行直线相交,则所成的内错角相等,同位角相等,且同旁内角之和等于两直角

中才用到第五公设，即《几何本来》中可不依靠第五公设而推出前28命题。所以，一些数学家提出，第五公设能不能不做为公设，而做为定理？能不能依靠前四个公设来证实第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论

1820年代，俄国喀山大学罗巴切夫斯基用“至少能够找到两条相异的直线，且都经过P点，并不与直线R相交”代替第五公设，而后与欧氏几何的前四个公设结合成一个公理系统，他通过细致深刻的推理过程当中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的几何体系。

这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。从罗氏几何学中，能够得出这样一个结论：逻辑上不矛盾的一些公理都有可能提供一种几何学。现存非欧几何的类型能够归纳以下：

1.坚持第五公设，引出欧几里得几何。

2.“能够引最少两条平行线”为公设，罗氏几何（双曲几何）。

3.“一条平行线也不能引”为公设，黎曼几何（椭圆几何）

左：双曲几何，即罗氏几何；中：欧几里德几何；右：椭圆几何，即黎曼几何

了解非欧式几何，就能够理解平行线的交点。

定义平行线相交于无穷远点P∞，使平面上全部直线都统一为有惟一的交点

• 1.一条直线只有一个无穷远点；一对平行线有公共的无穷远点

• 2.任何两条不平行的直线有不一样的无穷远点（不然会形成有两个交点）

• 3.平面上全体无穷远点构成一条无穷远直线

射影平面：平面上全体无穷远点与全体日常点构成射影平面

求点（1,2）在新的坐标体系下的坐标

一条椭圆曲线是在射影平面上知足威尔斯特拉斯方程（Weierstrass）全部点的集合

• 1椭圆曲线方程是一个齐次方程

• 2曲线上的每一个点都必须是非奇异的（光滑的），偏导数FX(X,Y,Z)、FY(X,Y,Z)、FZ(X,Y,Z)不一样为0

• 3圆曲线的形状，并非椭圆的。只是由于椭圆曲线的描述方程，相似于计算一个椭圆周长的方程故得名

这两个方程都不是椭圆曲线,由于他们在（0:0:1）点处（即原点）没有切线，不知足椭圆曲线每一个点都必须是非奇异的（光滑的），

咱们已经看到了椭圆曲线的图象，但点与点之间好象没有什么联系。咱们能不能创建一个相似于在实数轴上加法的运算法则呢？这就要定义椭圆曲线的加法群，这里须要用到近世代数中阿贝尔群。

在数学中，群是一种代数结构，由一个集合以及一个二元运算所组成。已知集合和运算(G,*)若是是群则必须知足以下要求

阿贝尔群除了上面的性质还知足交换律公理a * b = b * a

一样在椭圆曲线也能够定义阿贝尔群。

任意取椭圆曲线上两点P、Q（若P、Q两点重合，则做P点的切线），做直线交于椭圆曲线的另外一点R'，过R'作y轴的平行线交于R，定义P+Q=R。这样，加法的和也在椭圆曲线上，并一样具有加法的交换律、结合律

如有k个相同的点P相加，记做kP

椭圆曲线是连续的，并不适合用于加密；因此，咱们必须把椭圆曲线变成离散的点，咱们要把椭圆曲线定义在有限域上。
咱们给出一个有限域Fp

• Fp的单位元是1，零元是 0

• Fp域内运算知足交换律、结合律、分配律

选择两个知足下列约束条件的小于p的非负整数a、b

Fp上的椭圆曲线一样有加法

若是椭圆曲线上一点P，存在最小的正整数n使得数乘nP=O∞ ,则将n称为P的阶
若n不存在，则P是无限阶的

这些点作成了一个循环阿贝尔群，其中生成元为P，阶数为29。显然点的分布与顺序都是杂乱无章

考虑K=kG ，其中K、G为椭圆曲线Ep(a,b)上的点，n为G的阶（nG=O∞ ），k为小于n的整数。则给定k和G，根据加法法则，计算K很容易但反过来，给定K和G，求k就很是困难。由于实际使用中的ECC原则上把p取得至关大，n也至关大，要把n个解点逐一算出来列成上表是不可能的。这就是椭圆曲线加密算法的数学依据

• 4.Bob收到信息后，将待传输的明文编码到上的一点M（编码方法略），并产生一个随机整数r（r<n,n为G的阶数） 假设r=6 要加密的信息为3,由于M也要在E29(4,20) 因此M=(3,28)

一般将Fp上的一条椭圆曲线描述为T=(p,a,b,G,n,h)p、a、b肯定一条椭圆曲线（p为质数，(mod p)运算）G为基点，n为点G的阶，h是椭圆曲线上全部点的个数m与n相除的商的整数部分

• p越大安全性越好，但会致使计算速度变慢
• 200-bit左右可知足通常安全要求

比特币系统选用的secp256k1中，参数为

• 在私钥的处理速度上，ECC远 比RSA、DSA快得多

• ECC的密钥尺寸和系统参数与RSA、DSA相比要小得多

• 若是序列号设计太短，那么安全性并无想象中的完善

轨迹是几何学中的一组点，它满足形状或图形的给定条件或情况。基因座的复数形式是基因座。基因座的区域称为区域。单词轨迹源于单词位置。在20世纪以前，几何图形被认为是一个实体或地方，点可以定位或移动。但在现代数学中，实体被视为满足给定条件的点集。

在数学中，轨迹是由满足坐标关系的特定方程的所有点，或由一个点、线或运动曲面构成的曲线或其他形状。所有的形状，如圆、椭圆、抛物线、双曲线等，都由轨迹定义为一组点。

在现实生活中，你一定听说过“位置”这个词。词的位置来源于单词轨迹本身。轨迹定义某物的位置。当一个物体位于某处，或某物发生在某处时，用轨迹来描述。例如，这个地区已经成为反对政府的地方。

轨迹是所有点的集合，这些点的位置由一定的条件决定。例如，西南部的一系列地区，它是许多独立运动的中心。在这里，轨迹被定义为任何地点的中心。

在数学中，轨迹是由一个特定的规则、法则或方程表示的一组点。

点的轨迹在几何学中定义了一个形状。假设圆是与中心等距的所有点的轨迹。类似地，其他形状如椭圆、抛物线、双曲线等都是由点的轨迹定义的。

轨迹仅定义为曲线形状。这些形状可以舒则的也可以是不规则的。

轨迹是没有描述的形状，其中有顶点或角度。

形成直线、线段、圆、曲线等几何形状且其位置满足条件的所有点的集合就熟迹。所以，我们可以说，它们不是一组点，而是一个点可以定位或移动的地方。

关于点或轨迹的轨迹，圆被定义为与一个固定点等距的所有点的集合，其中不动点是圆的中心，这些点集距中心的距离是圆的半径。假设P是圆的中心，r是圆的半径，即点P到所有点集或点的轨迹的距离。

在几何中有六个重要的轨迹定理。这些定理乍一看可能会令人困惑，但它们的概念实际上很容易理解。让我们详细讨论这六个重要定理。

在距点“p”固定距离“d”处的轨迹被视为一个以“p”为圆心，“d”为其直径的圆。

这个定理有助于确定与一个点的距离相同的所有点所形成的区域。

距离直线“m”固定距离“d”处的轨迹被视为一对平行线，它们位于“m”两侧，距离直线“m”的“d”处。

这一定理有助于找到与单线距离相同的所有点所形成的区域。 

与两个给定点（例如A和B）等距的轨迹被视为连接两个点的线段的垂直平分线。

该定理有助于确定由距离点A和距离点B相同距离的所有点形成的区域。形成的区域应为线段AB的垂直平分线。

与两条平行线（例如m 1和m 2）等距的轨迹被认为是一条与两条线m 1和m 2平行的线，并且应该位于它们之间的一半。

该定理有助于找到由与两条平行线相距相同距离的所有点形成的区域。

存在于与角的侧面等距的角的内部上的轨迹被认为是该角的等分线。

该定理有助于确定由所有距角的两侧相同距离的点形成的区域。该区域应为角平分线。

与两条相交线（例如m 1和m 2）等距的轨迹被认为是将两条线m 1和m 2所产生的角度二等分的一对线。

该定理有助于找到由距离两条相交线相同距离的所有点形成的区域。形成的区域应该是将形成的角度二等分的一对线。

我们已经讨论了点的轨迹，这些点定义了形状的路径（如关于圆形的说明）。现在，让我们看看二维几何或平面几何中的更多示例。

通过将两个点连接在一起并与两个点等距而将线等分的点集称为垂直等分线。

将一个角度平分并且与两条相交线等距且形成一个角度的点或点的轨迹称为角度平分线。

椭圆定义为满足两个焦点点的距离之和为常数的条件的点集。

与固定点和一条线等距的点或轨迹集称为抛物线。固定点是焦点，直线是抛物线的方向。

双曲线具有两个焦点，它们与半长轴的中心等距。双曲线定义为一组点，它满足以下条件：到两个给定焦点的距离之差的绝对值是常数。