为什么需要学习数学，这是你首先需要想清楚的问题。数学学科子分类多、每一本数学书中都有许多定理和结论，需要花大量时间研究。而人的时间是宝贵的、有限的，所以你需要大体有一个目标和计划，合理安排时间。

你的目标是精通数学、钻研数学，以数学谋生，你可能立志掌握代数几何，或者想精通前沿物理。

那么你需要打下坚实的现代代数、几何以及分析基础，你需要准备大量时间和精力，拥有坚定不移的决心。（要求：精通全部三级高等数学）

你的目标是能够熟练运用高等数学，解决问题，掌握探索新应用领域的武器，你可能立志进入计算机视觉领域、经济学领域或数据挖掘领域。

那么，你需要打下坚实的矩阵论、微积分以及概率统计基础。（要求：精通第一级高等数学）

你的目标是想了解数学的乐趣，把学数学作为人生一大业余爱好。

那么，你需要打下坚实的线性代数、数学分析、拓扑学以及概率统计基础，对你来说，体会学数学的乐趣是一个更重要的目标。（精通第一级高等数学，在第二级高等数学中畅游，尝试接触第三级高等数学）

学数学需要智力，更需要时间和精力。下面的几个事实相大家都深有体会：

凡是没有用的东西，或者虽然有用，但是你用不到的东西，学得快忘得也快。不信你回忆一下你大一或者初一的基础课，你还记的清楚吗？

凡是你不感兴趣（或者感觉不到乐趣）的东西，你很难坚持完成它。很多人都有这样的经历，一本书，前三章看的很仔细，后面就囫囵吞枣，越看越快，反正既没意思也没用。

小学数学是中学数学的基础，中学数学是高中数学的基础，高中数学是大学数学的基础（你可以以此类推）。

因此，无论你的目标是什么，搞数学、用数学、还是体会数学的乐趣、满足自己从少年时就有的梦想。学有所乐、学有所用，永远是维持你动力不衰退的两个最主要的因素。

好了，来看看标准大学数学的科技树：

线性代数（矩阵论）、数学分析、近世代数（群环域），分别囊括了了几何、分析和代数的基础理论。别忘了还有概率论（建立在分析之上的一门基础学科）。

有了这些基础，接着是基础的基础、抽象和推广：

测度论（积分的基础，也是概率论的基础）

拓扑学（有关集合、空间、几何的一门极度重要的基础学科）

泛函分析（线性代数的推广）

复变函数（分析的推广）

常微分方程与偏微分方程（分析的推广）

数理统计和随机过程（概率论的推广）

微分几何（分析和几何的结合）。

然后是一些小清新和应用学科：

密码学，图形学，信息论

再往上是研究生课题，往往是代数、几何和分析要一起上：微分流形、代数几何、随机动力学等等。

这个科技树的三级，和小学、初中、高中数学很相似。一层学不精通，下一层看天书。

千万千万千万不要狂做题。玩过战略对抗游戏的同学都知道，低级兵造几个就行了，要攒钱出高级兵才能在后期取胜，低级兵不仅攻击力低，还没有好玩的魔法，它们存在的意义在于让你有能力熬到后期。

上面列举了那么多课程，你先花5年做完吉米诺维奇六本数学分析习题集，你就30岁了，后面的二级课程还没开始学呢。

因此，做一些课后习题，帮助你复习、思考、维持大脑运转就行，要不断地向后学。如果完全学不懂了，返回来做习题帮自己理清头绪。

数学的精髓不是做题的数量，而是掌握思想。

每一个数学分支都有自己的主线思想和方法论，不同分支也有相互可供对比和借鉴的思维方式。留意它，模仿它，琐碎的知识就串成了一条项链，你也就掌握了一门课。思想并不是读一本教材就能轻易了解的，你要读好几本书，了解一些应用才能体会。

1.微积分的主线有这么几条：

认识到微观和宏观是有联系的，微分用来刻画事物如何变化，它把细节放大给你看，而积分用来刻画事物的整体性质；

微分和积分有时是描述一个现象的不同方式，这一点你在数学分析书中可能不容易发现，但是如果学点物理，就会发现麦克斯韦方程组同时有等价的微分形式和积分形式；

积分变换能够建立不同空间之间的的联系，建立空间和空间边界的联系，这就是Stokes定理：

这个公式最迟要在微分流形中你才能一窥全貌。

2.矩阵是空间中线性变换的抽象，线性代数这门课的全部意义在于研究如何表达、化简、分类空间线性变换算子；

SVD分解不仅在应用学科用有极为广泛的亮相，也是你理解矩阵的有力工具；

矩阵是有限维空间上的线性算子，对'空间'的理解不仅能让你重新认识矩阵，更为泛函分析的学习开了个好头。

很多时候，只读一本书，可能由于作者在某处思维跳跃了一下，以后你就再也跟不上了。学习数学的一个诀窍，就是你同时拿到好几本国际知名教材，相互对比着看，或者看完一本然后再看同一主题的另一本书，已经熟悉的内容跳过去，如果看不懂了，停下来思考或者做做习题，还是不懂则往后退一退，从能看懂的部分向前推进，当你看的多了，就会发现一个东西出现在很多地方，对它的理解就加深了。

外微分这个东西，国内有的数学分析书里可能不介绍，我第一次遇到是在彭家贵的《微分几何》里，觉得这是个方便巧妙的工具；

后来读卓里奇的《数学分析》和Rudin的《数学分析原理》，都讲了这个东西，可见在西方外微分是一个基础知识。

你要读懂它，可能要首先理解矩阵，明白行列式恰好是空间体积在矩阵的变换下拉伸的倍数，它是一种线性形式。

最后，当你读微分流形后，将发现外微分是获得流形上的Stokes定理的工具。

点集拓扑学这个东西，搞应用用不到。但是但凡你想往深处学，这一门学科就必须要掌握，因为它提供对诸如开集、紧集、连续、完备等数学基本概念的精准刻画。

往后学泛函分析、微分流形，没有这些概念你将寸步难行。

首先你要读芒克里斯的旷世名著《拓扑学》，接着在读其他外国人写的书时，或多或少都会接触一些相关概念，你的理解就加深了，比如读Rudin的《泛函分析》，开始就是介绍线性拓扑空间，前面的知识你就能用上了。

看到一个东西在很多地方用，你对它的理解就加深了，慢慢也就能体会到这个东西的精妙，最后你会发现所有的基础学科相互交织，又在后续应用中相互帮助，切实体会到它们真的很基础，很有用。这是一种体会数学乐趣的途径。

没有什么比应用更能激发你对新知识、新工具的渴望。找一些感兴趣的应用学科教材，读一读，开阔眼界，为自己的未来积累资源。

以下结合自己的专业（计算机视觉）和爱好说说一些优秀的专业书籍：

学了微积分，就可以无压力阅读《费恩曼物理学讲义第一卷》，了解力、热、光、时空的奥秘。学了偏微分方程，就可以无压力阅读《费恩曼物理学讲义第二卷》，了解电的奥秘。学了矩阵论，可以买一本《计算机视觉中的多视图几何》，了解成像的奥秘，编程进行图像序列的三维重建。学了概率论的同学应该会听说过贝叶斯学派和频率学派，这两个学派的人把战场拉到了机器学习领域，成就了两本经典著作《Pattern Learning》，读了它们，我被基础数学为机器学习领域提供的丰硕成果和深刻见解深深折服；读了《Ray Tracing from the Ground Up》，自己写了一个光线追踪器渲染真实场景，它的基础就是一点点微积分和矩阵……

高等数学的应用实在太多了，如果你喜欢编程，自动化、机器人、计算机视觉、模式识别、数据挖掘、图形图像、信息论和密码学......到处都有大量模型供你玩耍，而且只需要一点高等数学。在这些领域，你可能能发现比数学书更有趣，也更容易找到工作的目标。

数学家写的书有时是比较死板的，但是总有一些教材，它们的作者有强烈的欲望想向你展示'这个东西其实很有趣'，'这个东西完全不是你想的那个样子'等等，他们成功了；还有些作者，他们喜欢把一个东西在不同领域的应用，和不同东西在某一领域的应用集中展示给你看。

这样的书会提供给你充足的乐趣读下去。典型代表就是国内出版的一套《图灵数学统计学丛书》，这一套书实在是太棒了，比如《线性代数应该这样学》《复分析：可视化方法》《微分方程、动力系统与混沌导论》，个人认为都是学数学必读的经典教材，非常非常有趣。

如果只有一句话概括如何培养数学能力，那么就是这一句：多读书，读好书。因此这一步我想单独拿出来多说两句。

想必大家都十分精通并能熟练应用小学数学。想读懂代数几何，或者退一步，想读懂信息论基础，你就要挑几本好的基础教材，最好是外国人写的，像掌握小学数学那样掌握它。不要只看一本，找三本不同作者的书，对比着看，逐行逐字看。有的地方肯定看不懂，记下来，说不定在另一本书的某个地方就从另一个角度说到了这个东西。

如果你以后还要往后学，现在看到的每一个基础定理，以后还会用到。 每一本基础书，你今天放弃，明天还要乖乖重头再来。 要像读经文一样，交叉阅读对比不同教材内容的异同。

《线性代数应该这样学》

卓里奇《数学分析（两册）》（读英文版吧，不难。有知友说这个还是不太简单，那你可以先看个国内教材，然后回过头来再看这个）

柯斯特利金《代数学引论》

Vapnik《统计学习理论的本质》
Rudin《数学分析原理》
Rudin《泛函分析》

Cover《信息论基础》

Boothby《微分流形与黎曼几何》

《什么是数学：对思想和方法的基本研究》
《高观点下的初等数学》

《巴赫、埃舍尔、哥德尔》

《费恩曼物理学讲义》三册
《混沌与分形：科学的新疆界》
《微分方程、动力系统与混沌导论》

《复分析：可视化方法》

我的建议是在阅读数学的过程中开拓眼界，纯数学和应用数学学科都看看，找到感兴趣、应用广泛的方向再一猛扎下去成为你的事业。比如数学扎实，编程能力也强的人就很有前途。