觅求开方的运算方法，早就引起了人们的注意。在古巴比伦泥版书、古埃及纸草书、印度《绳法经》和中国《九章箅术》中均对其进行了研讨。古巴比伦的泥版书距今已有4000余年，故根式的发现实可谓历史悠久。

古巴比伦的开方术远远走在了其他文明古国前面，美索不达米亚人有着广泛的平方和平方根表，并且对立方和立方根也有类似表格。通常在求解问题需要平方根时，就做适当处理使之在已有平方根表中，且是一个有理数。然而他们也处理了无理数。

现存YBC7279号泥版，其形状像一块圆饼，上面刻有正方形，并画出其两条对角线，还刻有3个数字。用现代符号可记为：a=30

印度数学深受其宗教的影响。古印度人在公元6世纪前，已能用9个数字和表示零的小圆圈，再借助于位值制便可写出任何数字，由此建立了有理数的四则运算法则，以及开平方和开立方法则等。事实上早在公元前6世纪，印度人已认识到了开平方。《绳法经》属于古婆罗门教的经典，是在数学史上有着重要意义

尽管时间又前进了1000多年，但其精确度还不及美索不达米亚人。有学者推测上式可能源于近似公式

这里。值得肯定的是，该值与建造一个正方形祭坛有关，该正方体是一个给定正方体的2倍。

婆罗摩笈多(Brahmagupta，598-665)不仅完整给出零的运算法则，还给出开方术，并用印度文根号一词“carani”的首写字母“c”表示根号。例如被表示为ru3c29c110(ru为印度文“rupa”缩写，表示数的绝对值)。

在中国《九章算术》第四章少广篇12-16题中，应用了开平方计算，并在16题后给出较为完整的开平方法。

开方术曰：置积为实(被开方数)。借一算步之，超一等。议所得，以一乘(乘一次)所借一算为法，而以除(减)。除已，倍法为定法。其复除。折法而下。复置结算步之如初，以复议一乘之，所得副，以加定法，以除。以所得副从定法。复除折下如前。若开之不尽者为不可开，当以面命之。若实有分者，通内分子为定实，乃开之，讫，开其母报除。若母不可开者，又以母乘定实，乃开之，讫，令如母而一。

 可见《九章算术》中所给开平方法与现代中学方法类似。若答案不是整数时，则该过程可用十进制小数无限地计算下去。若开之不尽者为不可开，当以面命之。因而就给出了无理数，并冠名为“面”。无理数的发现在西方引发了第一次数学危机，而在中国轻易就接受了无理数。

二次根式的发现和应用表明，数学是全人类共同的文化财富，不同文化背景下的数学概念、数学方法、数学思想、数学创造都是数学之树的重要分枝，即使一种数学符号的普遍采用都凝聚着几代数学家的努力和智慧。令人扼腕的是，二次根式的发现也会让人付出生命的代价，希帕苏斯(公元前470年左右) 正是因认识到的存在性，而被毕达哥拉斯学派无情地投进了茫茫大海。

(因文中涉及到一些数学式子，部分内容不得不用图片形式，故显得排版不是很整齐)

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第一讲：专题复习：因式分解、分式和根式

【知识梳理】 一、因式分解： 1、常用的公式：

立方和（差）公式：()()2

2、许多多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉以下的常用结果：

（B A 、为整式），其中B 中含有字母的式子叫分式。 当分子为零且分母不为零时，分式的值为零，而当分母为零时，分式没有意义。 2、分式的性质 （1）分式的基本性质：

??=（其中M 是不为零的整式）。 （2）分式的符号法则： 分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。

a 。 3、分式的运算 分式的运算法则有：

分式的基本性质是分式变形的理论根据之一，分式变形的常用方法有：设参法（主要用于连比式或连等式），拆项法（即分离变形），因式分解法，分组通分法和换元法等。