RT，同济大学高等数学（第七版）下册第11章习题答案详解 第十一章　曲线积分与曲面积分 　　习题11-1　对弧长的曲线积分 　　习题11-2　对坐标的曲线积分 　　习题11-3　格林公式及其应用 　　习题11-4　对面积的曲面积分 　　习题11-5　对坐标的曲面积分 　　习题11-6　高斯公式　通量与散度 　　习题11-7　斯托克斯公式　环流量与旋度 　　总习题十一

例6. 求椭圆柱面 内容小结 练习 1. 已知曲面壳 2. 设 ? 是四面体 预备知识：有向曲面及曲面元素的投影 指定了侧的曲面叫有向曲面, 二、 对坐标的曲面积分 对一般的有向曲面? , 2. 定义. 3. 性质 5. 对坐标的曲面积分的计算法 例1. 计算 例2. 计算曲面积分 例5 设 性质: 2. 常用计算公式及方法 当 练习 求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 “偶零奇倍” 例3 计算 解： y 1 z 1 1 x O Σ1 Σ3 Σ2 Σ4 其中Σ为平面x+y+z=1，与三坐标 平面所围 立体的表面，取外侧 三、两类曲面积分之间的联系 1．设有向曲面Σ由方程z =z (x，y)给出，Σ在xOy面上的投影区域为Dxy，函数z =z (x，y) 在Dxy上具有一阶连续偏导数，R(x，y，z)在Σ上连续。如果Σ取上侧，则由对坐标的曲面积分计算公式有 上述有向曲面Σ的法向量的方向余弦为 由对面积的曲面积分计算公式有 由此可见，有 如果Σ取下侧，则有 但这时 因此（1）式仍成立 类似可推得 （2） （3） 合并（1）、（2）、（3）三式，得两类曲面积分之间的如下关系： 其中cosα、cosβ、cosγ是有向曲面Σ上点（x，y，z）处的法向量的方向余弦 例4 把对坐标的曲面积分 解：N ={－zx，－zy， 1}={2x，2y，1} 化成对面积的曲面积分，其中Σ: 是z = 8－(x2+y2) 在xOy面上方部分的上侧 n ={ cosα，cosβ，cosγ} 是其外法线与 z 轴正向 夹成的锐角, 计算 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用两类曲面积分之间的联系计算对坐标的曲面积分——投影转换法 设Σ：z=z(x，y)，取上侧，则 N={－zx ,－zy , 1}， 所以 如取下侧，则N= －{－zx，－zy，1}，上式仍成立。 如Σ由x=x(y，z)给出，则 其中N=±{1，－xy，－xz}，“前正后负” 如Σ由y=y(z，x) 给出，则 其中N=±{－yx，1，－yz}，“右正左负” 例6 计算曲面积分 解：Dxy：x2+y2≤4，N={ zx， zy， －1}={x，y， －1} 于是 轮换对称 介于平面z=0和z=2之间的部分的下侧 其中Σ是旋转抛物面 联系: 思考: 的方向有关, 上述联系公式是否矛盾 ? 两类曲线积分的定义一个与 ? 的方向无关, 一个与 ? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 * 一、对面积的曲面积分 （第一类曲面积分） 二、对坐标的曲面积分 （第二类曲面积分） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 Ch9-4 曲面积分 三、两类曲面积分之间的关系 四、高斯公式 一、对面积的曲面积分 1. 引例: 设曲面形构件具有连续面密度 类似求平面薄板质量的思想, 采用 可得 求质量M “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 的方法, 其中, ? 表示 n 小块曲面的直径的 最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.定义 设 ? 为光滑曲面, “乘积和式极限” 都存在, 的曲面积分 其中 f (x, y, z) 叫做被积 据此定义, 曲面形构件的质量为 曲面面积为 f (x, y, z) 是定义在 ? 上的一 个有界函数, 记作 或第一类曲面积分. 若对 ? 做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 ? 上对面积 函数, ? 叫做积分曲面. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则对面积的曲面积分存在. ? 对积分域的可加性. 则有 ? 线性性质. 在光滑曲面 ? 上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. ? 积分的存在性. 若 ? 是分片光滑的, 例如分成两 片光滑曲面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ? 对称性. 偶倍奇零 定理: 设有光滑曲面 f (x, y, z) 在 ? 上连续, 存在, 且有 3. 对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一代、二换、三投影 化为二重积分计算 “一代”: 将z=z(x，y)代入被积函数f (x，y，z)， 得f [x，y，z(x，y)]； 一代、二换、三投影, 化为二重积分计算 “二换”：将dS换成相应的曲面面积元素的表达式： 如Σ：z=z(x，y)，则 “三投影”

第1篇：考研数学一高数考查的要点分析

考生们在准备考研数学一的复习时，需要把高数考查的要点分析好。小编为大家精心准备了考研数学一高数考查的知识点，欢迎大家前来阅读。

选择题部分共8道题，32分，高数占16分，侧重于三基的考查，知识点基础且全面。高数部分涵盖了极限(渐近线的计算)、一元函数微分学的应用(拉格朗日中值定理)、二重积分交换积分次序(还原积分区间、二重积分定限)、定积分分区间讨论。难度一般。

填空题部分共6道题，24分，高数占16分，主要考查了计算能力和分析能力。涵盖知识点：空间解析几何(偏导数、切平面)、微分方程(可分离变量、齐次微分方程)、第二型曲线积分(斯托克斯公式)。难度一般。

解答题部分共8道题，94分，高数占50分，主要考查分析推理能力和计算能力。涵盖知识点：第15题，极限计算(等价无穷小替换、变上限积分求导);

第16题，极值(隐函数求导、极值第二充分条件);第17题，微分方程(多元函数高阶导数、二阶常系数微分方程);第18题，第二型曲面积分(高斯公式);第19题，综合题(数列极限、级数敛散*)。

综合以上分析可以看出，这些考点都是我们在教学过程中反复强调和练习的内容，除第19题综合*较强不太容易考虑之外(事实上也在我们总结的结论之内)，其他题目都是常规题目，所以对2015年考研的同学来说，踏踏实实掌握好基

第2篇：高等数学的考点分析

1、函数、极限与连续。主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数、讨论函数连续*和判断间断点类型、无穷小阶的比较、讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。求分段函数的复合函数；求极限或已知极限确定原式中的常数；讨论函数的连续*，判断间断点的类型；无穷小阶的比较；讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。这一部分更多的会以选择题，填空题，或者作为构成大题的一个部件来考核，关键是要对这些概念有本质的理解，在此基础上找习题强化。

2、一元函数微分学。主要考查导数与微分的定义、各种函数导数与微分的计算、利用洛比达法则求不定式极限、函数极值、方程的的个数、*函数不等式、与中值定理相关的*、最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用、用导数研究函数*态和描绘函数图形、求曲线渐近线。求给定函数的导数与微分(包括高阶导数)，隐函数和由参数方程所确定的函数求导，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导*的讨论；利用洛比达法则求不定式极限；讨论函数极值，方程的根，*函数不等式；利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理*有关命题，此类问题*经常需要构造辅助函数；几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定

第3篇：高二数学数列考点分析

数学数列知识点本章是高考命题的主体内容之一，应切实进行全面、深入地复习，并在此基础上，突出解决下述几个问题：(1)等差、等比数列的*须用定义*，值得注意的是，若给出一个数列的前项和，则其通项为若满足则通项公式可写成.(2)数列计算是本章的中心内容，利用等差数列和等比数列的通项公式、前项和公式及其*质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内容.(3)解答有关数列问题时，经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题，是我们复习应达到的目标.①函数思想：等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是的函数，所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解.

②分类讨论思想：用等比数列求和公式应分为及;已知求时，也要进行分类;

③整体思想：在解数列问题时，应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势，运用整体思想求解.

(4)在解答有关的数列应用题时，要认真地进行分析，将实际问题抽象化，转化为数学问题，再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用，决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错

第4篇：考研数学题目特点分析及备考要点指南方法

1.综合度高，不仅有跨章节的知识点运用，更有跨学科的知识点运用。如《高数》，《线代》，《概率》的知识点穿*。

2.重视锻炼思维，并不注重计算，对知识点的灵活运用要求高。

3.整体知识覆盖面广，考察知识点的角度经典。

4.要求对数学知识综合运用能力强，解答题几乎不存在投机的可能。

5.真题的出题顺序是严格按照大纲编排顺序而安排。

6.《曲线，曲面积分》一章为《高数》的难点，也是测试的重点。

7.有些同学说中值定理的*较难，可以把泰勒公式作为最后的杀手锏，大量题目都可以用其解决。

8.统计部分测试题型单一，好好总结一下，这部分送分的题目丢分实在可惜。

9.《线代》是一种全新的思维模式，光有空间想象能力是不够的，需要拓展自己的思维。

1.找寻自己的薄弱环节，有针对*的进行巩固。

2.以点带面看到典型的题目，复习本章相关的所有知识点。

3.做题不在于多，而在于精。甚至可以对经典的题目隔段时间做上一遍，领会出题者意图达到贯通

第5篇：考研数学高数复习提高效率的要点

我们在进行考研数学高数的复习时，需要提高效率小伙伴们，要掌握好要点。小编为大家精心准备了考研数学高数复习提高效率的重点，欢迎大家前来阅读。

一、重视基础概念、理论

考研数学试题和前几年一样，以考查基础题目和中等题为主，因此对于高数，在平时的复习中，仍然要保持对基础概念、理论的重视，不要一味只做题，要及时从错题中找出自己基础中的薄弱环节，对照教材和复习全书查漏补缺。这个内容需要一直做到临考前。

考研数学高数中的重、难点主要有：

第一章函数、极限、连续：1、求极限;2、无穷小阶的比较问题;3、间断点类型的判断;4、渐近线。

第二章一元函数微分学：1、导数的定义;2、复合函数、隐函数和参数方程的求导;3、方程的根的相关问题;4、微分中值定理;5、导数在经济中的应用(数三)。

第三章一元函数积分学：1、不定积分、定积分和反常积分的基本运算;2、变上限积分的相关问题;3、利用定积分求面积和旋转体的体积。

第四章多元函数微分学：1、多元函数的连续*、偏导存在以及可微三者之间的关系;2、复合函数和隐函数求偏导，特别是抽象函数的偏导;3、多元函数的极值和最值问题。

第五章多元函数积分学：1、二重积分的计算;2、累次积分的换序与计算3、第二类曲线积分和第二类曲面积分的计算(数一);4、关于三重积分、

第6篇：考研数学高效复习要点

复习之始，很有必要先把数学课本通看一遍，主要是对一些重要的概念，公式的理解和记忆，当然有可能的话顺便做一些比较简单的习题，效果显然要好一些。这些课后习题对于总结一些相关的解题技巧很有帮助，同时也有助于知识点的回忆和巩固。

需要强调的一点就是，在掌握了相关概念和理论之后，首先应该自己试着去解题，即使做不出来，对基本概念和理论的理解也会深入一步。因为数学毕竟是个理解加运用的科目，不练习就永远无法熟练掌握。解不出来，再看书上的解题思路和指导，再想想，如果还是想不出来，最后再看书上的详细解答。

看一道题怎么做出来不是最重要的东西，重要的是通过你自己的理解，能够在做题的过程中用到它。因此，在看完例题之后，切莫忘记要好好选两道习题来巩固一下。不要因一些难题贬低自己的自信心，坚信等若干月复习之后回头看这些题就是小菜一碟。

这样艰苦复习的结果应该是：对基本概念、基本理论的理解更深入了一层，基本熟悉了考研数学考查的内容，并且掌握了一些基本题型的解题思路和技巧。这个时候如果可能的话最好通读一遍考研的数学大纲，有助于进一步把握内容概貌，考试题型，试题难度等。

考研大纲严格划定了各类*考生应考的范围和难度要求，是考生制定计划的依据。仔细阅读，并结合近两年的考题，体会本*类数

第7篇：考研高等数学的核心考点预测解析

我们在进行考研高等数学的复习时，需要了解清楚核心考点的预测时什么情况。小编为大家精心准备了考研高等数学的核心考点预测分析，欢迎大家前来阅读。

数一对于高等数学的考查一共82分，其中四个选择，四个填空以及五道解答题。对于选择题的考查多集中于概念、定理、公式、*质，当然也会结合适当的计算，考查重点在于：

1)对于极限的考查主要包括：直接计算、无穷小的比较、连续和间断点等;

2)微分学部分的考查主要包括：导数的定义及几何意义、多元函数微分学中连续、偏导存在以及可微的判断;

3)积分学主要考点集中在：定积分的定义及几何意义、广义积分的敛散*判断、二重积分交换积分次序以及变换坐标系、多元积分学中对几类积分的物理背景及*质的考查;

4)微分方程的求解尤其是二阶常系数非齐次线*微分方程中特解的设置等;

5)常数项级数敛散*判断、幂级数收敛半径、收敛区间及收敛域的计算。

对于填空题而言，高等数学多集中于计算：

2)一元函数的微分学侧重考查隐函数、参数方程的求导问题，当然也会结合简单的导数应用如切线和法线、微分的计算等;多元函数微分学中隐函数和复合函数的一阶、二阶偏导以及全微分同样是考查重点;

3)不定积分和定积分的计算，尤其是对定积分对称区间积分的考查不容忽视;

4)二重积分的计算多集中于调换积分次序

第8篇：考研数学高数复习的要点

考生们在进行考研数学的复习时，面对高数的难题，我们应该掌握好一些知识要点。小编为大家精心准备了考研数学高数复习重点，欢迎大家前来阅读。

几个易混概念：连续，可导，存在原函数，可积，可微，偏导数存在他们之间的关系式怎么样的?存在极限，导函数连续，左连续，右连续，左极限，右极限，左导数，右导数，导函数的左极限，导函数的右极限。

罗尔定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续(其中a不等于b)，在开区间(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，那么至少存在一点ξ∈(a、b)，使得f'(ξ)=0。罗尔定理是以法国数学家罗尔的名字命名的。罗尔定理的三个已知条件的意义，①f(x)在[a,b]上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的曲线;②f(x)在内(a,b)可导表明曲线y=f(x)在每一点处有切线存在;③f(a)=f(b)表明曲线的割线(直线ab)平行于x轴;罗尔定理的结论的直几何意义是：在(a,b)内至少能找到一点ξ，使f'(ξ)=0，表明曲线上至少有一点的切线斜率为0，从而切线平行于割线ab，与x轴平行。

泰勒公式展开的应用专题：我以前，以及我所有的同学，看到泰勒公式就哆嗦，因为咋一看很长很恐怖，瞬间大脑空白，身体失重的感觉。其实在我搞明白一下几点后，原来的症状就没有了。第一：什么情况下要进行泰勒

第9篇：考研数学高数里要牢记的八大知识点

重点考查极限的计算、已知极限确定原式中的未知参数、函数连续*的讨论、间断点类型的判断、无穷小阶的比较、讨论连续函数在给定区间上零点的个数、确定方程在给定区间上有无实根。

重点考查导数与微分的定义、函数导数与微分的计算(包括隐函数求导)、利用洛比达法则求不定式极限、函数极值与最值、方程根的个数、函数不等式的*、与中值定理相关的*、在物理和经济等方面的实际应用、曲线渐近线的求法。

重点考查不定积分的计算、定积分的计算、广义积分的计算及判敛、变上限函数的求导和极限、利用积分中值定理和积分*质的*、定积分的几何应用和物理应用。

4.向量代数与空间解析几何(数一)

主要考查向量的运算、平面方程和直线方程及其求法、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等))解决有关问题等，该部分一般不单独考查，主要作为曲线积分和曲面积分的基础。

重点考查多元函数极限存在、连续*、偏导数存在、可微分及偏导连续等问题、多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数求法、有条件极值和无条件极值。另外，数一还要求掌握方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。

第10篇：考研数学高数部分的复习方法及重点

高等数学是考研数学中占比和难度都比较大的一部分，考生一定要把握好。小编为大家精心准备了考研数学高数部分的复习秘诀和考点，欢迎大家前来阅读。

高数的基础应该着重放在极限、导数、不定积分这三方面，后面当然还有定积分、一元微积分的应用，还有中值定理、多元函数、微分、线面积分等等内容。此外，数学要考的另一部分是简单的分析综合能力和解应用题的能力。近几年，高数中的一些考题很少有单纯考一个知识点的，一般都是多个知识点的综合。解应用题要求的知识面比较广，包括数学的知识比较要扎实，还有几何、物理、化学、力学等等这些好多知识。当然它主要考的就是数学在几何中的应用，在力学中的应用，在物理中的吸引力、电力做功等等这些方面。数学要考的第四个方面就是运算的熟练程度，换句话说就是解题的速度。如果能够围绕着这几个方面进行有针对*地复习，考研取得高分就不会是难事了。

那么，同学们在具体的复习过程中要怎么做呢?新东方在线在此给2017级的考生们提供以下复习技巧：

数学复习是要保*熟练度的，平时应该多训练，应该一抓到底，经常练习，一天至少保*三个小时。把一些基本概念、定理、公式复习好，牢牢地记住。同时数学还是一种基本技能的训练，像骑自行车一样。尽管你原来骑得非常好，但是长时间不骑，再骑总有点不习惯。所以考生们经常练习是很重