解析几何第四章习题附解答

二次曲线和二次曲面 习题4.1 1.在直角坐标系中，以直线为新坐标系的轴，取通过且垂直于的直线为轴，写出点的坐标变换公式， 并且求直线在新坐标系中的方程。 解：直线的方向是，与它垂直的方向是，新坐标系的轴的坐标向量取为，轴坐标向量取为，与直线垂直且的直线方程可设为，由于过点，得到直线方程是，两直线的交点是新坐标原点，所以点的坐标变换公式： 直线在新坐标系中的方程： ， 化简有 2.作直角坐标变换，已知点的新坐标分别为，求点的坐标变换公式。 解：设同定向的点的坐标变换公式是： 它的向量的坐标变换公式是： 由题意知向量变为，于是有 得到于是点的坐标变换公式是： 将点及它的像点代入得到所以点的坐标变换公式是： 设反定向的点的坐标变换公式是： 它的向量的坐标变换公式是： 由题意知向量变为，于是有 得到于是点的坐标变换公式是： 将点及它的像点代入得到所以点的坐标变换公式是： 3.设新旧坐标系都是右手直角坐标系，点的坐标变换公式为 其中，与分别表示同一点的旧坐标与新坐标，求新坐标系的原点的旧坐标，并且求坐标轴旋转的角。 解：（1）新坐标系的原点的旧坐标为代入公式中计算的结果，即。由点的坐标变换公式知道是同定向的，于是转角满足由于，所以 （2）与上一问题同理，新坐标系的原点的旧坐标为。转角满足由于，所以 4.在右手直角坐标系中，设两直线互相垂直，取为右手直角坐标系的轴，轴，试求到的点的坐标变换公式。 解：由于两直线互相垂直，且为右手直角坐标系的轴，轴，即在右手直角坐标系下的方程为，所以当时，到的点的坐标变换公式： 当时，到的点的坐标变换公式： 5.设为四面体，依次是的三边的中点，取，。 （1）求到点的坐标变换公式和向量的坐标变换公式，再到求点（向量）的坐标变换公式。 （2）求的坐标。 解：（1）依题意有所以到点的过渡矩阵是，到点的坐标变换公式到点的向量的坐标变换公式其中分别是向量在仿射坐标系和下的坐标。 由以上关系得到 所以到点的过渡矩阵是，到点的坐标变换公式 向量的坐标变换公式一样。 （2）的坐标分别是 ， 由到点和向量的坐标变换公式得到的坐标分别是 。 6. 在右手直角坐标系中，已给三个互相垂直的平面。确定新的坐标系，使得分别为坐标面，且在新坐标系的第一卦限内，求到的点的坐标变换公式。 解：由于三个平面分别为坐标面，所以坐标之间的关系可设为 ， 又在新坐标系的第一卦限内，所以在新坐标系的三个坐标都为正，于是 ， 故到的点的坐标变换公式 7. 在右手直角坐标系中，方程 表示什么曲面？ 解：将方程进行配方， ，由于平面两两垂直，所以将它们分别作为新坐标系的坐标平面，于是作坐标变换： 将它们代入方程得到因此该方程表示双曲抛物面。 8.已知，将绕右旋角度得，试用,,表示。 解：如下图由于是单位向量，且所以绕右旋角度得到，三向量， ，共面且有相同的模长，于是可表示为与的线性组合，即，分别与，作内积，得到，故 9.将右手直角坐标系绕方向右旋，原点不动，得坐标系，求到的点的坐标变换公式。 解：先考虑一个向量绕另一个向量右旋得到的向量的表达式， 过的终点作垂直于的向量，绕右旋得到的向量，的终点就是的终点，于是而，，所以 由此表达式绕方向右旋得到 ， 所以坐标变换为 。 设与是两条不垂直的异面直线，分别通过和作两个互相垂直的平面，证明交线的轨迹是单叶双曲面。 解：设异面直线的距离为，夹角为，建直角坐标系使得公垂线为轴，公垂线段的中点为坐标原点，两异面直线在坐标面上的投影的两角平分线为坐标轴，则两直线的方程可表示为 通过和的平面束方程分别为： 要使得两平面垂直，则有 即于是相交直线的轨迹满足因而 所以交线的轨迹是单叶双曲面。 习题4.3 1.利用不变量求下列曲面的简化方程： （1） （2） （3） （4） （5） 解：（1）二次曲面的矩阵： 计算不变量 特征方程是即 特征根为 于是，简化方程为即 （2）二次曲面的矩阵： 计算不变量 特征方程是即 特征根为 于是，简化方程为 （3）二次曲面的矩阵： 计算不变量 特征方程是即 特征根为 于是，简化方程为 （4）二次曲面的矩阵： 计算不变量 特征方程是 特征根为 于是，简化方程为 （5）二次曲面的矩阵： 计算不变量 特征方程是即 特征根为 于是，简化方程为即 2.证明：二次曲面为圆柱面的条件为。 证明：用不变量表示的圆柱面的简化方程是 ，于是特征方程有两个相同的根，即有两个相同的根，因而 3.求之值，使二次曲面 表示二次锥面。 解：二次锥面的不变量所以 4.求出曲面方程 的简化方程。 解：设平面： 两平面的法向量为如果两平面重合，则简化方程为 ，其中 如果两平面平行不重合，则共线，令 于是所以简化方程为 如果两平面不平行，则以它们的角平分面为新坐标面建立新坐标系，单位法向量记为，因而角平分面的方程为 它们的