何新：“逻辑斯蒂”与数理哲学
何新：“逻辑斯蒂”与数理哲学
哲学思考(套装上下卷)
作者: 何新
出版社: 时事出版社
出版年: 2010年01月
页数: 575 页
定价: 76.00元
装帧: 平装
1.新黑格尔主义不懂黑格尔
记者：尽管黑格尔在哲学史上被认为是一位大哲学家，但似乎人们并不承认他是一位真正意义的逻辑学家。我读过罗素的《西方哲学史》，他对黑格尔的哲学，特别是逻辑学评价很低。在国外目前出版的逻辑史著作中，也没有黑格尔逻辑学的一席地位。
何新：确实如此。但那是因为罗素根本没有读懂黑格尔。不但他不懂，他的那些弟子也不懂。他不但未读懂黑格尔，也没有真正读懂康德。
罗素是通过布拉德雷的新黑格尔主义了解黑格尔的。布拉德雷的名著是《现象与实在》（Appearance and Reality）。我读过他这本书。我的印象是，此人既不了解“现象”，也不了解“实在”，更不真懂黑格尔。（据说黑格尔晚年讲过这样一句话：“在我所有的门徒中，只有一个人可能理解了我。而他的理解也是错误的。”）
大陆理性主义哲学与英国的经验主义哲学出自两个非常不同的传统。在康德和黑格尔时代就是对立和互相排斥的。
而罗素这位英格兰贵族，（“他的家系在Burke 的《贵族名册》中有着比较详细的记载，其族谱中找不出一个平头百姓。”（艾伦·伍德《罗素传》，1963）。）头脑中充满了盎格鲁撒克逊民族的自我优越感和傲慢的偏见。
记者：难道您认为罗素，维特根斯坦，卡尔纳普，胡塞尔这些西方现代哲学家也并不理解黑格尔吗？
何新：是的，我认为他们不理解。他们并没有真正读懂黑格尔的著作。
2.关于因果律的佯谬
记者：您能否提出一个具体的例子，证明这一点？
何新：关于罗素在哲学上的浅薄，我们可以用他对于“因果性”规律的解说作一个实例。
关于因果性的虚拟性问题，即对于因果关系是否具有客观真理的意义这个问题，最早是休谟（D·Hume，）提出的。休谟说：“因果之被人发现不是凭借于理性，乃是凭借于经验。”（休谟《人类理解研究》，第30页，商务印书馆，1974年。）
休谟提出这一问题的目的，是要求认识论对因果规律性的普遍、必然性提供一种逻辑基础。“我们要问，由经验得出的一切结论其基础何在？”（休谟《人类理解研究》，第32页，商务印书馆，1974年。）这个问题后来在康德和黑格尔的哲学中，实际上已经给予了解答。
罗素在他的逻辑哲学著作中也多次谈到因果律的虚拟性问题。但是，他对整个西方哲学史的理解是非常表面性的，非常庸俗的。他并没有真正理解休谟的问题，更没有理解康德、黑格尔对问题的解答。他只是用一种很庸俗的论法肤浅地复述所谓归纳法的“佯谬”。
记者：什么是“归纳”佯谬？
何新：休谟说：“在人心的种种思想或观念之间，有一种联系的原则”（何新按：这种使观念“联系的原则”实际就是逻辑）。“这种联系的原则有三种：（1）相似性（Resem Blance），（2）时空的排列（Comtiguity in Time or Place），（3）因果关系（Cause or Effect）。”
休谟认为，其中的因果关系是最难理解的，因为“每个结果都是和它的原因不一样的事情。因此结果不能在原因中发现出来。因此，人们所想象的结果一定是完全任意的。”（休谟《人类理解研究》，商务版第30页。）对此，罗素鹦鹉学舌似地说：
“如果说B‘必然’跟随着A，那么这只是表示，依照某种普遍的准则（这一准则已被大量的观察所证实，并且没有在任何情况下被证明是假的），B类事件是紧跟A类事件出现的。如果说原因强迫结果出现，那么，这个说法正如同人们反过来说结果强制原因出现一样，会导致同样的谬误。”
据此罗素认为：归纳法无法证明因果律的必然性。他援用一个极庸俗的例子对此加以说明。他说：圈养的鹅每天看到饲养员来，都是对它喂食。因此它们可以用归纳法得出以下的因果论：凡饲养员来/鹅即得食。但这两个事件是没有必然性的。因为有一天，饲养员带来的可能不是饲料，而是杀鹅的刀。
对于因果律的这种理解是极其肤浅的。罗素讲的这两个事件的关系，并不是真正的因果联系。人类对于因果性的确知，既不是建立在经验的归纳法上，也不是建立在对于所谓“B事件紧跟A事件”这一先后关系的观察上，而是建立在实践上的。
3.因果规律与人类实践
记者：对西方哲学史，我不是很熟。请您讲得具体一点。
何新：一般来说，从洛克、休谟到罗素的英国经验主义者，他们都喜欢侈谈“经验”这个概念。但他们所理解的“经验”，仅仅局限在感性知觉的经验上，他们似乎没有意识到实践也是经验的一个重要基础。实际上，因果关系并不是来自心理印象和观念的主观联结（休谟的说法），而是来自人类的实践。
真正的因果性并非分裂的两个孤立现象或事件。真正的因果性是一个连续的过程。比如，人们说鸡蛋是产生雏鸡的原因。看起来蛋与鸡似乎是两个事件，但实际上，蛋孵化为鸡，乃是同一个完整的过程，是一个事件。
农民春天种下西瓜种子，他深信这个“原因”在夏天将结出西瓜的果实。这一信念既是基于他对“种瓜得瓜”这一因果关系的确知，也是由于这一因果关系的可操作性——这种因果性可以在实践中得到现实的、直接的验证，因为种瓜真的得瓜，而不是得豆。这就是实践的因果性。
所以，西瓜籽是新的西瓜的原因这一因果性，并不是“佯谬”，而是客观真理。以康德的理论形式来表述这个命题，我们可以说“西瓜”这一结果已作为“先验综合命题”而存在于“西瓜种籽”这个概念之中了。
这个过程可以不断地、无限地重复，这就是这一因果关系的普遍性。而导致这个过程发生的机制，则是由于西瓜种子细胞质内涵有西瓜的遗传基因。这种内在的基因密码，就是发生这一因果关系的必然性。
所以，“普遍性”与“必然性”也并不是人类理性的虚构（休谟的说法），而是确定的，并且可以实践地把握的真实（真理）。
罗素搞不懂这一点。他承继着休谟所提出的因果关系的归纳佯谬，连篇累牍地写了许多关于其如何不可证明的废话，充分表现出其哲学的浅薄。
4.西方运用诺贝尔奖建树意识形态偶像
记者：然而许多人膜拜罗素是现代哲学的大师!他是否也得过诺贝尔奖？
何新：什么大师？虚拟大师。
20世纪初罗素来过中国。当时胡适、张东荪等西化派自由主义者奉他如圣人，而鲁迅却对他表示蔑视。鲁迅是对的！
罗素一类所谓大师（不仅仅是罗素）的光环，是英国文化殖民主义有意培植塑造的一种对西方意识形态崇拜和迷信的产物。西方主流文化需要向世界，特别是向非西方世界推广、推销这种崇拜和迷信。西方需要非西方崇拜他们的精神和文化偶像，需要建树西方文化对非西方文化的优越感。这不仅是一种商业性推销，而且也是一种文化斗争，是从属于由西方来主导全球化进程，以征服和主宰全世界的全球战略斗争的这一总目标的。自19世纪以来，这一斗争已经进行了100多年，恐怕还会再进行100多年。
意识形态总是社会变革的先行者。21世纪世界所面临的最大变局就是全球化运动。为了由西方来主导这一运动，西方不仅将全面利用其长期积累的资本优势、科技和工业的优势，而且也会充分地利用其意识形态——文化和价值的优势，包括由西方主导和操纵的诺贝尔奖以及其他种种文化奖，目标都是塑造从属于西方主流价值的偶像崇拜。
在这种意义上，什么罗素、萨缪尔森之类的伪大师，什么诺贝尔奖以及其他什么金狗、金猫、金熊奖之类，都不过是西方主流文化用以塑造虚拟偶像的精神工具而已！他们要用罗素、诺贝尔一类的偶像，来置换中国人自己的例如毛泽东、马克思、列宁、孔子、鲁迅这样的偶像。
中国人不知道从什么时开始，在文化上竟然接受了要由西方人主宰文化评价和授奖。甚至以这种奖赏为荣，认为得到这种奖赏就是走向了世界，否则就是没有走向世界。这是典型的殖民地半殖民地人们的文化自卑心态。
但是，我记得列宁《哲学笔记》中有这样一句话：
“伟人们之所以伟大，是因为我们自己在跪着。站起来吧！”
——让我们站起来吧。
5.罗素与逻辑斯蒂
记者：罗素毕竟是一位数学家、逻辑学家。
何新：罗素与怀特海合作写过一部《数学原理》（Principle Mathematica）。而这部《数学原理》在数学史上或逻辑史上究竟有什么意义呢？（《罗素传》的作者A·Wood说：很少有人读过《数学原理》一书，Schrdinger 说，他相信罗素和怀特海本人也不曾读过此书。）实际只是一个自相矛盾的空壳而已。
记者：这样讲是否过于刻薄？
何新：罗素写此书目的之一据说是为了解决悖论问题，解决数学逻辑基础中的矛盾问题。但是他究竟是否解决了？根本没有。
美国著名数学史家M·克莱因指出：“当罗素在20世纪初开始写《数学原理》时，他曾以为逻辑公理都是真的。但在《数学原理》1937年的版本中，他放弃了这个看法。”（M·克莱因著《古今数学思想》第卷，第306页）而最终哥德尔以所谓“不完备性定理”告诉人们，对数学及逻辑基础实现无矛盾的公理化这个问题，根本是没有解的，也是不可能解的。
因此罗素的这部“数学原理”不过是逻辑史上一个永远不能转动的“永动机”而已。
在《数学原理》中，罗素用去347页英文的篇幅论证什么是数字“1”，把“1”定义为 ｛x·a=i x｝。对此，法国著名数学家彭加勒（Poincaré）的评论是：“对于从来未听说过什么是数字1的人来说，这肯定是一个令人赞叹的定义。”
Poincaré还嘲笑罗素的“逻辑斯蒂”（又译“逻辑主义”）说：“逻辑斯蒂的理论并不是什么也不长的不毛之地，它只生长‘矛盾'。”（M·克莱因著《古今数学思想》第4卷，第307页）
你知道罗素如何为“数学”这门科学下定义吗？
记者：不太清楚。
何新：他讲了一个足以流传千古的名言。他说：“数学就是这样一门科学：在其中我们永远不知道我们所讲的是什么，也永远不会知道我们所讲的是不是真的。”（M·克莱因著《古今数学思想》第4卷，第307页）
实际上，这句话用来描述“数学”并不合适，但若用来描述他自己的《数学原理》，是再恰当不过了。
在逻辑学和数学的基础理论方面，罗素根本没有提供任何真正有意义的东西。
连《罗素传》的作者也承认：
“罗素在《数学原理》一书里最后所采取的解决方法是诉诸一种逻辑类型理论，这种理论极为专门，并且很有争议。很少有人读过《数学原理》一书，有一次施罗丁格（Cchrdinger）对我说，他相信罗素和怀特海他们本人也不曾读过此书。”
我研究过罗素的一些著作。我认为他那一套“逻辑斯蒂”，堪称现代经院哲学、“繁琐哲学”的标本。
记者：那么您认为罗素的《数学原理》完全是没有意义的东西？
何新：这并不是我个人的看法。让我再引用一位著名数学史家对此书的评论吧。M·克莱因说：
“Russell和Whitehead的体系一直是未完成的，并且在很多细节上是不清楚的。把数学奠基在逻辑上的企图，遭到Poincaré的刻薄嘲笑。Poincaré认为Russell的努力只是将数字化为无限的同义反复。”
罗素一生并没有统一的哲学观点。“在他长期的哲学事业中，罗素的立场发生了多次变化。”（梯利/P·Thilly）（《西方哲学史》，梯利著，商务印书馆出版，第481页。“假如罗素是在跟一位主教谈话，他会说：‘我是个无神论者'。然而他也能轻松地这样说：‘我信奉任何宗教信条'。”（Gilbert Murray））罗素哲学的最终结论是哲学上的“不可知论”。“罗素希望除了逻辑原则之外摒弃一切先验的知识原则，并且否定除了经验的知识外我们还有任何知识。由此（再加上维特根斯坦的《逻辑哲学论》）产生了逻辑实证论（Logical Positivist doctrine）。”（引自《罗素传》，艾伦·伍德著，中译本第350页。）
彭加勒（Poincaré ）在《科学与方法》（见Foundations of Science，480）中说：“对逻辑主义必须加以修正，但在修正之后，人们一点也不知道还会有什么东西可以保留下来。”
6.罗素哲学十分浅薄
记者：那么关于数理逻辑呢，您如何评论？
何新：20世纪以来，逻辑学中的最大偏见就是认为数学就是逻辑，而逻辑也就是数学哲学。19世纪40年代，G·布尔创建了逻辑代数系统，稍后，德国数学家、逻辑学家弗雷格发展了命题演算，引进了量词和约束变元，又几乎完备地发展了谓词演算。并且从逻辑出发定义了自然数，推出一系列算术定理。
自布尔和弗雷格以来，现代逻辑发展的主流是沿着数学及其应用的方向前进的。数理哲学处在逻辑舞台的中心位置。
1931年，K·哥德尔证明了不完全性定理。1933年，A·塔斯基《形式语言中的真理概念》一文，定义了句子的真和假，建立了逻辑语义学；1937年，A·M·图灵建立了图灵机的形式理论。近年来，由于电子计算机的兴起，包括算法理论、递归函数、λ-换位演算、可计算性和一般能行过程在内的逻辑学的“算术部分”，被看成是高于其他部分的发展中的主流。
然而近二十年来可以看到逻辑学的各种非规范的理论分支正在蓬勃地、加速地增长，预示着逻辑学和数学正在发生分化。
在亚里士多德的古典体系中，逻辑学与语法学在许多方面是混合而一的。主体(人类逻辑)与客体的逻辑，也就是康德所谓后验逻辑与先验逻辑，也是合而为一的。而关于数学思维的逻辑，即纯粹符号逻辑(无意义符号)与概念(有意义符号)思维的逻辑，也是混合为一的。
数理逻辑区分了它们之间的关系。并且建立了关于无意义句法的纯粹符号逻辑。但是在基础逻辑问题上，在认识论问题上，现代逻辑学与康德、黑格尔时代相比，非但没有取得进步，反而是大大地后退了。
后来维也纳学派的所谓分析哲学（维特根斯坦、卡尔纳普），试图以语言分析消解本体论和认识论的分析，使古典哲学的分析失去意义。但这正是现代哲学的浅薄所在。这些问题都照样存在，它们是消解不了的。
逻辑实证主义在本质上也是一种不可知论。
记者：为什么你认为逻辑实证论是一种不可知论？
何新：这种学说认为，人们只能知道可以观察到的事实，除此之外一无所知。所以对传统哲学所作的抽象讨论乃是毫无意义的。
罗素说：“当我说看见一只猫时，很可能有一只猫。但我们在逻辑上不能超越‘很可能'，因为我们知道有时说人们看见猫时，猫却不在那里，比如在梦中。”（罗素《对意义和真理的探索》）罗素书中充满这种自以为聪明的废话。
由此出发，逻辑实证论彻底否定全部哲学存在的意义。罗素说：
“我不得不痛苦地认为，被称作是哲学的那些东西，其十分之九乃是欺人之谈。唯一确实的部分就是逻辑学。但由于它是逻辑学，所以也就不是哲学。”
实际上，罗素从来没有透彻理解一些哲学基本问题发生的根源。他是一个典型的骄矜自得而见解却十分浅薄的英国爵士。
我读过西方人写作的许多种《西方哲学史》，我认为内容最浅薄而庸俗的就是罗素写的那本。
7.现代数学哲学中的不可知论
记者：那么罗素的数理逻辑与传统逻辑是否存在某种连续性的关系？
何新：并不存在。罗素的《数学原理》是一部形式主义的数学著作，他试图以逻辑的抽象形式重新定义算术。而这一努力是失败的。他与怀特海所建立的新符号逻辑，可以说与传统逻辑，即亚里士多德逻辑基本上没有任何承继性的关系或联系。
而在认识论和本体论的意义上，罗素所谓“反形而上学”的不可知论，也不过是重步康德“人类理性批判”的后尘。只是与康德相比，罗素贫乏的哲学要浅薄得多。
记者：都是不可知论，难道也有深刻与浅薄之分吗？
何新：当然。一个傻瓜说我认为世界不可知，与康德所说的不可知，肯定涵义不同。
康德所提出和试图回答的问题是：人类对世界进行认知何以是可能的?并且在何等限度下是不可能的?康德认为，人类理性的工具和方法是逻辑。但是在先验的逻辑形式中，蕴涵着发生逻辑矛盾从而导致无意义、无结果思辩和争辩(即辩证矛盾)的必然性。
我们之所以说康德的这一结论是深刻的，是因为这一结论在20世纪，实际上以哥德尔“不完备性定理”的形式，在数理哲学基础中被现代数理逻辑所重新确认。
8.关于哥德尔定理
记者：什么是哥德尔“不完备性定理”？
何新：数学逻辑学家哥德尔（K-Gdel，）在1931年证明：
“包含着通常逻辑和数论的一个系统的无矛盾性是不可能确立的，如果人们只限于运用在数论系统中可以形式表出的概念和方法，实际这就是说，数论的相容性用元数学所容许的狭义逻辑是不可能确立的。”
［Gdel的不完备性定理（incompleteness theorem）所表述的是，如果一个足以容纳数论的形式理论T是无矛盾的，并且算术的形式系统的公理都是T的公理或定理，那末T就是不完备的。这就是说，有这样一个数论的语句S，使S和非S都不是这个理论的一个定理。因为S或非S总有一个是真的；于是就有了一个数论的语句，它是真的又是不可证明的，这个结果适用于Russell-Whitehead 系统，Zermelo-Fraenkel系统，以及Hilbert的数论公理化。］（引自M·克莱因《古今数学思想》第4卷，第320页）
哥德尔定理从根基上推翻了罗素的《数学原理》试图以逻辑斯蒂构建数学公理系统的意义。
对于哥德尔的这一定理，数学家魏尔（Weyl）曾讲过一句十分幽默的话：
“上帝告诉我们数学是不容矛盾的。但魔鬼告诉我们这种不矛盾性是不能被证明的。”（1944）
现代数学哲学的这种理解，与康德的哲学的不可知论，可以说是惊人相似。
9.先验的抽象时空并不存在
记者：但是康德哲学主要是一种认识论。
何新：它也是方法论。康德认为，除了依靠被直观世界(感性知觉)所决定的经验方法外，人类无法依靠理性的工具认知世界。特别是人类无法面对和洞察不可见的世界例如未来世界，三维以外的多维世界。
记者：但是，康德认为存在着先验的绝对时空形式。
何新：关于这一点，许多人误解了康德（包括罗素）。康德所谓先验时空形式，指的是一种心理的存在，主体意识的存在，而不是客观的存在。在康德看来，人类对外界的感知，是通过内在于人性的时空抽象而实现的。
康德说：我的工作是检测人类的认识工具。他认为，这种工具在结构上存在问题。就是一离开感性的手段，以纯理性作演绎推论，就会生成出自相矛盾的理论。这就是康德哲学著名的“人类理性佯谬”。
康德认为，对于这些相互矛盾的理论，理性既无法证明它的真，也无法证明它的伪。因此，谨慎的办法是，都不要相信它们。
所以康德说：我们应当牢牢守住感性知觉的经验范围，不要让思维和理性越出这个可以被检测的范围。否则，我们会陷入无边无际的矛盾和争论，永远找不到真理。这就是康德“不可知论”的真实涵义。
20世纪的数学哲学和科学哲学，以及所谓“逻辑实证法”，在这一点上并没有比康德知道得更多。
记者：数学一向被认为是具有精确性和必然性的科学。为什么数学哲学也会陷入不可知论？
何新：在现代数学中，牛顿的绝对时空概念已被推翻。非欧几何的建立导致对数学认识论--直观反映论的冲击。数学哲学家认为：
“那些在真实世界里没有直接对应物的数理概念被引进并逐步被接受，迫使人们承认数学是一种人为的并且多少带有任意性的创造物，而不仅仅是从自然界里引导出来的本质上是真实事物的一种抽象。”（引自M ·克莱因《古今数学思想》第4卷）
随着这种认识的深化，带来了意义更加深远的发现——数学并不是关于自然的映现式真理。特别是20世纪初集合论悖论的发现，导致了所谓“第三次数学危机”。
10.数学史上的三次危机
记者：什么是“数学危机”？
何新：数学史上发生过三次关于理论和方法的危机。都是由于在数学的基础概念中出现了矛盾。
第一次是在希腊时代，毕达哥拉斯学派发现了“无理数”，所谓“无理数”，在希腊时代叫“Alogon”，即荒谬之数，不可理解之数。它引起了数理概念的第一次定义危机。（据说发现无理数的人由于这一发现而被丢进大海里。）
第二次是在17世纪，由于微积分的发明而发现了关于无穷小概念（动态）与其极限概念“零”的关系的矛盾，而发生了概念危机。
第三次是19世纪末20世纪初发生了集合论的悖论，引发了关于数学逻辑基础可靠性的问题。这种悖论最简略的表述形式之一是，在涉及无限的集合时，整体与部分一样多。例如，自然数集合（1，2，3，4，……）它包含了偶数集合（2，4，……）与奇数集合（1，3，……）。但是事实上有多少自然数就有多少偶数，同时也有多少奇数。整体与部分同样多（伽利略悖论/Burall-Forti悖论）。有一位美国数学家（T·Damtzig）说：
“一部分可能有全体之势，这句话与其说像数学，还不如说像神学。”（《数：科学的语言》，丹齐克，第178页）
这犹如说父亲与儿子年龄一样大。这是一个荒谬的矛盾，导致集合论的逻辑基础成为问题。
创建集合论的Cantor在1899年给Dedekind的一封信中曾指出，人们要想不陷于矛盾的话，就不能谈论由一切集合所成的集合。而这也就是后来的Russell的悖论的内容（《数学原理》（The Principles of Mathematics），1903，P.101）。（还有诸如以下一些问题：由一切人组成的类并不是一个人。但由一切概念组成的类自身也是一个概念。由一切图书馆组成的类是一个图书馆的概念。由一切基数大于1的集合组成的类也是这样一个集合。因此，有一些类不是它们自己的元素，而有一些则是它们自己的元素。这个对于类的描述，包括了一切类，并且这两种类集是互相排斥的等等，都是悖论。）
数学史家M·克莱因描述第三次数学危机的发生过程指出：
“二十世纪数学中最为深入的活动，是关于数学逻辑基础的探讨。在这个世纪的前期，首先是矛盾的发现，委婉地被称为悖论，在集合论中尤为突出。这些矛盾的发现显然深深地扰乱了数学家，另外一个逐渐被认识到并在本世纪初显露出来的，是数学的相容性（consistency）问题。
在十九世纪后期，有一些人已经开始重新考虑数学的基础，特别是数学对逻辑的关系。在1900年以前已经冒了烟的争论，经悖论和相容性问题加上燃料，就爆发成大火。结果，全部数学的逻辑基础，就成为极其严重和被普遍关心的问题。”（《古今数学思想》，第4卷，第289页）
此即第三次数学危机，也是数学史上最严重的一次危机。
这一危机不仅震撼了数学体系的真理基础，而且震撼了传统逻辑关于思维不矛盾的基本信念。这个问题至今并未解决。
记者：您所谈到的数学危机令我震憾。在人们的心目中，数学是一切科学的基础，是逻辑严密而且具有精确性的唯一严密科学。
何新：真正的精确性也许只有在初等数学中才能得到。即1+1=2 。但实际上，就连这个等式也并非绝对无可争议。例如把两桶水注入到一个大桶中，在抽象的意义，结果就是1+1=1 。
记者：有人会说，前面两个“1”与后面的“1”在质上不同。
何新：然而“1”的本质是什么呢？它不仅是数量的基本单位，有时也是一种“质”。我可以再举一个例子来说明。
以一个不知大小的数进行运算，可以得到确定的结果。如：
X=？ X/X=1 根号2=？ 根号2/根号2=1
我们不必知道“X”是什么数，“2”的数值是无理数，也是没有确定值的。但我们以之作相除运算的结果却可以很确定，结果就是“1”。为什么？
在这里，1并不是一个“数”，而是指示一种关系，即某物或某量，无论其多么大或多么小，其与自身的比例总是同等大小，这是一种“质”的相同。这种关系就是“1”。这样考虑的“1”，实际已推翻了罗素、怀特海在《数学原理》中对于“1”的定义。
12.数理哲学
记者：也就是说，现代数学的一些主要分支，已经发展得高度抽象，而远离了实际的运算阶段。
何新：数学发展已经过三大阶段：
（1）算术和初等几何（具体的形量关系）阶段。
（2）代数（抽象数量关系）和抽象几何的阶段。所谓计算的精密和精确性，应当被认为是初等数学阶段的事。代数学已经是与含义无关的一种逻辑抽象。因为：“显然我们可以用我们愿意用的任何符号，并按我们选定的任何法则去处理它们”。怀特海（Whitehead）指出，符号的这种任意处理可以是随便的，而只有那些能被赋予某种意义的或具有某种应用的解释才是重要的。
（3）在19世纪末20世纪以来的现代数学阶段，数学已经发展为数理哲学，已成为一种涉及抽象概念之间的逻辑关系的逻辑哲学，成为一种符号模型系统，远远离异于所谓计算以及精密性了。
M·克莱因指出：
“大约到1850年以后，人们接受了这样一种观点，即数学能够引进并研究一些相当任意的概念和理论，或者像四元数那样，它们没有直接的物理解释，但却是有用的；或者像n维几何那样，它们满足一种普遍性的要求。”
“Cantor为了捍卫他所创造的超限数，说它是一种存在的、真正确定的量时，主张数学和其他领域的区别在于它自由地创造自已的概念，而无需顾及是否实际存在。1883年他说：‘数学在它自身的发展中完全是自由的，对它的概念的限制只在于：必须是无矛盾的并且和先前由确切定义引进的要领相协调。数学的本质就在于它的自由。’”
“Whitehead 在他的《一般代数》中说：代数变换法则的合法性是不依赖于算术的。如果有依赖的话，那么显然可见，代数表达式一旦在算术上不可理解，则关于它们的所有法则就必定失去合法性。代数法则虽是由算术提供的，但却不依赖于它。代数法则完全依靠约定，用以表达某些把符号分组的模式必须被认为是等同的。这就给形成代数符号的记号指定了一定的性质。”
“那种在真实世界里没有直接对应物的概念之被引进并逐步被接受，确实迫使人们承认数学是一种人为的并且多少带有任意性的创造物，而不仅仅是从自然界里引导出来的本质上是真实事物的一种理想化。但是随着这种认识的深化，带来了更加意义深远的发现——数学并不是关于自然的一堆真理。”（《古今数学思想》，M·克莱因著，第4卷，第280 页）
13.数学崇拜没有根据
记者：但是，人们通常仍然持有一种观点，认为数学是科学中最严密最成熟的体系。
何新：对此可以称此为“数学崇拜”。但是，研究过数学史的人，会知道这种崇拜是没有多少根据的。
至少近2500年来，数学是人类智力训练和精神遗产的一个有机组成部分。然而在这漫长的年代中，关于数学的本质始终众说纷纭，对数学至今并无一个公认的定义。
在古希腊，毕达哥拉斯学派和柏拉图都注意到，演绎推理所得的结果跟观察的结果或归纳推理所得的结果往往符合。他们无法用别的方法去说明这种符合，于是就认为，数学乃是对于自然界和宇宙中内在的终极、永恒的实在的研究，而并非逻辑的一个分支或科学、技术的一种工具。他们认为对数学原理的认识，必定先于任何对经验的确切解释。毕达哥拉斯有一个名言：万物皆数。还有据传为柏拉图的箴言：上帝常以几何学家自居。
流行于中世纪的经院派观点认为宇宙是“井然有序”而易于理解的。在文艺复兴时代，随着柏拉图观点的再度风靡，促成了下述信念的复活：数学是以某种方式独立于且先于经验的直观的知识。这种观念表现在库萨的尼古拉、开普勒和伽利略的思想中，在某种程度上也表现在达·芬奇、莱布尼兹、康德的思想中。
14.现代数学成为虚拟的逻辑系统
记者：就是说，数学运算的结果似乎是先验性的，而非经验性的。
何新：18世纪在科学和数学问题中应用了微积分所取得的辉煌的成功，使人们把注意力首先放在运算，而不放在研究数学的基础上。但到19世纪，人们力图为新的无限小分析中的有关概念寻找一个令人满意的基础。
这种努力，带来了一种批判的态度。数学的严格性被提上了日程；人们发现，欧几里得的公设并非如康德所主张的那样是绝对的综合判断，而只不过是一些假设。这种作为推理根据的前提，可以随心所欲地自由选取——唯一的要求是它们彼此之间相协调——哪怕它们与感觉上显而易见的事实相矛盾。
在20世纪的数理哲学中，认为数学是量的科学或者空间与数的科学的这种旧观念，在很大程度上销声匿迹了。（但在中国学术界，这种陈旧观念仍很流行。）人们意识到，朴素的空间直观会导致矛盾。
否定牛顿的绝对时空观，也就否定了康德关于时空的所谓“内在直观公设”。正是由于对数学公理基础无矛盾性所作的全面逻辑和哲学审视，导致了20世纪初所说“第三次数学危机”。罗素在出版《数学原理》第一卷时信心勃勃，而在《数学原理》的后续一版中（1937），则陷入怀疑论，认为数学是“我们既不知道自己在讲些什么，也不知道讲得对不对的一门科学”。
而在这种意义上，数学就成为一个虚拟的概念系统。著名数学家魏尔（Weyl）对数学的现状作了这样的描述：
“关于数学最终基础和最终意义的问题还是没有解决；我们不知道向哪里去找它的最后解答，或者根本就不能期望会有一个最后的客观回答。‘数学化'（Mathematizing）很可能完全出自人的一种自由创造性活动，就像语言或音乐一样，具有原始的独创性，它的历史性绝不容许完全的客观的有理化。’”（转引自《古今数学思想》第4卷第324页。这也是克莱因此书的最终结语。）
因此，到19世纪末盛行的看法是：“数学里的一切公理都是任意的。公理只不过是导出结论的推理的基础。既然公理不再是关于包含在它里面的概念的真理，于是也就不用去管这些概念的物理意义了。当公理和实在之间产生某种联系的时候，这种物理意义至多只能是发现（真理）的向导。即使是从物理世界抽象出来的概念也是这样。”
“到1900年，数学已经从实在性中分裂出来了；它已经明显地而且无可挽回地失去了它对自然界真理的所有权，因而变成了一些没有意义的东西的任意公理的必然推论的随从了。”（《古今数学思想》，M·克莱因著）
【注：本文选自何新《哲学思考》，时事出版社，2010年】
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