二次函数教案　　作为一位不辞辛劳的人民教师，编写教案是必不可少的，教案是实施教学的主要依据，有着至关重要的作用。那要怎么写好教案呢？以下是小编为大家收集的二次函数教案，希望对大家有所帮助。二次函数教案1　　课题 二次函数y=ax2的图象（一）　　一、教学目的　　1．使学生初步理解二次函数的概念。　　2．使学生会用描点法画二次函数y=ax2的图象。　　3．使学生结合y=ax2的图象初步理解抛物线及其有关的概念。　　二、教学重点、难点　　重点：对二次函数概念的初步理解。　　难点：会用描点法画二次函数y=ax2的图象。　　三、教学过程　　复习提问　　1．在下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？　　（1）y=x/4；（2）y=4/x；（3）y=2x-5；（4）y=x2 - 2。　　2．什么是一无二次方程？　　3．怎样用找点法画函数的图象？　　新课　　1．由具体问题引出二次函数的定义。　　（1）已知圆的面积是Scm2，圆的半径是Rcm，写出空上圆的面积S与半径R之间的函数关系式。　　（2）已知一个矩形的周长是60m，一边长是Lm，写出这个矩形的面积S（m2）与这个矩形的一边长L之间的函数关系式。　　（3）农机厂第一个月水泵的产量为50台，第三个月的产量y（台）与月平均增长率x之间的函数关系如何表示？　　解：（1）函数解析式是S=πR2；　　（2）函数析式是S=30L―L2；　　（3）函数解析式是y=50（1+x）2，即　　y=50x2+100x+50。　　由以上三例启发学生归纳出：　　（1）函数解析式均为整式；　　（2）处变量的最高次数是2。　　我们说三个式子都表示的是二次函数。　　一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c没有限制而a≠0），那么y叫做x的二次函数，请注意这里b，c没有限制，而a≠0。　　2．画二次函数y=x2的图象。　　按照描点法分三步画图：　　（1）列表 ∵ x可取任意实数，∴ 以0为中心选取x值，以1为间距取值，且取整数值，便于计算，又x取相反数时，相应的y值相同；　　（2）描点 按照表中所列出的函数对应值，在平面直角坐标系中描出相应的7个点；　　（3）边线 用平滑曲线顺次连接各点，即得所求y=x2的图象。　　注意两点：　　（1）由于我们只描出了7个点，但自矿业量取值范围是实数，故我们只画出了实际图象的一部分，即画出了在原点附近、自变量在-3到3这个区间的一部分。而图象在x>3或x　　（2）所画的图象是近似的。　　3．在原点附近较精确地研究二次函数y=x2的图象形状到底如何？――我们 ?1与1之间每隔0。2的间距取x值表和图13-14。按课本P118内容讲解。　　4．引入抛物线的概念。　　关于抛物线的顶点应从两方面分析：一是从图象上看，y=x2的图象的顶点是最低点；一是从解析式y=x2看，当x=0时，y=x2取得最小值0，故抛物线y=x2的顶点是（0，0）。　　小结　　1．二次函数的定义。　　（1）函数解析式关于自变量是整式；（2）函数自变量的最高次数是2。　　2．二次函数y=x2的'图象。　　（1）其图象叫抛物线；（2）抛物线y=x2的对称轴是y轴，开口向上，顶点是原点。　　补充例题　　下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a，b，c？　　（1）y=2-3x2； （2）y=x (x-4)；　　（3）y=1/2x2-3x-1； （4）y=1/4x2+3x-8；　　（5）y=7x（1-x）+4x2； （6）y=（x-6）（6+x）。　　作业：P122中A组1，2，3。　　四、教学注意问题　　1．注意渗透局部和全体、有限和无限、近似和精确等矛盾对立统一的观点。　　2．注意培养学生观察分析问题的能力。比如，结合所画二次函数y=x2的图象，要求学生思考：　　（1）y=x2的图象的图象有什么特点。（答：具有对称性。）　　（2）如何判断y=x2的图象有上面所说的特点？（答：由观察图象看出来；或由列表求值得出来；或由解析式y=x2看出来。）　　课题 二次函数y=ax2的图象（一）　　一、教学目的　　1．使学生初步理解二次函数的概念。　　2．使学生会用描点法画二次函数y=ax2的图象。　　3．使学生结合y=ax2的图象初步理解抛物线及其有关的概念。　　二、教学重点、难点　　重点：对二次函数概念的初步理解。　　难点：会用描点法画二次函数y=ax2的图象。　　三、教学过程　　复习提问　　1．在下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？　　（1）y=x/4；（2）y=4/x；（3）y=2x-5；（4）y=x2 - 2。　　2．什么是一无二次方程？　　3．怎样用找点法画函数的图象？　　新课　　1．由具体问题引出二次函数的定义。　　（1）已知圆的面积是Scm2，圆的半径是Rcm，写出空上圆的面积S与半径R之间的函数关系式。　　（2）已知一个矩形的周长是60m，一边长是Lm，写出这个矩形的面积S（m2）与这个矩形的一边长L之间的函数关系式。　　（3）农机厂第一个月水泵的产量为50台，第三个月的产量y（台）与月平均增长率x之间的函数关系如何表示？　　解：（1）函数解析式是S=πR2；　　（2）函数析式是S=30L―L2；　　（3）函数解析式是y=50（1+x）2，即　　y=50x2+100x+50。　　由以上三例启发学生归纳出：　　（1）函数解析式均为整式；　　（2）处变量的最高次数是2。　　我们说三个式子都表示的是二次函数。　　一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c没有限制而a≠0），那么y叫做x的二次函数，请注意这里b，c没有限制，而a≠0。　　2．画二次函数y=x2的图象。　　按照描点法分三步画图：　　（1）列表 ∵ x可取任意实数，∴ 以0为中心选取x值，以1为间距取值，且取整数值，便于计算，又x取相反数时，相应的y值相同；　　（2）描点 按照表中所列出的函数对应值，在平面直角坐标系中描出相应的7个点；　　（3）边线 用平滑曲线顺次连接各点，即得所求y=x2的图象。　　注意两点：　　（1）由于我们只描出了7个点，但自矿业量取值范围是实数，故我们只画出了实际图象的一部分，即画出了在原点附近、自变量在-3到3这个区间的一部分。而图象在x>3或x　　（2）所画的图象是近似的。　　3．在原点附近较精确地研究二次函数y=x2的图象形状到底如何？――我们 ?1与1之间每隔0。2的间距取x值表和图13-14。按课本P118内容讲解。　　4．引入抛物线的概念。　　关于抛物线的顶点应从两方面分析：一是从图象上看，y=x2的图象的顶点是最低点；一是从解析式y=x2看，当x=0时，y=x2取得最小值0，故抛物线y=x2的顶点是（0，0）。　　小结　　1．二次函数的定义。　　（1）函数解析式关于自变量是整式；（2）函数自变量的最高次数是2。　　2．二次函数y=x2的图象。　　（1）其图象叫抛物线；（2）抛物线y=x2的对称轴是y轴，开口向上，顶点是原点。　　补充例题　　下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a，b，c？　　（1）y=2-3x2； （2）y=x (x-4)；　　（3）y=1/2x2-3x-1； （4）y=1/4x2+3x-8；　　（5）y=7x（1-x）+4x2； （6）y=（x-6）（6+x）。　　作业：P122中A组1，2，3。　　四、教学注意问题　　1．注意渗透局部和全体、有限和无限、近似和精确等矛盾对立统一的观点。　　2．注意培养学生观察分析问题的能力。比如，结合所画二次函数y=x2的图象，要求学生思考：　　（1）y=x2的图象的图象有什么特点。（答：具有对称性。）　　（2）如何判断y=x2的图象有上面所说的特点？（答：由观察图象看出来；或由列表求值得出来；或由解析式y=x2看出来。）二次函数教案2　　【知识与技能】　　1.会用描点法画函数y=ax2(a＞0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质.　　2.体会数形结合的转化,能用y=ax2(a＞0)的图象和性质解决简单的实际问题.　　【过程与方法】　　经历探索二次函数y=ax2(a＞0)图象的作法和性质的'过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.　　【情感态度】　　通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数y=ax2(a＞0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性.　　【教学重点】　　1.会画y=ax2(a＞0)的图象.　　2.理解,掌握图象的性质.　　【教学难点】　　二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程.　　一、情境导入，初步认识　　问题1 请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么形状呢?　　问题2 如何用描点法画一个函数图象呢?　　【教学说明】　　①略；　　②列表、描点、连线.　　二、思考探究，获取新知　　探究1 画二次函数y=ax2(a＞0)的图象.　　画二次函数y=ax2的图象.　　【教学说明】　　①要求同学们人人动手,按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x2的图象，同学们画好后相互交流、展示，表扬画得比较规范的同学.　　②从列表和描点中,体会图象关于y轴对称的特征.　　③强调画抛物线的三个误区.　　误区一:用直线连结,而非光滑的曲线连结,不符合函数的变化规律和发展趋势.　　误区二：并非对称点,存在漏点现象,导致抛物线变形.　　误区三:忽视自变量的取值范围,抛物线要求用平滑曲线连点的同时,还需要向两旁无限延伸,而并非到某些点停止.二次函数教案3　　教学目标：　　（1）理解两圆相切长等有关概念，掌握两圆外公切线长的求法；　　（2）培养学生的归纳、总结能力；　　（3）通过两圆外公切线长的求法向学生渗透“转化”思想。　　教学重点：　　理解两圆相切长等有关概念，两圆外公切线的求法。　　教学难点：　　两圆外公切线和两圆外公切线长学生理解的不透，容易混淆。　　教学活动设计　　（一）实际问题（引入）　　很多机器上的传动带与主动轮、从动轮之间的位置关系，给我们以一条直线和两个同时相切的形象。（这里是一种简单的数学建模，了解数学产生与实践）　　两圆的公切线概念　　1、概念：　　教师引导学生自学。给出两圆的外公切线、内公切线以及公切线长的定义：　　和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。　　(1)外公切线：两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线。　　(2)内公切线：两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线。　　(3)公切线的长：公切线上两个切点的距离叫做公切线的长。　　2、理解概念：　　(1)公切线的长与切线的长有何区别与联系?　　(2)公切线的长与公切线又有何区别与联系?　　(1)公切线的长与切线的长的概念有类似的地方，即都是线段的长。但公切线的长是对两个圆来说的，且这条线段是以两切点为端点；切线长是对一个圆来说的，且这条线段的一个端点是切点，另一个端点是圆外一点。　　(2)公切线是直线，而公切线的长是两切点问线段的长，前者不能度量，后者可以度量。　　（三）两圆的位置与公切线条数的关系　　组织学生观察、概念、概括，培养学生的学习能力。添写教材P143练习第2题表。　　（四）应用、反思、总结　　例1 、已知：⊙O 1 、⊙O 2的半径分别为2cm和7cm，圆心距O 1 O 2 =13cm，AB是⊙O 1 、⊙O 2的外公切线，切点分别是A、B。求：公切线的长AB。　　分析：首先想到切线性质，故连结O 1 A、O 2 B，得直角梯形AO 1 O 2 B。一般要把它分解成一个直角三角形和一个矩形，再用其性质。（组织学生分析，教师点拨，规范步骤）　　解：连结O 1 A、O 2 B，作O 1 A⊥AB，O 2 B⊥AB。　　过O 1作O 1 C⊥O 2 B，垂足为C，则四边形O 1 ABC为矩形，　　于是有　　O 1 C⊥C O 2，O 1 C= AB，O 1 A=CB。　　在Rt△O 2 CO 1和。　　O 1 O 2 =13，O 2 C= O 2 B- O 1 A=5　　AB= O 1 C= (cm)。　　反思：（1）“转化”思想，构造三角形；（2）初步掌握添加辅助线的方法。　　例2* 、如图，已知⊙O 1 、⊙O 2外切于P，直线AB为两圆的公切线，A、B为切点，若PA=8cm，PB=6cm，求切线AB的长。　　分析：因为线段AB是△APB的.一条边，在△APB中，已知PA和PB的长，只需先证明△PAB是直角三角形，然后再根据勾股定理，使问题得解。证△PAB是直角三角形，只需证△APB中有一个角是90°(或证得有两角的和是90°)，这就需要沟通角的关系，故过P作两圆的公切线CD如图，因为AB是两圆的公切线，所以∠CPB=∠ABP，∠CPA=∠BAP。因为∠BAP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°，所以2∠CPA+2∠CPB=180°，所以∠CPA+∠CPB=90°，即∠APB=90°，故△APB是直角三角形，此题得解。　　解：过点P作两圆的公切线CD　　∵ AB是⊙O 1和⊙O 2的切线，A、B为切点　　∴∠CPA=∠BAP　　∠CPB=∠ABP　　又∵∠BAP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°　　∴ 2∠CPA+2∠CPB=180°　　∴∠CPA+∠CPB=90°即∠APB=90°　　在Rt△APB中，AB 2 =AP 2 +BP 2　　说明：两圆相切时，常过切点作两圆的公切线，沟通两圆中的角的关系。　　（五）巩固练习　　1、当两圆外离时，外公切线、圆心距、两半径之差一定组成(　)　　(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)等边三角形(D)以上答案都不对。　　此题考察外公切线与外公切线长之间的差别，答案(D)　　2、外公切线是指　　(A)和两圆都祖切的直线(B)两切点间的距离　　(C)两圆在公切线两旁时的公切线(D)两圆在公切线同旁时的公切线　　直接运用外公切线的定义判断。答案：(D)　　3、教材P141练习（略）　　（六）小结（组织学生进行）　　知识：两圆的公切线、外公切线、内公切线及公切线的长概念；　　能力：归纳、概括能力和求外公切线长的能力；　　思想：“转化”思想。　　（七）作业：P151习题10，11。二次函数教案4　　教学目标　　【知识与技能】　　使学生会用描点法画出函数y=ax2的图象,理解并掌握抛物线的有关概念及其性质.　　【过程与方法】　　使学生经历探索二次函数y=ax2的图象及性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验,培养学生分析、解决问题的能力.　　【情感、态度与价值观】　　使学生经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质.　　重点难点　　【重点】　　使学生理解抛物线的有关概念及性质,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象.　　【难点】　　用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数的性质.　　教学过程　　一、问题引入　　1.一次函数的图象是什么?反比例函数的图象是什么?　　(一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线.)　　2.画函数图象的一般步骤是什么?　　一般步骤:(1)列表(取几组x,y的对应值);(2)描点(根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y));(3)连线(用平滑曲线).　　3.二次函数的图象是什么形状?二次函数有哪些性质?　　(运用描点法作二次函数的图象,然后观察、分析并归纳得到二次函数的性质.)　　二、新课教授　　【例1】 画出二次函数y=x2的图象.　　解:(1)列表中自变量x可以是任意实数,列表表示几组对应值.　　(2)描点:根据上表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点(x,y).　　(3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=x2的图象,如图所示.　　思考:观察二次函数y=x2的图象,思考下列问题:　　(1)二次函数y=x2的图象是什么形状?　　(2)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?　　(3)图象有最低点吗?如果有,最低点的坐标是什么?　　师生活动:　　教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2的图象,通过数形结合解决上面的3个问题.　　学生动手画图,观察、讨论并归纳,积极展示探究结果,教师评价.　　函数y=x2的图象是一条关于y轴(x=0)对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.实际上二次函数的图象都是抛物线.二次函数y=x2的图象可以简称为抛物线y=x2.　　由图象可以看出,抛物线y=x2开口向上;y轴是抛物线y=x2的对称轴:抛物线y=x2与它的对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点,它是抛物线y=x2的最低点.实际上每条抛物线都有对称轴,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点.　　【例2】 在同一直角坐标系中,画出函数y=x2及y=2x2的图象.　　解:分别填表,再画出它们的图象.　　思考:函数y=x2、y=2x2的图象与函数y=x2的图象有什么共同点和不同点?　　师生活动:　　教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2、y=2x2的图象.　　学生动手画图,观察、讨论并归纳,回答探究的思路和结果,教师评价.　　抛物线y=x2、y=2x2与抛物线y=x2的开口均向上,顶点坐标都是(0,0),函数y=2x2的图象的开口较窄,y=x2的图象的开口较大.　　探究1:画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,并考虑这些图象有什么共同点和不同点。　　师生活动:　　学生在平面直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,观察、讨论并归纳.教师巡视学生的探究情况,若发现问题,及时点拨.　　学生汇报探究的思路和结果,教师评价,给出图形.　　抛物线y=-x2、y=-x2、y=-2x2开口均向下,顶点坐标都是(0,0),函数y=-2x2的图象开口最窄,y=-x2的图象开口最大.　　探究2:对比抛物线y=x2和y=-x2,它们关于x轴对称吗?抛物线y=ax2和y=-ax2呢?　　师生活动:　　学生在平面直角坐标系中画出函数y=x2和y=-x2的图象,观察、讨论并归纳.　　教师巡视学生的探究情况,发现问题,及时点拨.　　学生汇报探究思路和结果,教师评价,给出图形.　　抛物线y=x2、y=-x2的图象关于x轴对称.一般地,抛物线y=ax2和y=-ax2的图象也关于x轴对称.　　教师引导学生小结(知识点、规律和方法).　　一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.当a0时,抛物线y=ax2的开口向上,顶点是抛物线的最低点,当a越大时,抛物线的开口越小;当a0时,抛物线y=ax2的开口向下,顶点是抛物线的最高点,当a越大时,抛物线的开口越大.　　从二次函数y=ax2的图象可以看出:如果a0,当x0时,y随x的增大而减小,当x0时,y随x的增大而增大;如果a0,当x0时,y随x的增大而增大,当x0时,y随x的增大而减小.　　三、巩固练习　　1.抛物线y=-4x2-4的开口向,顶点坐标是,对称轴是,当x=时,y有最值,是.　　【答案】下 (0,-4) x=0 0 大 -4　　2.当m≠时,y=(m-1)x2-3m是关于x的二次函数.　　【答案】1　　3.已知抛物线y=-3x2上两点A(x,-27),B(2,y),则x=,y=.　　【答案】-3或3 -12　　4.抛物线y=3x2与直线y=kx+3的交点坐标为(2,b),则k=,b=.　　【答案】 12　　5.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,且经过点(-1,-2),则抛物线的表达式为.　　【答案】y=-2x2　　6.在同一坐标系中,图象与y=2x2的'图象关于x轴对称的是()　　A.y=x2B.y=x2　　C.y=-2x2 D.y=-x2　　【答案】C　　7.抛物线y=4x2、y=-2x2、y=x2的图象,开口最大的是()　　A.y=x2 B.y=4x2　　C.y=-2x2 D.无法确定　　【答案】A　　8.对于抛物线y=x2和y=-x2在同一坐标系中的位置,下列说法错误的是()　　A.两条抛物线关于x轴对称　　B.两条抛物线关于原点对称　　C.两条抛物线关于y轴对称　　D.两条抛物线的交点为原点　　【答案】C　　四、课堂小结　　1.二次函数y=ax2的图象过原点且关于y轴对称,自变量x的取值范围是一切实数.　　2.二次函数y=ax2的性质:抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.当a0时,抛物线y=x2开口向上,顶点是抛物线的最低点,当a越大时,抛物线的开口越小;当a0时,抛物线y=ax2开口向下,顶点是抛物线的最高点,当a越大时,抛物线的开口越大.　　3.二次函数y=ax2的图象可以通过列表、描点、连线三个步骤画出来.　　教学反思　　本节课的内容主要研究二次函数y=ax2在a取不同值时的图象,并引出抛物线的有关概念,再根据图象总结抛物线的有关性质.整个内容分成:(1)例1是基础;(2)在例1的基础之上引入例2,让学生体会a的大小对抛物线开口宽阔程度的影响;(3)例2及后面的练习探究让学生领会a的正负对抛物线开口方向的影响;(4)最后让学生比较例1和例2,练习归纳总结.二次函数教案5　　目标：　　1．使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y＝ax2的关系式。　　2. 使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。　　3．让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。　　重点难点：　　重点：已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ax2、y＝ax2＋bx＋c的关系式是的重点。　　难点：已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是教学的难点。　　教学过程：　　一、创设问题情境　　如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。它的拱高AB为4m，拱高CO为0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢?　　分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。　　如图所示，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为： y＝ax2 (a＜0) (1)　　因为y轴垂直平分AB，并交AB于点C，所以CB＝AB2 ＝2(cm)，又CO＝0.8m，所以点B的坐标为(2，－0.8)。　　因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得 －0.8＝a×22 所以a＝－0.2　　因此，所求函数关系式是y＝－0.2x2。　　请同学们根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线。　　二、引申拓展　　问题1：能不能以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的`垂线为y轴，建立直角坐标系?　　让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的，以A点为原点，AB所在的直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系也是可行的。　　问题2，若以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂直为y轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗?　　分析：按此方法建立直角坐标系，则A点坐标为(0，0)，B点坐标为(4，0),OC所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC＝CB，AC＝2m，O点坐标为(2；0．8)。即把问题转化为：已知抛物线过(0，0)、(4，0)；(2，0．8)三点，求这个二次函数的关系式。　　二次函数的一般形式是y＝ax2＋bx＋c，求这个二次函数的关系式，跟以前学过求一次函数的关系式一样，关键是确定o、6、c，已知三点在抛物线上，所以它的坐标必须适合所求的函数关系式；可列出三个方程，解此方程组，求出三个待定系数。　　解：设所求的二次函数关系式为y＝ax2＋bx＋c。　　因为OC所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC＝CB，AC＝2m，拱高OC＝0.8m，　　所以O点坐标为(2，0.8)，A点坐标为(0，0)，B点坐标为(4，0)。　　由已知，函数的图象过(0，0)，可得c＝0，又由于其图象过(2，0.8)、(4，0)，可得到4a＋2b＝0.816＋4b＝0 解这个方程组，得a＝－15b＝45 所以，所求的二次函数的关系式为y＝－15x2＋45x。　　问题3：根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线，其图象是否与前面所画图象相同?　　问题4：比较两种建立直角坐标系的方式，你认为哪种建立直角坐标系方式能使解决问题来得更简便?为什么?　　(第一种建立直角坐标系能使解决问题来得更简便，这是因为所设函数关系式待定系数少，所求出的函数关系式简单，相应地作图象也容易)　　请同学们阅渎P18例7。　　三、课堂练习： P18练习1．(1)、(3)2。　　四、综合运用　　例1．如图所示，求二次函数的关系式。　　分析：观察图象可知，A点坐标是(8，0)，C点坐标为(0，4)。从图中可知对称轴是直线x＝3，由于抛物线是关于对称轴的轴对称图形，所以此抛物线在x轴上的另一交点B的坐标是(－2，0)，问题转化为已知三点求函数关系式。　　解：观察图象可知，A、C两点的坐标分别是(8，0)、(0，4)，对称轴是直线x＝3。因为对称轴是直线x＝3，所以B点坐标为(－2，0)。　　设所求二次函数为y＝ax2＋bx＋c，由已知，这个图象经过点(0，4)，可以得到c＝4，又由于其图象过(8，0)、(－2，0)两点，可以得到64a＋8b＝－44a－2b＝－4 解这个方程组，得a＝－14b＝32　　所以，所求二次函数的关系式是y＝－14x2＋32x＋4　　练习： 一条抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(0，0)与(12，0)，最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式。　　五、小结：　　二次函数的关系式有几种形式，函数的关系式y＝ax2＋bx＋c就是其中一种常见的形式。二次函数关系式的确定，关键在于求出三个待定系数a、b、c，由于已知三点坐标必须适合所求的函数关系式，故可列出三个方程，求出三个待定系数。　　六、作业　　1．P19习题 26．2 4．(1)、(3)、5。　　2．选用课时作业优化设计，二次函数教案6　　教学目标　　掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系。　　重点、难点：　　二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间关系的探索。　　教学过程：　　一、情境创设　　一次函数y=x+2的图象与x轴的交点坐标　　问题1.任意一次函数的图象与x轴有几个交点？　　问题2.猜想二次函数图象与x轴可能会有几个交点？可以借助什么来研究？　　二、探索活动　　活动一观察　　在直角坐标系中任意取三点A、B、C，测出它们的纵坐标，分别记作a、b、c，以a、b、c为系数绘制二次函数y=ax2+bx+c的图象，观察它与x轴交点数量的情况；任意改变a、b、c值后，观察交点数量变化情况。　　活动二观察与探索　　如图1，观察二次函数y=x2-x-6的图象，回答问题:　　(1)图象与x轴的交点的坐标为A(，),B(，)　　(2)当x=时，函数值y=0。　　(3)求方程x2-x-6=0的解。　　(4)方程x2-x-6=0的解和交点坐标有何关系？　　活动三猜想和归纳　　(1)你能说出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其它情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系。　　（2）一元二次方程ax2+bx+c=0的.根的个数由什么来判断？　　这样我们可以把二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点、一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根和根的判别式三者联系起来。　　三、例题分析　　例1.不画图象，判断下列函数与x轴交点情况。　　(1)y=x2-10x+25　　(2)y=3x2-4x+2　　(3)y=-2x2+3x-1　　例2.已知二次函数y=mx2+x-1　　(1)当m为何值时，图象与x轴有两个交点　　(2)当m为何值时，图象与x轴有一个交点？　　(3)当m为何值时，图象与x轴无交点？　　四、拓展练习　　1.如图2，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B。　　(1)请写出方程ax2+bx+c=0的根　　(2)列举一个二次函数，使其图象与x轴交于(1,0)和(4,0)，且适合这个图象。　　2.列举一个二次函数，使其图象开口向上，且与x轴交于(-2,0)和(1,0)　　五、小结　　这节课我们有哪些收获？　　六、作业　　求证：二次函数y=x2+ax+a-2的图象与x轴一定有两个不同的交点。二次函数教案7 　　教学目标：　　1. 1. 理解二次函数的意义；会用描点法画出函数y=ax2的图象，知道抛物线的有关概念；　　2. 2. 通过变式教学，培养学生思维的敏捷性、广阔性、深刻性；　　3. 3. 通过二次函数的教学让学生进一步体会研究函数的一般方法；加深对于数形结合思想认识。　　教学重点：二次函数的意义；会画二次函数图象。　　教学难点：描点法画二次函数y=ax2的图象，数与形相互联系。　　教学过程设计：　　一. 创设情景、建模引入　　我们已学习了正比例函数及一次函数，现在来看看下面几个例子：　　1.写出圆的半径是R（CM），它的面积S（CM2）与R的关系式　　答：S=πR2. ①　　2.写出用总长为60M的篱笆围成矩形场地，矩形面积S（M2）与矩形一边长L（M）之间的`关系　　答：S=L（30-L）=30L-L2 ②　　分析：①②两个关系式中S与R、L之间是否存在函数关系？　　S是否是R、L的一次函数？　　由于①②两个关系式中S不是R、L的一次函数，那么S是R、L的什么函数呢？这样的函数大家能不能猜想一下它叫什么函数呢？　　答：二次函数。　　这一节课我们将研究二次函数的有关知识。（板书课题）　　二. 归纳抽象、形成概念　　一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0) ，　　那么，y叫做x的二次函数.　　注意：(1)必须a≠0,否则就不是二次函数了.而b,c两数可以是零.(2) 由于二次函数的解析式是整式的形式，所以x的取值范围是任意实数.　　练习：1.举例子：请同学举一些二次函数的例子，全班同学判断是否正确。　　2.出难题：请同学给大家出示一个函数，请同学判断是否是二次函数。　　（若学生考虑不全，教师给予补充。如： ； ； ； 的形式。）　　（通过学生观察、归纳定义加深对概念的理解，既培养了学生的实践能力，有培养了学生的探究精神。并通过开放性的练习培养学生思维的发散性、开放性。题目用了一些人性化的词语，也增添了课堂的趣味性。）　　由前面一次函数的学习，我们已经知道研究函数一般应按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。二次函数我们也会按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。　　（在这里指出学习函数的一般方法，旨在及时进行学法指导；并将此方法形成技能，以指导今后的学习；进一步培养终身学习的能力。）　　三. 尝试模仿、巩固提高　　让我们先从最简单的二次函数y=ax2入手展开研究　　1. 1. 尝试：大家知道一次函数的图象是一条直线，那么二次函数的图象是什么呢？　　请同学们画出函数y=x2的图象。　　（学生分别画图，教师巡视了解情况。）二次函数教案8　　一、教材分析　　本节课在讨论了二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图像的基础上对二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像和性质进行研究。主要的研究方法是通过配方将y=ax2+bx+c(a≠0)向y=a(x-h)2+k(a≠0)转化，体会知识之间在内的联系。在具体探究过程中，从特殊的例子出发，分别研究a>0和a　　二、学情分析　　本节课前，学生已经探究过二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图像和性质，面对一般式向顶点式的转化，让学上体会化归思想，分析这两个式子的区别。　　三、教学目标　　(一)知识与能力目标　　1. 经历求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标的过程;　　2. 能通过配方把二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式，从而确定开口方向、顶点坐标和对称轴。　　(二)过程与方法目标　　通过思考、探究、化归、尝试等过程，让学生从中体会探索新知的方式和方法。　　(三)情感态度与价值观目标　　1. 经历求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标的过程，渗透配方和化归的思想方法;　　2. 在运用二次函数的知识解决问题的过程中，亲自体会到学习数学知识的价值，从而提高学生学习数学知识的兴趣并获得成功的体验。　　四、教学重难点　　1.重点　　通过配方求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标。　　2.难点　　二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的性质。　　五、教学策略与 设计说明　　本节课主要渗透类比、化归数学思想。对比一般式和顶点式的区别和联系;体会式子的恒等变形的重要意义。　　六、教学过程　　教学环节(注明每个环节预设的时间)　　(一)提出问题(约1分钟)　　教师活动：形如y=a(x-h)2+k(a≠0)的抛物线的对称轴、顶点坐标分别是什么?那么对于一般式y=ax2+bx+c(a≠0)顶点坐标和对称轴又怎样呢?图像又如何?　　学生活动：学生快速回答出第一个问题，第二个问题引起学生的思考。　　目的：由旧有的知识引出新内容，体现复习与求新的关系，暗示了探究新知的方法。　　(二)探究新知　　1.探索二次函数y=0.5x2-6x+21的函数图像(约2分钟)　　教师活动：教师提出思考问题。这里教师适当引导能否将次一般式化成顶点式?然后结合顶点式确定其顶点和对称轴。　　学生活动：讨论解决　　目的：激发兴趣　　2.配方求解顶点坐标和对称轴(约5分钟)　　教师活动：教师板书配方过程：y=0.5x2-6x+21=0.5(x2-12x+42)　　=0.5(x2-12x+36-36+42)　　=0.5(x-6)2+3　　教师还应强调这里的配方法比一元二次方程的配方稍复杂，注意其区别与联系。　　学生活动：学生关注黑板上的讲解内容，注意自己容易出错的地方。　　目的：即加深对本课知识的认知有增强了配方法的应用意识。　　3.画出该二次函数图像(约5分钟)　　教师活动：提出问题。这里要引导学生是否可以通过y=0.5x2的图像的平移来说明该函数图像。关注学生在连线时是否用平滑的'曲线，对称性如何。　　学生活动：学生通过列表、描点、连线结合二次函数图像的对称性完成作图。　　目的：强化二次函数图像的画法。即确定开口方向、顶点坐标、对称轴结合图像的对称性完成图像。　　4.探究y=-2x2-4x+1的函数图像特点(约3分钟)　　教师活动：教师提出问题。找学生板演抛物线的开口方向、顶点和对称轴内容，教师巡视，学生互相查找问题。这里教师要关注学生是否真正掌握了配方法的步骤及含义。　　学生活动：学生独立完成。　　目的：研究a　　5.结合该二次函数图像小结y=ax2+bx+c(a≠0)的性质(约14分钟)　　教师活动：教师将y=ax2+bx+c(a≠0)通过配方化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式。确定函数顶点、对称轴和开口方向并着重讨论分析a>0和a　　学生活动：仔细理解记忆一般式中的顶点坐标、对称轴和开口方向;理解y随x的变化情况。　　目的：体会由特殊到一般的过程。体验、观察、分析二次函数图像和性质。　　6.简单应用(约11分钟)　　教师活动：教师板书：已知抛物线y=0.5x2-2x+1.5，求这条抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴图像和y轴的交点坐标并确定y随x的变化情况和最值。　　教师巡视，个别指导。教师在这里可以用两种方法解决该问题：i)用配方法如例题所示;ii)我们可以先求出对称轴，然后将对称轴代入到原函数解析式求其函数值，此时对称轴数值和所求出的函数值即为顶点的横、纵坐标。　　学生活动：学生先独立完成，约3分钟后讨论交流，最后形成结论。　　目的：巩固新知　　课堂小结(2分钟)　　1. 本节课研究的内容是什么?研究的过程中你遇到了哪些知识上的问题?　　2. 你对本节课有什么感想或疑惑?　　布置作业(1分钟)　　1. 教科书习题22.1第6，7两题;　　2. 《课时练》本节内容。　　板书设计　　提出问题 画函数图像 学生板演练习　　例题配方过程　　到顶点式的配方过程 一般式相关知识点　　教学反思　　在教学中我采用了合作、体验、探究的教学方式。在我引导下，学生通过观察、归纳出二次函数y=ax2+bx+c的图像性质，体验知识的形成过程，力求体现“主体参与、自主探索、合作交流、指导引探”的教学理念。整个教学过程主要分为三部分：第一部分是知识回顾;第二部分是学习探究;第三部分是课堂练习。从当堂的反馈和第二天的作业情况来看，绝大多数同学能掌握本节课的知识，达到了学习目标中的要求。　　我认为优点主要包括：　　1.教态自然，能注重身体语言的作用，声音洪亮，提问具有启发性。　　2.教学目标明确、思路清晰，注重学生的自我学习培养和小组合作学习的落实。　　3.板书字体端正，格式清晰明了，突出重点、难点。　　4.我觉的精彩之处是求一般式的顶点坐标时的第二种方法，给学生减轻了一些负担，不一定非得配方或运用公式求顶点坐标。　　所以我对于本节课基本上是满意的。但也有很多需要改进的地方主要表现在：　　1.知识的生成过程体现的不够具体，有些急于求成。在学生活动中自己引导的较少，时间较短，讨论的不够积极;　　2.一般式图像的性质自己总结的较多，学生发言较少，有些知识完全可以有学生提出并生成，这样的结论学生理解起来会更深刻;　　3.学生在回答问题的过程中我老是打断学生。提问一个问题，学生说了一半，我就迫不及待地引导他说出下一半，有的时候是我替学生说了，这样学生的思路就被我打断了。破坏学生的思路是我们教师最大的毛病，此顽疾不除，教学质量难以保证。　　4.合作学习的有效性不够。正所谓：“水本无波，相荡乃成涟漪;石本无火，相击而生灵光。”只有真正把自主、探究、合作的学习方式落到实处，才能培养学生成为既有创新能力，又能适应现代社会发展的公民。　　重新去解读这节课的话我会注意以上一些问题，再多一些时间给学生，让他们去体验，探究而后形成自己的知识。二次函数教案9　　教学目标：　　1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋b的图象。　　2、让学生经历二次函数y＝ax2＋b性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋b的性质及它与函数y＝ax2的关系。　　教学重点：会用描点法画出二次函数y＝ax2＋b的图象，理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解函数y＝ax2＋b与函数y＝ax2的相互关系。　　教学难点：正确理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解抛物线y＝ax2＋b与抛物线y＝ax2的关系。　　教学过程：　　一、提出问题导入新课　　1．二次函数y＝2x2的图象具有哪些性质？　　2．猜想二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?　　二、学习新知　　1、问题1：画出函数y＝2x2和函数y＝2x2＋1的图象，并加以比较　　问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图象吗?　　同学试一试，教师点评。　　问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值（既y）之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?　　让学生观察两个函数图象，说出函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同，顶点坐标，函数y＝2x2的.图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y＝2x2＋1的图象的顶点坐标是(0，1)。　　师：你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性质吗?　　小组相互说说（一人记录，其余组员补充）　　2、小组汇报：分组讨论这个函数的性质并归纳：当x＜0时，函数值y随x的增大而减小；当x＞0时，函数值y随x的增大而增大，当x＝0时，函数取得最小值，最小值y＝1。　　3、做一做　　在同一直角坐标系中画出函数y＝2x2－2与函数y＝2x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别?　　三、小结
1、在同一直角坐标系中，函数y＝ax2＋k的图象与函数y＝ax2的图象具有什么关系?
2．你能说出函数y＝ax2＋k具有哪些性质?　　四、作业：
在同一直角坐标系中，画出
(1)y＝－2x2与y＝－2x2－2；的图像　　五：板书二次函数教案10　　一、由实际问题探索二次函数　　某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.　　(1) 问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些因变量　　(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?　　(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式.　　果园共有(100+x)棵树，平均每棵树结(600-5x)个橙子，因此果园橙子的总产 量　　y=(100+z)(6005x)=-5x2+100x+ 60000.　　二、想一想　　在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的产量最多?　　我们可以列表 表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化情况.你能根据 表格中的数据作出猜测吗 ?自己试一试.　　x/棵　　y/个　　三.做一做　　银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的。也就是说，利率是一个变量.在我国利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.设人民币一年定期储蓄的'年利率是x，一年到期后，银行将本金和利 息自动按一年定期储蓄转存. 如 果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表 达式(不考虑利息税).　　四、二次函数的定义　　一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a0)的函数叫做x的二次函数(quadratic function)　　注意：定义中只要求二次项系数不为零，一次项系数、常数项可以为 零。　　例如，y=一5x2+100x+60000和y=100x2+200x+100都是二次函数.我们以前学过的正方形面积A与边长a的关系A=a2， 圆面积s与半径r的 关系s=Try2等也都是二次函数的例子.　　随堂练习　　1.下列函数中(x,t是自变量)，哪些是二次 函数?　　y=- +3x.y= x-x+25,y=2 + 2x,s=1+t+5t　　2.圆的半径是l?，假设半径增加x?时，圆的面积增加y?.　　(1)写出y与x之间的关系表达式;　　(2)当圆的半径分别增加lcm、 ?、2?时，圆的面积增加多少?　　五、课时小结　　1. 经历探索和表 示二次函数关系的过程，猜想并归纳二次函数的定义及一般形式。　　2.用尝试求值的方法解决种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多。　　六、活动与探究　　若 是二次函数，求m的值.　　七、作业　　 习题2.1　　1.物体从某一高度落下，已知下落的高度h(m)和下落的时间t(s)的关系是：h=4.9t ， 填 表表示物体在前5s下落的高度：　　t/s 1 2 3 4 5　　h/m　　⒉某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多0.5m。　　(1)长方体的长和宽用x(m)表示，长方体需要涂漆的表面积S(?)如何表示?　　(2) 如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需要费用用y(元)表示，那么y的表达式是什么?二次函数教案11　　教学目标：　　1、经历描点法画函数图像的过程；　　2、学会观察、归纳、概括函数图像的特征；　　3、掌握 型二次函数图像的特征；　　4、经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。　　教学重点：　　型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳　　教学难点：　　选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像，该过程较为复杂。　　教学设计：　　一、回顾知识　　前面我们在学习正比例函数、一次函数和反比例函数时时如何进一步研究这些函数的？ 先（用描点法画出函数的图像，再结合图像研究性质。）　　引入：我们仿照前面研究函数的方法来研究二次函数，先从最特殊的形式即 入手。因此本节课要讨论二次函数 （ ）的图像。　　板书课题：二次函数 （ ）图像　　二、探索图像　　1、 用描点法画出二次函数 和 图像　　（1） 列表　　引导学生观察上表，思考一下问题：　　①无论x取何值，对于 来说，y的值有什么特征？对于 来说，又有什么特征？　　②当x取 等互为相反数时，对应的'y的值有什么特征？　　（2） 描点（边描点，边总结点的位置特征，与上表中观察的结果联系起来）.　　（3） 连线，用平滑曲线按照x由小到大的顺序连接起来，从而分别得到 和 的图像。　　2、 练习：在同一直角坐标系中画出二次函数 和 的图像。　　学生画图像，教师巡视并辅导学困生。（利用实物投影仪进行讲评）　　3、二次函数 （ ）的图像　　由上面的四个函数图像概括出：　　（1） 二次函数的 图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线，　　（2） 这条抛物线关于y轴对称，y轴就是抛物线的对称轴。　　（3） 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。注意：顶点不是与y轴的交点。　　（4） 当 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，图像在x轴的上方(除顶点外)；当 时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点图像在x轴的 下方(除顶点外)。　　（最好是用几何画板演示，让学生加深理解与记忆）　　三、课堂练习　　观察二次函数 和 的图像　　(1) 填空：　　抛物线　　顶点坐标　　对称轴　　位 置　　开口方向　　(2)在同一坐标系内，抛物线 和抛物线 的位置有什么关系？如果在同一个坐标系内画二次函数 和 的图像怎样画更简便？　　(抛物线 与抛物线 关于x轴对称，只要画出 与 中的一条抛物线，另一条可利用关于x轴对称来画)　　四、例题讲解　　例题：已知二次函数 （ ）的图像经过点（-2，-3）。　　（1） 求a 的值，并写出这个二次函数的解析式。　　（2） 说出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置。　　练习：（1）课本第31页课内练习第2题。　　(2) 已知抛物线y=ax2经过点a（-2，-8）。　　（1）求此抛物线的函数解析式；　　（2）判断点b（-1，- 4）是否在此抛物线上。二次函数教案12　　目标设计　　1.知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会用顶点的性质求解最值问题。　　能力训练要求　　1、能够分析实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值发展学生解决问题的能力， 学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题。　　2、通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，培养数形结合思想，函数思想。　　情感与价值观要求　　1、在进行探索的活动过程中发展学生的探究意识，逐步养成合作交流的习惯。　　2、培养学生学以致用的习惯，体会体会数学在生活中广泛的应用价值，激发学生学习数学的兴趣、增强自信心。　　方法设计　　由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适当地辅以电脑多媒体技术。　　教学过程　　导学提纲　　设计思路：最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富 ，学生比较感兴趣，对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，而面积问题学生易于理解和接受 ，故而在这儿作此调整，为求解最大利润等问题奠定基础。从而进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题，此部分内容既是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。　　（一）前情回顾：　　1.复习二次函数y＝ax2+bx＋c（a≠0）的图象、顶点坐标、对称轴和最值　　2.（1）求函数y＝x2+ 2x－3的最值。　　（2）求函数y＝x2+2x－3的最值。（0≤x ≤ 3）　　3、抛物线在什么位置取最值？　　（二）适当点拨，自主探究　　1.在创设情境中发现问题　　请你画一个周长为40厘米的矩形，算算它的面积是多少？再和同学比比，发现了什么？谁的面积最大？　　2、在解决问题中找出方法　　某工厂为了存放材料，需要围一个周长40米的矩形场地，问矩形的长和宽各取多少米，才能使存放场地的面积最大？　　（问题设计思路：把前面矩形的周长40厘米改为40米，变成一个实际问题， 目的在于让学生体会其应用价值??我们要学有用的数学知识。学生在前面探究问题时，已经发现了面积不唯一，并急于找出最大的，而且要有理 论依据，这样首先要建立函数模型，合作探究中在选取变量时学生可能会有困难，这时教师要引导学生关注哪两个变量，就把其中的一个主要变量设为x，另一个设为y，其它变量用含x的代数式表示，找等量关系，建立函数模型，实际问题还要考虑定义域，画图象观察最值点，这样一步步突破难点，从而让学生在不断探究中悟出利用函数知识解决问题的一套思路和方法，而不是为了做题而做题，为以后的学习奠定思想方法基础。）　　3、在巩固与应用中提高技能　　例1：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的.爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃 ，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏（如图所示），花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？　　（设计思路：例1的设计也是寻找了学生熟悉的家门口的生活背景，从知识的角度来看，求矩形面积也较容易，我在此设计了一个条件墙长10米来限制定义域，目的在于告诉学生一个道理，数学不能脱离生活实际，估计大部分学生在求解时还会在顶点处找最值，导致错解，此时教师再提醒学生通过画函数的图象辅助观察、理解最值的实际意义，体会顶点与端点的不同作用，加深对知识的理解，做到数与形的完美结合，通过此题的有意训练，学生必然会对定义域的意义有更加深刻的理解，这样既培养了学生思维的严密性，又为今后能灵活地运用知识解决问题奠定了坚实的基础。）　　解：设垂直于墙的边AD=x米，则AB=（32-2x） 米，设矩形面积为y米2，得到：　　Y=x（32-2x）= -2x2+32x　　［错解］由顶点公式得：　　x=8米时，y最大=128米2　　而实际上定义域为11≤x ?16，由图象或增减性可知x=11米时， y最大=110米2　　（设计思路：例1的设计也是寻找了学生熟悉的家门口的生活背景，从知识的角度来看，求矩形面积也较容易，我在此设计了一个条件墙长10米来限制定义域，目的在于告诉学生一个道理，数学不能脱离生活实际，估计大部分学生在求解时还会在顶点处找最值，导致错 解，此时教师再提醒学生通过画函数的图象辅助观察、理解最值的实际意义，体会顶点与端点的不同作用，加深对知识的理解，做到数与 形的完美结合，通过此题的有意训练，学生必然会对定义域的意义有更加深刻的理解，这样既培养了学生思维的严密性，又为今后能灵活地运用知识解决问题奠定了坚实的基础。）　　（三）总结交流：　　（1）同学们经历刚才的探究过程，想想解决此类问题的思路是什么？.　　引导学生分析解题循环图：　　（2）在探究发现这些判定方法的过程中运用了什么样的数学方法？　　（四）掌握应用：　　图中窗户边框的 上半部分是由四个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形。如果制作一个窗户边框的材料总长为15米，那么如何设计这个窗户边框的尺寸，使透光面积最大(结果精确到0.01m2)?（设计思路：先出示如图图形，然后引伸到课本中的图形，让学生有一个思考递进的空间。）　　（五）我来试一试：　　如图在Rt△ABC中，点P在斜边AB上移动，PM⊥BC，PN⊥AC，M，N分别为垂足，已知AC=1，AB=2，求：　　（1）何时矩形PMCN的面积最大，把最大面积是多少？　　（2）当AM平分∠CAB时，矩形PMCN的面积.　　（六）智力闯关：　　如图，用长20cm的篱笆，一面靠墙围成一个长方形的园子，怎样围才能使园子的面积最大？最 大面积是多少？　　作业：课本随堂练习 、习题1，2，3　　板书设计　　二次函数的应用??面积最大问题　　课后反思　　二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题。 本节课充分运用导学提纲，教师提前通过一系列问题串的设置，引导学生课前预习，在课堂上通过对一系列问题串的解决与交流， 让学生通过掌握 求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题。　　教材中设计先探索最大利润问题，对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，而面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作此调整，为求解最大利润等问题奠定基础。从而进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。所以在例题的处理中适当的降低了梯度，让学生思维有一个拓展的空间，也有收获快乐 和成就感。在训练的过程中，通过学生的独立思考与小组合作探究相结合，使学生的分析能力、表达能力及思维能力都得到训练和提高。同时也注重对解题方法与解题 模式的归纳与总结，并适当地渗透转化、化归、数形结合等数学思想方法。二次函数教案13　　一、教学目标　　1.知识与技能目标：　　⑴。使学生理解并掌握二次例函数的概念　　⑵。能判断一个给定的函数是否为二次例函数，并会用待定系数法求函数解析式　　⑶。能根据实际问题中的条件确定二次例函数的解析式，体会函数的模型思想　　2.过程与方法目标;　　通过探究----感悟----练习，采用探究、讨论等方法进行。　　3.情感态度与价值观：　　通过对几个特殊的二次函数的`讲解，向学生进行一般与特殊的辩证唯物主义教育　　二、教学重、难点　　1.重点：理解二次例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式　　2.难点：理解二次例函数的概念。　　三、教学过程　　1、知识回顾　　⑴。一元二次方程的一般形式是什么?　　⑵。回忆一下什么是正比例函数、一次函数?它们的一般形式是怎样的　　2、合作学习，探索新知 :　　问题1: 正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为x,表面积为y,那么y与x的关系可表示为?二次函数教案14　　【教学目标】　　1、知识与技能：　　（1）体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图象研究方程问题的方法；　　（2）理解二次函数图象与x轴（横轴）交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根的函数图象特征； （3）理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h（h是实数）图象交点的横坐标。 2、过程与方法：　　（1）由一次函数与一元一次方程根的'联系类比探求二次函数与一元二次方程之间的联系； （2）经历类比、观察、发现、归纳的探索过程，体会函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想。 3、情感、态度与价值观：　　培养学生类比与猜想、不完全归纳、认识到事物之间的联系与转化、体验探究的乐趣和学会用辨证的观点看问题的思维品质。　　【重点与难点】　　重点：经历“类比--观察--发现--归纳”而得出二次函数与一元二次方程的关系的探索过程。 难点：准确理解二次函数与一元二次方程的关系。　　【教法与学法】　　教法(=)：命题课，采用“发现式学习”的方式，注重“最近发展区”，寻根问源，以旧知识为基础创设问题情境，引导学生经历“类比―猜想―观察―发现―归纳―应用”的探究过程。 学法：探究式学习。　　【课前准备】　　多媒体、PPT课件。　　【教学过程】　　附：板书设计：二次函数教案15　　教学目标　　(一)教学知识点　　1.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.　　2.进一步发展估算能力.　　(二)能力训练要求　　1.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验.　　2.利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的`思路，体验数形结合思想.　　(三)情感与价值观要求　　通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力.　　教学重点　　1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.　　2.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.　　教学难点　　利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.　　教学方法　　学生合作交流学习法.　　教具准备　　投影片三张　　第一张：(记作2.8.2A)　　第二张：(记作2.8.2B)　　第三张：(记作2.8.2C)　　教学过程　　Ⅰ.创设问题情境，引入新课　　[师]上节课我们学习了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是y=0时的一元二次方程的根，于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可.但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算.本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根.【二次函数教案】相关文章：《二次函数》教案02-21《二次函数》教案15篇02-21二次函数说课稿初中数学二次函数说课02-27二次函数说课稿05-02二次函数教学反思04-16二次函数教学反思通用11-10《函数的应用》教案08-26初中数学函数教案02-23函数的最值教案02-26}

5．如图，抛物线 y＝ax2+2x+c（a＜0）与 x 轴交于点 A 和点 B（点 A 在原点的左侧，点 B 在原点的右侧），与 y 轴交于点 C，OB＝OC＝3．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）如图1，连接 BC，点 D 是直线 BC 上方抛物线上的点，连接 OD，CD，OD 交 BC 于点 F，当S△COF：S△CDF＝3：2 时，求点 D 的坐标．（3）如图2，点 E 的坐标为（0，- 3/2），在抛物线上是否存在点 P，使 ∠OBP＝2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）c＝3，点 B（3，0），将点 B 的坐标代入抛物线表达式：y＝ax2+2x+3 中，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3 ；（2）如图1，过点 D 作 DH⊥x 轴于点 H，交 BC 于点 M，图1∵ S△COF：S△CDF＝3：2，∴ OF：FD＝3：2，∵ DH∥CO，CO = 3 ,∴ CO：DM＝3：2，即 DM＝2/3 CO＝2，由 B、C 两点的坐标得：直线 BC 的表达式为：y＝﹣x+3，设点 D（x，﹣x2+2x+3），则点 M（x，﹣x+3），DM＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝2，解得：x＝1 或 2，故点 D（1，4）或（2，3）；（3）① 当点 P 在 x 轴上方时，如图2 所示，取 OG＝OE，连接 BG，过点 B 作直线 PB 交抛物线于点 P，交 y 轴于点 M，使 ∠GBM＝∠GBO，则 ∠OBP＝2∠OBE，过点 G 作 GH⊥BM 于点 H，图2设 MH＝x，则 MG＝√（x2 + 9/4），在 △OBM 中，OB2 + OM2 ＝ MB2，故 MG＝√（4 + 9/4）＝ 5/2，则点 M（0，4），由 B、M 两点的坐标得：直线 BM 的表达式为：y＝﹣4/3 x + 4，联立 y＝﹣x2+2x+3 与 y＝﹣4/3 x + 4，解得 x = 3（舍去）或 1/3，故点 P（1/3 ，32/9）；②当点 P 在 x 轴下方时，如图3 所示，过点 O 作 OD ⊥ BE 于点 D，延长 OD 使 OD = DF，连接 BF 交 y 轴于点 G，交抛物线于点 P，则有 ∠OBP＝2∠OBE，图3连接 EF，易知 △OBE≌△FBE（SAS），则有 ∠EOB = ∠EFB = 90°，设 GF = x，则 EG = √（x2 + 9/4），在 △BOG 中，BO2 + OG2 = BG2，故 EG = √（4 + 9/4）= 5/2，OG = 4，则点 G（0，-4），由 B、G 两点的坐标得：直线 BG 的表达式为：y＝ 4/3 x - 4，联立 y＝﹣x2+2x+3 与 y＝ 4/3 x - 4，解得 x = 3（舍去）或 -7/3，故点 P（-7/3 ，-64/9）；综上，点 P 的坐标（1/3 ，32/9）或（-7/3 ，-64/9）.【分析】（1）掌握二次函数图像与坐标轴的交点所表示的含义，很容易求出二次函数的解析式。（2）由 S△COF：S△CDF＝3：2，可知两个三角形等高不等底，即转化成底边 OF ：FD = 3:2，OC = 3 已知，∠CFO = ∠DFB（对顶角），OF ：FD = 3:2，想到构造相似三角形，就要作辅助线，从而求出线段 DM = 2。点 D 是抛物线上的点，点 M 是直线 BC 上的点，而且横坐标相等，先把横坐标设出来，利用函数解析式把它们的坐标表示出来，结合 DM = 2，从而可求出点 D 的坐标。（3）在抛物线上是否存在点 P，使 ∠OBP＝2∠OBE？这是一个非常重要的条件，今后如遇此类问题如何分析？是一个难点，考场时间毕竟有限，只要思路清晰、方法恰当就能突破这个难点，这就需要平时做题包括考试一定要总结积累经验。首先 ∠OBE 是个锐角，而且是个小于 45° 的锐角（OB = 3 , OE = 3/2 , tan∠OBE = 1/2 , tan45° = 1），所以 ∠OBP＝2∠OBE 小于 90°，也是个锐角，这样就可以确定 P 点的位置只有两种情况，这时就需要分类讨论了。其次，如何做出这样的角等于已知角的二倍，就要想到 “尺规作图”！情况一：情况二：都是利用 “等腰三角形三线合一的性质”，做出 ∠OBP＝2∠OBE ！最后，如何求出点 P 的坐标，这就需要计算了！大体思路是：点 P 是一次函数图像与二次函数图像的交点，只要把一次函数的解析式求出来，就可以求出点 P 的坐标。如何求一次函数的解析式？两点确定一条直线，可以通过待定系数法来求，点 B 的坐标已知，只要求出一次函数图像与 y 轴交点的坐标来就可以求出一次函数的解析式来了。求与 y 轴交点的坐标情况一、二，都是通过 “勾股定理” 来求的，通过勾股定理建立一个方程，本题解方程比较复杂，通过平方先把 “无理式” 转化成 “有理式”，来解方程。最后，联立一次函数与二次函数解方程求交点坐标，解一元二次方程时，一定要熟练掌握求根公式！
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