左边方法解答有误。误区在于：\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(1+x)-3f(1-x)}{2f(1+x)}\xlongequal{?}-1 貌似很显然地有，当 x\to0 时，式子为 \dfrac{f(1)-3f(1)}{2f(1)}=-1 但是这是正确的吗？对上式拆分变形（在各自极限都存在的情况下），即\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(1-x)}{f(1+x)}\xlongequal{?}-1 现在问题便是：\color{red}{\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(1-x)}{f(1+x)}\xlongequal{?}1} 举个例子：\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1-x)}{\ln(1+x)}\xlongequal{?}1 你简单计算一下就知道不对劲，应该是-1。怎么来的呢？\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(1-x)}{f(1+x)}=-\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(1-x)-f(1)}{-x}\cdot\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x}{f(1+x)-f(1)}=-\dfrac{f'(1)}{f'(1)}=-1这里使用到了 f(1)=0 这个前述推论。上述证明也可由泰勒展开得到：f(1+x)=f(1)+f'(1)x+o(x)=f'(1)x+o(x) f(1-x)=f(1)-f'(1)x+o(x)=-f'(1)x+o(x) 也易得 \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(1-x)}{f(1+x)}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{-xf'(1)+o(x)}{xf'(1)+o(x)}=-1 因此，实际上有\color{red}{\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(1+x)-3f(1-x)}{2f(1+x)}=2} 因此再用你原来的方法便能得到和右方一样的结果。上述你的方法有些跳跃性，一般建议这样写：\begin{aligned} f'(1)&=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(1+x)-f(1)}{x}\\ &=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(1+x)}{x}\\ &=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(1+x)}{f(1+x)-3f(1-x)}\cdot\dfrac{f(1+x)-3f(1-x)}{8x+\alpha(x)}\cdot \dfrac{8x+\alpha(x)}{x}\\ &=\frac{1}{4}\cdot1\cdot8=2 \end{aligned} 其中 \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(1+x)}{f(1+x)-3f(1-x)}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{xf'(1)+o(x)}{xf'(1)+o(x)-3(-xf'(1)+o(x))}=\dfrac{1}{4} }

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