将运动学微分方程改写成微分形式，对时间求不定积分，利用初始条件确定积分常数，就可以得到位置或速度与时间的依赖关系。在《获取物体的运动学量》中，我们首先从物理的层面出发对粒子的运动进行分析，得到了获取位置和速度的数学公式。其实，这个问题也可以先从数学的层面出发得到解决。让我们重新考察速度和加速度的定义式：如果你已经有了一定的数学基础，应该马上就意识到如何从数学的层面上解决我们的问题。不过，我还是假定你对数学的了解并不多，所以，接下来要对这个问题做仔细的回应。在上面的速度或加速度的定义式中，有一个我们想要知道的未知物理量，并且这个物理量是以对时间的导数的形式出现的。另一方面，与这个时间导数同时存在于一个等式中，还有一个已知的物理量，比如说速度或者加速度对时间的依赖关系。我们知道，在一个等式中，如果既含有已知量又含有未知量，这个等式就被称为“方程”，或者更准确地说，是一个“代数方程”。我们在中学中熟悉的“一元一次方程”或者“一元二次方程”等就是代数方程。现在，在关于速度与加速度的定义式中，甚至还含有未知变量对自变量的导数，这种等式被称为“微分方程”。通过对这两个微分方程进行求解，就可以得到我们想要知道的未知的物理量的表达式。我们不打算详细地讨论微分方程的求解理论，这些理论你很快就会在数学课程中学到。在这里仅对上面提出的问题给出一个详细的解决方案。假定已经知道了速度对时间的依赖关系，先把速度的定义式改写成如下形式：对上面这个经过改写的等式的两边同时做一次不定积分，将两边做不定积分时得到的任意常数合并，就可以得到下面的等式：等式最右边的那个式子被称为速度的原函数，一个函数的原函数可以带有一个任意的积分常数。显然，由于积分常数是任意的，由上述等式给出的位置对时间的依赖关系并不完全确定。为了能够明确地得到位置与时间的函数关系，需要把这个任意的积分常数确定下来。通常的做法是，在一个特定的时刻(称之为初始时刻)测量粒子所处的位置(称之为初始位置)，把这两个数值代入上面的等式中：由此就得到了积分常数的表达式，并最终确定了位置与时间的函数关系：结果发现，只要求出了速度的原函数，再测得粒子的初始位置，粒子在任意时刻的位置就确定了。在许多情况下，我们可能会通过某种途径获得加速度对时间的依赖关系。在这种情况下，可以利用加速度与速度之间的关系，先把速度对时间的依赖关系求出来。为了达到这个目的，把加速度是速度对时间求一阶导数这个定义式改写成：再仿照上面的求解过程对这个经过改写的等式的两边做不定积分，就可以得到等式最右边的式子是加速度的原函数。如果在初始时刻测得粒子的初始速度为，粒子的速度对时间的依赖关系就确定下来了：我们再一次看到了类似的情况：只要求出了加速度的原函数，再测得粒子的初始速度，粒子在任意时刻的速度就确定了。有了速度对时间的依赖关系，就可以继续求解位置随时间的变化规律了。
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当埃菲尔在1889年建造著名的诶菲尔铁塔时，他挑选了72位19 世纪著名的法国科学家，将他们的名字刻在了铁塔上，以示崇敬。最引人注目的有拉格朗日、拉普拉斯与勒让德。你还会发现纳维的名字，纳维是当时著名的工程师，曾跟着伟大的数学家傅里叶学习过一段时间。1820年前后，纳维开始思考与流体有关的数学。在1821年到1822年间他发现了著名的纳维-斯托克斯方程组。18世纪上半叶，瑞士数学家丹尼尔·伯努利用微积分描述了流体在受到多个力作用下的运动方程。在伯努利的基础上，欧拉构建了一组方程，可以精确地描绘无黏性流体的运动。1822年，纳维改进了欧拉的方程，使之能适用于有一定程度黏的流体。纳维的数学推导是有缺陷的。但他最后得出的方程是正确的。几年之后，爱尔兰数学家斯托克斯作出了正确的推导。一开始，斯托克斯就专注于采用微积分方法来解释流体的运动。他发现了20年前纳维推出的公式（但他的推导过程是正确的）。在纳维和斯托克斯的工作的基础上，到19世纪末，数学家差一步就要发展出一种关于流体运动的完整理论了。只有一个问题尚待解决。没有人能够证明纳维-斯托克斯方程组是否有解。关于流体运动的数学看来极其困难。从离散到连续当16世纪和17世纪初的数学家试图写出描述行星运动的公式时，他们遇到了一个基本的问题。数学的工具本质上是静态的。数、点、线等等，对于计算和测量是精良的，但是仅靠它们是不能描述运动的。为了研究连续运动的物体，数学家必须找到一种方式，把这些静态的工具应用于动态的运动。17世纪中叶，牛顿和德国的莱布尼茨各自独自“发明”了微积分，让数学前进了一大步。牛顿和莱布尼茨的想法是将连续运动视作是由一系列静止形态组成的。每一个静止形态可以用现有的数学技巧来分析，困难在于如何将所有的静止形态组合起来。要在数学上形成连续运动，牛顿和莱布尼茨必须以无穷大的速度“放映”这些静止的形态，而每一形态只能持续无穷短的时间。微积分就是由牛顿和莱布尼茨为执行这个把无穷个形态按顺序排好的工作而研究出来的一套技巧。微分学的基本运算是称为微分的过程。微分的目的是得出某些变化量的变化率。为了做到这一点，变化量的值、位置或路径必须由一个适当的式子给出。然后对这个式子进行微分，产生另一个能给出变化率的式子。因此，微分是把一个式子转换成另一个式子的过程。十八世纪，微积分被用于研究像行星那样的固体对象的连续运动，或连续几何图形的连续变化着的斜率。伯努利试图将这种方法应用于流体的连续运动（液体或气体）。对于牛顿和莱布尼茨来说，所分析的连续运动是孤立的、离散的物体（行星或粒子，或是一个图形或一个曲面的点）的连续运动。然而，在流体的情况下，不仅运动，而且物质本身也是连续的。伯努利把连续的流体看作由无限紧靠在一起的无穷小离散区域（或“液滴”）所组成的，其中每一个区域可以用牛顿和莱布尼茨的方法处理。另一种方式是，以位于流体中任一特定点为对象（一个无穷小点），写出描述其路径的方程。这就需要把握两类无穷小。把每一个无穷小颗粒的运动看作是一系列"定格"，这就是研究单个对象的连续运动时所用的标准微积分方法。运动被看作将一系列静止状态按时间排列而形成的序列。在一个“点”所取的路径与另一个与之无限靠近的“点”所循的路径之间，存在着无穷小的几何变化。棘手的问题是要同时把握这两类无穷小——时间无穷小和几何无穷小。这耗去了伯努利成年时代的大部分时光。1738年，在他的《流体动力学》（Hydrodynamics）一书中，他公布了自己的结果。其中关键的思想是把解取为所谓的向量场。简单说，向量场是一个含有三个自变量x、y、z的函数，它告诉你流体在其中任意一点（x，y，z）的流动速度和方向。《流体动力学》中有一个方程，这个方程表明，当流体流过一个表面时，这流体作用于表面的压强随着流动速度的增大而减小。为什么这个结论值得一提呢？因为伯努利方程奠定了现代航空理论的基础，解释了为什么飞机能在空中飞行。在伯努利工作的基础上，欧拉建立了描述无摩擦流体在已知力作用下运动状况的方程组，但他没能解出这些方程。纳维和斯托克斯后来改进了欧拉的方程组，使之适用于黏性流体。他们得到的方程被称为纳维-斯托克斯方程。虽然这些方程可以在无限薄平面膜流体这一假想的二维情况下解出，但人们却不知道在三维的情况下是否有解。请注意，问题的关键不是这个方程的解是什么，而是这个方程是否有解。让我们从欧拉的那个关于流体运动的方程组说起。这个方程组描述的是一种在各个方向上无限延伸的无摩擦流体的流动情况。我们假设流体中的每一点P =（x，y，z）受到一个随时间变化的力。假设t时刻作用在P点上的力是，设p（x，y，z，t）为时刻t流体在P点的压强。时刻t流体在P点的运动可以通过给出它在三个坐标轴方向上的速度来描述。令u_x（x，y，z，t）是流体在P点沿x轴方向的速度，u_y（x，y，z，t）是流体在P点沿y轴方向的速度，u_z（x，y，z，t）是沿z轴方向的速度。我们假设这流体是不可压缩的，也就是说，当一个力作用于它时，它可以朝某个方向流动，但是它不能被压缩，也不会膨胀。这一性质由如下方程表达，假设我们知道t =0时的运动状况。而且，这些初始函数假设是良态的（well-behaved）函数。“良态”是个数学专业术语，但是不影响理解方程。不过，“良态”的精确表达与纳维一斯托克斯问题作为千禧难题的陈述有关。所以，想解决这个问题的人还是需要知道其准确的陈述。对流体中每一点P应用牛顿定律力 = 质量×加速度欧拉得到了下列方程，把它们与上述不可压缩性方程联立起来，便描述了流体的运动∶这就是关于流体运动的欧拉方程。为了适用于黏性流体，纳维-斯托克斯引入了一个黏度常数v，它是流体内部摩擦力的量度，并在方程的右边加了一个额外的力——黏力。x方向上，加在方程右边的项是，y和z方向同理。在这里，符号表示二阶偏导数，它是通过首先对u_x求关于x的微分，然后对所得结果再求关于x的微分而得到的，即在y和z的情况中，其定义类似。欧拉看上去十分吓人。数学家也觉得力不从心。仔细观察，可以发现，x，y，z方向的欧拉方程之间的差异很小，而且添加三个额外的黏度项也是基于同一个变化形式。在19世纪，数学家发明了一种符号和一种方法，可以用一种简单的方式来处理有方向的运动。其思想是引入一类新的量，称为向量。向量则既有大小又有方向。使用向量，数学家可以把纳维-斯托克斯方程写得更为紧凑∶这里，f和u是向量函数，符号表示向量微积分的运算。在求解纳维-斯托克斯方程方面的进展实在太小，克莱促进会决定设立100万美元的奖金，征求对这个问题的任一变化形式的解答。其中最简单的形式（虽然并不一定是最容易解决的）是说，假设你令作用力函数f_x，f_y和f_z都为零，在这种情况下你能不能求出函数p（x，y，z，t）、u_x（x，y，z，t）、u_y（x，y，z，t）和u_z（x，y，z，t），使它们满足方程欧拉方程的改进版（即包括黏度项），并且足够"良态"，使得它们看上去能与物理现实相符合？我要提一下，黏度为零的类似问题（即欧拉方程）也没有解决。如果把纳维-斯托克斯问题约简到二维的情况（使所有z 项等于零），这个方程可以解出。但是它对解三维情况没有任何帮助。完整的三维问题也可以用一种受到高度限制的方式解出。已知各种初始条件，总能找到一个正数T，使得这方程对0≤t≤T的所有时间可解。一般来说，数T实在太小了，所以这个解答在现实中并不是特别有用。数T被称作这个特定系统的“爆裂”（blowup）时间。}