第二章向量组的线性相关性

§2-1 §2-2 n维向量，线性相关与线性无关（一）

3. 设矩阵A= 5 ，设βi为矩阵A的第i个列向量，

二、试确定下列向量组的线性相关性

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* 得 a3=a1+a2, a5=a1+2a2+a4.如果只需求向量组的秩和极大线性无关组, 只要对A作初等行变换将其化为一般的阶梯阵, 而不必化为行简化阶梯阵. * * 线性代数第9讲 向量组的秩 西北师范大学《线性代数》 * 在R3中, 给定四个共面向量a1,a2,a3,a4, 它们显然是线性相关的, 但它们中存在两个线性无关的向量, 而任一个向量都可由这两个线性无关的向量线性表示(例如:a1,a2线性无关, a3,a4可由a1,a2线性表示). 此外它们中任意三个向量是线性相关的, 即它们中任一个线性无关的部分组最多只含2个向量, 数2就叫作这个向量组的秩. * a1 a2 a3 a4 * 定义6 如果向量组a1,a2,...,as中存在r个线性无关的向量, 且其中任一个向量可由这r个线性无关的向量线性表示, 则数r称为向量组的秩, 记作 秩{a1,a2,...,as}=r.显然, 如果a1,a2,...,as线性无关, 则 秩{a1,a2,...,as}=s;只含零向量的向量组的秩为零. * 定义7 如果向量组b1,b2,...,bt中每个向量可由向量组a1,a2,...,as线性表示, 就称前一个向量组可由后一个向量组线性表示. 如果两个向量组可以互相线性表示, 则称这两个向量组是等价的. 则a1,a2,...,as中任何r+1个向量都是线性相关的.证 不妨设a1,a2,...,ar是向量组a1,a2,...,as中的r个线性无关的向量, 由于该向量组中任一个向量可由a1,a2,...,ar线性表示, 由定理4立即可得其中任何r+1个向量都线性相关. * 如此, 向量组的秩可等价地定义为: 若向量组中存在r个线性无关的向量, 且任何r+1个向量都线性相关, 就称数r为向量组的秩.由此可知, 秩为r的向量组中, 任一个线性无关的部分组最多只含r个向量. 因此, 秩为r的向量组中含有r个向量的线性无关组, 称为该向量组的极大线性无关组. 一般情况下, 极大线性无关组不唯一, 但不同的极大线性无关组所含向量个数是相同的. * 推论3 设秩{a1,...,as}=p, 秩{b1,...bt}=r, 如果向量组b1,...bt可由向量组a1,...,as线性表示, 则r?p.证 不妨设a1,...,ap和b1,...br分别是两个向量组的极大无关组, 因此有 又已知 * 即b1,...br可由a1,...,ap线性表示, 于是由推论1可得r?p.由推论3立即可得, 等价的向量组的秩相等. * 矩阵的秩 * 对于矩阵A, 把它的每一行(列)称为A的一个行(列)向量, (ii)由y1b1+y3b3+y4b4=0可推出数y1,y2,y4必须全为零, 故b1,b3,b4线性无关, 又易见A的任意4个列向量都线性相关)则A的列秩等于3. * 由此例可得一般结论: 阶梯形矩阵的行秩等于列秩, 其值等于阶梯形矩阵的非零行的行数.用高斯消元法解线性方程组AX=b的消元步骤, 是对增广矩阵[A,b]作初等行变换将其化为阶梯形矩阵, 而初等行变换的倍乘, 倍加变换实际是对行向量作线性运算, 因此, 需要研究初等行变换是否改变矩阵的行秩和列秩. * 定理1 如果对矩阵A作初等行变换将其化为B, 则B的行秩等于A的行秩.证 只需证明作一次行初等变换不改变矩阵的行秩. 设A是m?n矩阵, A的m个行向量记作a1,a2,...,am.(i