多元函数的极值及其求法

教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。

教学重点：多元函数极值的求法。

教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。

一、 多元函数的极值及最大值、最小值

定义  设函数在点的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于的点，如果都适合不等式

则称函数在点有极大值。如果都适合不等式

则称函数在点有极小值．极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。

函数在点（0，0）处有极小值。因为对于点（0，0）的任一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。从几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面的顶点。

函数在点（0，0）处有极大值。因为在点（0，0）处函数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，点（0，0，0）是位于平面下方的锥面的顶点。

例３　函数在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。

定理1（必要条件）  设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：

证  不妨设在点处有极大值。依极大值的定义，在点的某邻域内异于的点都适合不等式

特殊地，在该邻域内取，而的点，也应适合不等式

这表明一元函数在处取得极大值，因此必有

从几何上看，这时如果曲面在点处有切平面，则切平面

成为平行于坐标面的平面。

仿照一元函数，凡是能使同时成立的点称为函数的驻点，从定理1可知，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。但是函数的驻点不一定是极值点，例如，点（0，0）是函数的驻点，但是函数在该点并无极值。

    怎样判定一个驻点是否是极值点呢 ？下面的定理回答了这个问题。

定理2（充分条件） 设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又_，令

则在处是否取得极值的条件如下：

(1)时具有极值，且当时有极大值，当时有极小值；

(3)时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。

这个定理现在不证。利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数的极值的求法叙述如下：

求得一切实数解，即可以得到一切驻点。

第二步  对于每一个驻点，求出二阶偏导数的值，和。

第三步  定出的符号，按定理2的结论判定是否是极值、是极大值还是极小值。

求得驻点为（1,0）、（1,2）、（-3,0）、（-3,2）。

在点(1,0) 处，又，所以函数在处有极小值；

在点(1,2) 处，，所以(1,2)不是极值；

例2  某厂要用铁板作成一个体积为2m³的有盖长方体水箱。问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。

解 设水箱的长为，宽为，则其高应为，此水箱所用材料的面积

可见材料面积是和的二元函数，这就是目标函数，下面求使这函数取得最小值的点。

从这个例子还可看出，在体积一定的长方体中，以立方体的表面积为最小。

二、条件极值 拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法  要找函数在附加条件下的可能极值点，可以先构成辅助函数

其中为某一常数求其对与的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程(2)联立

由这方程组解出，及，则其中，就是函数在附加条件下的可能极值点的坐标。

这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。例如，要求函数

下的极值，可以先构成辅助函数

其中，均为常数，求其一阶偏导数，并使之为零，然后与(2)中的两个方程联立起来求解，这样得出的就是函数在附加条件(2)下的可能极值点的坐标。

至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。

例3 求表面积为而体积为最大的长方体的体积。

解  设长方体的三棱长为， 则问题就是在条件

的最大值。构成辅助函数

求其对、z的偏导数，并使之为零，得到

再与(10)联立求解。

因、都不等于零，所以由(11)可得

将此代入式(10)，便得

这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个可能的极值点处取得。也就是说，表面积为的长方体中，以棱长为的正方体的体积为最大，最大体积。

本节以一元函数极值为基础，研究多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值问题。在介绍多元函数极值的定义后，介绍了二元极值的性质以及利用偏导数求极值的步骤，讨论了二元函数的最值问题和实际问题的最值问题。最后介绍了利用拉格朗日乘数法求条件极值的方法及应用。

拉格朗日乘数法的一个美妙数学事实：自洽等同于发生概率最大

美国归侨冯向军博士，2017年7月25日写于美丽家乡

拉格朗日乘数法告诉所有基于她的极值原理：

要想自洽就赶快按冯向军说的做：

在目标函数中加进发生概率的对数log(P）!

定理：用拉格朗日乘数法来求分布函数具有自洽性，当且仅当该分布函数的发生概率最大。

证明：当把分布固定在自己所推导出来的分布，极值原理就有约束条件：

这其中x1，x2，...，xn是与概率分布p1，p2，...，pn相对应的n个离散变量值），而f(x1)，f(x2),...，f(xn)是极值原理所推导出来的分布。满足式(1-1）和式(1-2)的约束条件叫自洽约束条件。在自洽约束条件下，若极值原理能够再重新导出自己所推导出来的分布，就叫具备自洽性。命由目标函数中与自洽约束条件相对应的部分T，自然约束条件和上述自洽约束条件所决定的拉格朗日算子为L。有：