一元二次方程问题是初中代数之重点，也是中考之热点。许多同学在解题时，由于对题目中的隐含条件重视不够，在平时作业或考试当中往往出现错解。现将常见的错误情况公布于众，以期引起广大师生的共同注意。

错误之一：忽视二次项系数不能为0

例1、已知关于的一元二次方程的两根为、。问：为何值时，？

误解：∵关于的一元二次方程的两根为、，根据题意，由求根公式得：

分析：既然是一元二次方程，那么这里就有一个隐含条件，即

；还有，方程中的一次项系数含有

，这也是题目中的一个隐含条件，综合起来，即＜，而上述解答中就忽视了这个条件。另外，既然方程有两个根，那么到底是两个相等的根还是两个不相等的根呢？这得由判别式来确定，所以还应求出判别式的值：

＞0，即方程有两个不相等的实数根。而又因为，所以可判定

，又由于＜，解得正确答案为：

例2、关于的一元二次方程

有两个实数根，求的值.。

误解：∵方程有两个实数根，∴Δ≥0，

时，原方程为一元一次方程。

所以，正确的答案应为＜2，且

错误之二：忽视负的平方根和算术平方根的非负性

分析：此解错就错在由到，忽视了平方根还有一个负的，导致丢掉了一个解。

例4、已知
是方程
的一根，求作以
和
为根的一元二次方程。

误解：把代入原方程，得

，∴所求的一元二次方程为

，∴所求的一元二次方程为

分析：此解主要错在未考虑到

正解应为：所求的一元二次方程为。

错误之三：忽视结论的多解情况

只有一个解，试求的值与方程的解.

误解：将原方程化简，得

分析：将原方程化简，得：，应分为两种情况讨论。

①当时，原方程有唯一解；

∴方程总有两个不同的实数根，按题设原方程只有一个解，因此必有一根是原方程的增根，从原方程知道，增根只可能是使

显然，0不是的根，故是此方程的根。

因为一根是，，所以由根与系数的关系可求出方程的另一根（应用两根之和或两根之积结果相同），为：

∴当时，原方程也有唯一的解为.

误解：由题意可知、应是方程的两个根，

分析：既然、分别满足和，那么就有这种情况，而上述解答看似很合理，却忽视了这种情况。这其实是一个“陷阱”，应必须考虑到这种情况。

时有上述结论存在，而当时，

那么弄丢这种存在情况的原因在哪里呢？

主要是在于把、视为方程的两个根，这就自然而然地忽视了这种情况的存在了，因为的判别式在的情况下

错误之四：忽视二次方程的△的取值

例7、已知关于的二次方程

的两个实数根的平方和为17，求的值。

误解：设方程的两个实数根为、

分析：设方程的两个实数根为、，利用韦达定理求得：

再由两个实数根的平方和为17，得

这样解看似合理的，但最关键的一点是忽视了的判别式△的取值情况。

＞0，方程有实数根。故只取

误解：根据题意由韦达定理得：

分析：解题时只注意到方程两根的等量关系，而忽视了方程有两个实根时Δ≥0这一先决条件，而当时△＜0，故应当舍去。

错误之五：忽视对题目中关键词的辨析

例9、为何实数时，方程

误解：要使方程有实数根，只需

解之得：，又∵，∴，且。

分析：解法中对方程“有实根”和“有两个实根”未加以辨析，而当

时，原方程为一元一次方程

。所以此题错在误认为原方程一定是一元二次方程，而没想到也可以是一元一次方程。

的两实根，求的最小值。

∴当时，的最小值为1。

分析：解法中没有注意到有实根的意义和本质是什么，因而忽视了方程有两实根时这一前提条件。

∵当时，△＜0，此时方程无实根，∴正解的解法还应当求出的取值范围。

错误之六：忽视对根的符号的考察

，，∴可知＜0，且＜0，

应当舍去。∴正确的解应当为

的两根恰好是直角三角形两锐角的正弦值。求的值。

，解之得，而当时，△＞0，

分析：解法中考虑△＞0是非常必要的，但是却忽视了为两锐角正弦值，应当满足0＜＜1，0＜＜1，即

时，＜0，＜0。故应当舍去，正解为

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