解答这类问题的关键，在于确定“总数量”和与总数量相对应的“总份数”。

总数量÷总份数＝平均数

平均数×总份数＝总数量

总数量÷平均数＝总份数

例1：东方小学六年级同学分两个组修补图书。第一组28人，平均每人修补图书15本；第二组22人，一共修补图书280本。全班平均每人修补图书多少本？

要求全班平均每人修补图书多少本，需要知道全班修补图书的总本数和全班的总人数。

例2：有水果糖5千克，每千克2.4元；奶糖4千克，每千克3.2元；软糖11千克，每千克4.2元。将这些糖混合成什锦糖。这种糖每千克多少元？

要求什锦糖每千克多少元，要先出这几种糖的总价和总重量最后求得平均数，即每千克什锦糖的价钱。

例3、要挖一条长1455米的水渠，已经挖了3天，平均每天挖285米，余下的每天挖300米。这条水渠平均每天挖多少米？

已知水渠的总长度，平均每天挖多少米，就要先求出一共挖了多少天。

例4、小华的期中考试成绩在外语成绩宣布前，他四门功课的平均分是90分。外语成绩宣布后，他的平均分数下降了2分。小华外语成绩是多少分？

解法一：先求出四门功课的总分，再求出一门功课的的总分，然后求得外语成绩。

例5、甲乙丙三人在银行存款，丙的存款是甲乙两人存款的平均数的1.5倍，甲乙两人存款的和是2400元。甲乙丙三人平均每人存款多少元？

要求甲乙丙三人平均每人存款多少元，先要求得三人存款的总数。

例6、甲种酒每千克30元，乙种酒每千克24元。现在把甲种酒13千克与乙种酒8千克混合卖出，当剩余1千克时正好获得成本，每千克混合酒售价多少元？

要求每千克混合酒售价多少元，要先求得两种酒的总价钱和两种酒的总千克数。因为当剩余1千克时正好获得成本，所以在总千克数中要减去1千克。

例7、甲乙丙三人各拿出相等的钱去买同样的图书。分配时，甲要22本，乙要23本，丙要30本。因此，丙还给甲13.5元，丙还要还给乙多少元？

先求买来图书如果平均分，每人应得多少本，甲少得了多少本，从而求得每本图书多少元。

例8、小荣家住山南，小方家住山北。山南的山路长269米，山北的路长370米。小荣从家里出发去小方家，上坡时每分钟走16米，下坡时每分钟走24米。求小荣往返一次的平均速度。

在同样的路程中，由于是下坡的不同，去时的上坡，返回时变成了下坡；去时的下坡，回来时成了上坡，因此，所用的时间也不同。要求往返一次的平均速度，需要先求得往返的总路程和总时间。

例9、草帽厂有两个草帽生产车间，上个月两个车间平均每人生产草帽185顶。已知第一车间有25人，平均每人生产203顶；第二车间平均每人生产草帽170顶，第二车间有多少人？

可以用“移多补少获得平均数”的思路来思考。

第一车间平均每人生产数比两个车间平均每人平均数多几顶？203–185=18顶；第一车间有25人，共比按两车间平均生产数计算多多少顶？18×25=450。将这450顶补给第二车间，使得第二车间平均每人生产数达到两个车间的总平均数。

例10、一辆汽车从甲地开往乙地，去时每小时行45千米，返回时每小时行60千米。往返一次共用了3.5小时。求往返的平均速度。(得数保留一位小数)

要求往返的平均速度，要先求得往返的距离和往返的时间。

去时每小时行45千米，1千米要 小时；返回时每小时行60千米，1千米要 小时。往返1千米要( + )小时，进而求得甲乙两地的距离。

把甲乙两地的距离看作“1”。往返距离为2个“1”，即1×2=2。去时每千米需 小时，返回时需 小时，最后求得往返的平均速度。

在解答某一类应用题时，先求出一份是多少（归一），然后再用这个单一量和题中的有关条件求出问题，这类应用题叫做归一应用题。

归一，指的是解题思路。

归一应用题的特点是先求出一份是多少。归一应用题有正归一应用题和反归一应用题。在求出一份是多少的基础上，再求出几份是多产，这类应用题叫做正归一应用题；在求出一份是多少的基础上，再求出有这样的几份，这类应用题叫做反归一应用题。

根据“求一份是多少”的步骤的多少，归一应用题也可分为一次归一应用题，用一步就能求出“一份是多少”的归一应用题；两次归一应用题，用两步到处才能求出“一份是多少”的归一应用题。

解答这类应用题的关键是求出一份的数量，它的计算方法：

先求1辆卡车一次能运货物多少吨，再求增加6辆后，能运货物多少吨。

这是一道反归一应用题。

这是一道两次正归一应用题。

这是两次反归一应用题。要先求一台机床一小时可以生产零件多少个，再求需要多少小时。

例5、          一个修路队计划修路126米，原计划安排7个工人6天修完。后来又增加了54米的任务，并要求在6天完工。如果每个工人每天工作量一定，需要增加多少工人才如期完工？

先求每人每天的工作量，再求现在要修路多少米，然后求要5天完工需要工人多少人，最后求要增加多少人。

例6、          用两台水泵抽水。先用小水泵抽6小时，后用大水泵抽8小时，共抽水624立方米。已知小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量。求大小水泵每小时各抽水多少立方米？

根据“小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量”，可以求出大水泵1小时的抽水量相当于小水泵几小时的抽水量。把不同的工作效率转化成某一种水泵的工作效率。

先求这批粉笔够一个班用多少天，剩下的粉笔够一个班用多少天，然后求够在校班用多少天。

先分别求甲乙各加工一个零件所需的时间，再求出工作了27小时，甲乙两工人各加工了零件多少个，然后求出一半任务的零件个数，最后求出这批零件的个数。

在解答某一类应用题时，先求出总数是多少（归总），然后再用这个总数和题中的有关条件求出问题。这类应用题叫做归总应用题。

归总，指的是解题思路。

归总应用题的特点是先总数，再根据应用题的要求，求出每份是多少，或有这样的几份。

例1、      一个工程队修一条公路，原计划每天修450米。80天完成。现在要求提前20天完成，平均每天应修多少米？

例2、      家具厂生产一批小农具，原计划每天生产120件，28天完成任务；实际每天多生产了20件，可以几天完成任务？

要求可以提前几天，先要求出实际生产了多少天。要求实际生产了多少天，要先求这批小农具一共有多少件。

例3、      装运一批粮食，原计划用每辆装24袋的汽车9辆，15次可以运完；现在改用每辆可装30袋的汽车6辆来运，几次可以运完？

例4、      修整一条水渠，原计划由8人修，每天工作7.5小时，6天完成任务，由于急需灌水，增加了2人，要求4天完成，每天要工作几小时？

一个工人一小时的工作量，叫做一个“工时”。

要求每天要工作几小时，先要求修整条水渠的工时总量。

例5、      一项工程，预计30人15天可以完成任务。后来工作的天后，又增加3人。每人工作效率相同，这样可以提前几天完成任务？

一个工人工作一天，叫做一个“工作日”。

要求可以提前几天完成，先要求得这项工程的总工作量，即总工作日。

例6、      一个农场计划28天完成收割任务，由于每天多收割7公顷，结果18天就完成 了任务。实际每天收割多少公顷？

要求实际每天收割多少公顷，要先求原计划每天收割多少公顷。要求原计划每天收割多少公顷，要先求18天多收割了多少公顷。18天多收割的就是原计划(28–18)天的收割任务。

先要求出准备的粮食1人能吃多少天，再求5天后还余下多少粮食，最后求还够用多少天。

例8、      一项工程原计划8个人，每天工作6小时，10天可以完成。现在为了加快工程进度，增加22人，每天工作时间增加2小时，这样，可以提前几天完成这项工程？

要求可以几天完成，要先求现在完成这项工程多少天。要求现在完成这项工程多少天，要先求这项工程的总工时数是多少。

已知两个数以及它们之间的倍数关系，要求这两个数各是多少的应用题，叫做和倍应用题。

和÷（倍数+1）＝1份的数

1份的数×倍数＝几倍的数

鸡减少60只，鸭增加00只后，鸡和鸭的总数是=3599只，从而可求出现在鸭的只数，原来鸭的只数。

以丙生产的零件个数为标准(1份的数)，乙生产的零件个数=丙生产的2倍-21个；甲生产的零件个数=丙的(2×2)倍+(21×2+15)个。

要使甲瓶酒精是乙瓶的2倍，乙瓶 是1份，甲瓶是2份，要先求出一份是多少，再求还要倒入多少毫升。

例6、          甲乙两个数的和是7106，甲数的百位和十位上的数字都是8，乙数百位和十位上的数字都是2。用0代替这两个数里的这些8和2，那么，所得的甲数是乙数的5倍。原来甲乙两个数各是多少？

把甲数中的两个数位上的8都用0代替，那么这个数就减少了880；把乙数中的两个数位上的2都用0代替，那么这个数就减少了220。这样，原来两个数的和就一共减少了(880+220)

已知两个数的差以及它们之间的倍数关系，要求这两个数各是多少的应用题，叫做差倍应用题。

差÷（倍数-1）＝1份的数

1份的数×倍数＝几倍的数

以乙仓的粮食存放量为标准(即1份数)，那么，144吨就是乙仓的(4-1)份，从而求得一份是多少。

例2、 参加科技小组的人数，今年比去年多41人，今年的人数比去年的3倍少35人。两年各有多少人参加？

由“今年的人数比去年的3倍少35人”，可以把去年的参加人数作为标准，即一份的数。今年参加人数如果再多35人，今年的人数就是去年的3倍。(41+35)就是去年的(3-1)份

例3、 师傅生产的零件的个数是徒弟的6倍，如果两人各再生产20个，那么师傅生产的零件个数是徒弟的4倍。两人原来各生产零件多少个？

如果徒弟再生产20个，师傅再生产20×6=120个，那么，现在师傅生产的个数仍是徒弟的6倍。可见20×6-20=100个就是徒弟现有个数的6-2=4倍。

30×6=180个师傅原来生产个数

例4、 第一车队比第二车队的客车多128辆，再起从第一车队调出11辆客车到第二车队服务，这时，第一车队的客车比第二车队的3倍还多22辆。原来两车队各有客车多少辆？

要求“原来两车队各有客车多少辆”，需要求“现在两车队各有客车多少辆”；要求“现在两车队各有客车多少辆”，要先求现在第一车队比第二车队的客车多多少辆。

例5、 小华今年12岁，他父亲46岁，几年以后，父亲的年龄是儿子年龄的3倍？

父亲的年龄与小华年龄的差不变。

要先求当父亲的年龄是儿子年龄的3倍时小华多少岁，再求还要多少年。

例6、 甲仓存水泥64吨，乙仓存水泥114吨。甲仓每天存入8吨，乙仓每天存入18吨。几天后乙仓存放水泥吨数是甲仓的2倍？

现在甲仓的2倍比乙仓多(64×2-114)吨，要使乙仓水泥吨数是甲仓的2倍，每天乙仓实际只多存入了(18-2×8)吨。

例7、 甲乙两根电线，甲电线长63米，乙电线长29米。两根电线剪去同样的长度，结果甲电线所剩下长度是乙电线的3倍。各剪去多少米？

要求“各剪去多少米”，要先求得甲乙两根电线所剩长度各是多少米。两根电线的差不变，甲电线的长度是乙电线的3倍。从而可求得甲乙两根电线所剩下的长度。

例8、有甲乙两箱橘子。从甲箱取10只放入乙箱，两箱的只数相等；如果从乙箱取15只放入甲箱，甲箱橘子的只数是乙箱的3倍。甲乙两箱原来各有橘子多少只？

要求“甲乙两箱原来各有橘子多少只”，先求甲乙两箱现在各有橘子多少只。

已知现在“甲箱橘子的只数是乙箱的3倍”，要先求现在甲箱橘子比乙箱多多少只。原来甲箱比乙箱多10×2=20只，“从乙箱取15只放入甲箱”，又多了15×2=30只。现在两箱橘子相差(10×2+15×2)只。

已知两个数的和与它们的差，要求这，叫做和差应用题。

从甲仓调出6吨放入乙仓，甲仓的货物比乙仓的货物还多10吨，可知原来两仓货物相差6×2+10=22吨，由此，可根据两仓货物的和与差，求得两仓原有货物的吨数。

例3、 某公司甲班和乙班共有工作人员94人，因工作需要临时从乙班调46人到甲班工作，这时，乙班比甲班少12人，原来甲班和乙班各有工作人员多少人？

总人数不变。即原来和现在两班工作人员的和都是94人。现在两班人数相差12人。

要求原来甲班和乙班各有工作人员多少人，先要求现在甲班和乙班各有工作人员多少人？

例4、 甲乙丙三人共装订同一种书刊508本。甲比乙多装订42本，乙比丙多装订26本。他们三人各装订多少本？

先确定一个人的装订本数为标准。如果我们选定乙的装订本数为标准，从总数508中减去甲比乙多装订4的2本，加上丙比乙少装订的26本，得到的就是乙装订本数的3倍。由此，可求得乙装订的本数。

例5、 三辆汽车共运砖9800块，第一辆汽车比其余两车运的总数少1400块，第二辆比第三辆汽车多运200块。三辆汽车各运砖多少块？

根据“三辆汽车共运砖9800块”和“第一辆汽车比其余两车运的总数少1400块”，可求得第一辆汽车和其余两车各运砖多少块。

根据“其余两车共运砖块数”和“第二辆比第三辆汽车多运200块”可求得第二辆和第三辆各运砖多少块。

例6、 甲乙丙三人合做零件230个。已知甲乙两人做的总数比丙多38个；甲丙两人做的总数比乙多74个。三人各做零件多少个？

先把跽两人做的零件总数看成一个数，从而求出丙做零件的个数，再把甲丙两人做的零件总数看作一个数，从而求出乙做零件的个数。

例7、 一列客车长280米，一列货车长200米，在平行的轨道上相向而行，两车从两车头相遇到两车尾相离共经过15秒；两列车在平行轨道上同向而行，货车在前，客车在后，从两车相遇(货车车尾和客车车头)到两车相离(货车车头和客车车尾)经过2分钟。两列车的速度各是多少？

由相向而行从相遇到相离经过15秒，可求得两列车的速度和(280+200)÷15；由同向而行从相遇到相离经过2分钟，可求得两列车的速度差(280-200)÷(60×2)。从而求得两列车的速度。

例8、 五年级三个班共有学生148人。如果把1班的3名学生调到2班，两班人数相等；如果把2班的1名学生调到3班，3班还比2班少3人。三个班原来各有学生多少人？

由“如果把1班的3名学生调到2班，两班人数相等”，可知，1班学生人数比2班多3×2=6人；由“如果把2班的1名学生调到3班，3班还比2班少3人”可知，2班学生人数比3班多1×2+3=5人。如果确定以2班学生人数为标准，由“三个班共有学生148人”和“1班学生人数比2班多3×2=6人，2班学生人数比3班多1×2+3=5人”可先求得2班的学生人数。

已知两人的年龄，求他们之间的某种数量关系；或已知两人年龄之间的数量关系，求他们的年龄等，这类问题叫做年龄应用题问题。

年龄问题的主要特点是：大小年龄差是个不变量。差是定值的两个量，随时间的变化，倍数关系也会发生变化。

这类应用题往往是和差应用题、和倍应用题、差倍应用题的综合应用。

因为小方与爸爸的年龄差43-11=32不变。以几年后小方的年龄为1份数，爸爸的年龄就是3份的数。根据差倍应用题的解法，可求出小方几年后的年龄。

“妈妈今年比儿子大24岁“，4年后也同样大24岁，根据差倍应用题的解法，可求得4年后儿子的年龄，进而求得今年儿子的年龄。

今年甲乙两人年龄和为50岁，再过5年，两人的年龄和是50+5×2=60岁。根据和倍应用题的解法 。可求得5年后乙的年龄，从而求得今年乙的年龄和甲的年龄。

由“小高5年前的年龄等于小王7年后的年龄“可知，小高比小王大5+7岁；他们俩今年年龄的和为：35+3-4=30岁，根据和差应用题的解法，可求得今年两人各是多少岁。

由第一个条件可知，小高比小王在5+7＝12岁。由第二个条件可知，他们的年龄和为35+3-4＝34岁。

“根据两个差求未知数”是指分析问题的思考方法。“两个差”是指题目中有这样的数量关系。例如：总量之差与单位量之差；时间之差与速度之差或距离之差等等。解题时可以找出题目中的两个差，再根据两个这间的相应关系使总量得到解决。

例1、   百货商场上午卖出洗衣机8台，下午卖出同样的洗衣机12台，下午比上午多收售货款6600元，每台洗衣机售价多少元？

例2、   一辆汽车上午行驶120千米，下午行驶210千米。下午比上午多行驶1.5小时。平均每小时行驶多少千米？

例3、   新建一个图书室和一个办公室。室内陆面共有234平方米。已知办公室比图书室小54平方米。用同样的砖铺地，图书室比办公室多用864块。图书室和办公室地面各用砖多少块？

由“办公室比图书室小54平方米”和“图书室比办公室多用864块”可求得“平均每平方米需用砖多少块”；由“室内陆面共有234平方米”和“办公室比图书室小54平方米”，可求得“”。从而求得各用砖多少块。

例4、   甲乙两人同时从东村出发去西村，甲每分钟行76米，乙每分钟行68米。到达西村时，乙比甲多用了4分钟。东西两村间的路程是多少米？

甲乙两人同时从东村出发，当甲到达西村时，乙距西村还有4分钟的路程。乙每分钟行68米，4分钟能行68×4=272米。也就是说，在相同的时间内，甲比乙多行272米。这是路程这差。每分钟甲比惭多行76-68=8米，这是速度这差。根据这两个差，可以求出甲走完全程所用的时间，从而求得两村之间的路程。

例5、   冰箱厂原计划每天生产电冰箱40台，改进工艺后，实际每天比原计划多生产5台这样，提前2天完成了这批生产任务外，还比原计划多生产了35台。实际生产电冰箱多少台？

要求“实际生产电冰箱多少台”，需要知道“实际每天生产多少台”和“实际生产了多少天”。

如果实际上再生产 2 天后话，还能生产(40+5)×2=90台，双知比原计划还多生产35台，实际上比原计划多生产了90+35=125台，这是一个总量之差。又知实际每天比原计划多生产5台，这是生产效率之差。根据这两个差可以求出原计划生产的天数。从而求得实际生产电冰箱的台数

例6、   食品厂运来一批煤，原计划每天生产480千克，烧了预定的时间后，还剩下1680千克；改进烧煤方法后，实际每天烧400千克，烧了同样的时间后，还剩下4080千克。这批煤共有多少千克？

要求这批煤共有多少千克，先要求出预定烧的天数。计划烧后还剩1680千克，实际烧后还剩4080千克可求得实际比坟墓多剩多少千克，这是剩下总量之差，实际每天烧400千克，计划每天烧480千克，可求得每天烧煤量之差。根据这两个差，可求得烧了多少天。进而可求得烧了多少千克，这批煤共有多少千克。

有关栽树以及与栽树相似的一类应用题，叫做植树问题。植树问题通常有两种形式。一种是在不封闭的线路上植树，另一种是在封闭的线路上植树。

如果在一条不封闭的线路上可不可能，而且两端都植树，那么，植树的棵数比段数多。其数量关系如下：

总长＝株距×（棵数-1）

株距＝总长÷（棵数-1）

例1、 有一条公路全长500米，从头至尾每隔5米种一棵松树。可种松树多少棵？

例2、 从校门口到街口，一共插有30面红旗，相邻两面红旗相隔6米。从校门口到街口长多少米？

例3、 在一条长150米的大路两旁各栽一行树，起点和终点都栽，一共栽了102棵。每相邻两棵树之间的距离相等。相邻两棵树之间的距离有多少米？

例4、 在一个周长为600米的池塘周围植树，每隔10米栽一棵杨树，在相邻两棵杨树之间每隔2米栽1棵柳树。杨树和柳树各栽了多少棵？

根据“棵数=总长÷株距”，可以求出杨树的棵数

在每两棵杨树之间可分为10÷2=5段，栽柳树4-1=4棵。由此，可以求得柳树的棵数。

例5、 一条马路一侧，原有木电线杆97根，每相邻的两根相距40米。现在计划全部换用大型水泥电线杆，每相邻两根相距60米。需要大型水泥电线杆多少根？

例6、 一座大桥长200米，计划在大桥两侧的栏杆上共安装32块图案，每块图案长2米，靠近桥两端的图案离桥端10.5米。相邻两图案之间的距离是多少米？

在桥两侧共装32块图案，即每侧装16块，图案之间的间隔有16-1=15个。用总长减去16块图案的距离就可以知道15个间隔的长度。

在行车、行船、行走时，按照速度、时间和距离之间的相依关系，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题，叫做行程应用题。也叫行程问题。

行程应用题的解题关键是掌握速度、时间、距离之间的数量关系：

按运动方向，行程问题可以分成三类：

相向运动问题（相遇问题），是指地点不同、方向相对所形成的一种行程问题。两个运动物体由于相向运动而相遇。

解答相遇问题的关键，是求出两个运动物体的速度之和。

两地距离＝速度和×相遇时间

相遇时间＝两地距离÷速度和

速度和＝两地距离÷相遇时间

例1、 两列火车同时从相距540千米的甲乙两地相向而行，经过3.6小时相遇。已知客车每小时行80千米，货车每小时行多少千米？

例2、 两城市相距138千米，甲乙两人骑自行车分别从两城出发，相向而行。甲每小时行13千米，乙每小时行12千米，乙在行进中因修车候车耽误1小时，然后继续行进，与甲相遇。求从出发到相遇经过几小时？

因为乙在行进中耽误1小时。而甲没有停止，继续行进。也可以说，甲比乙多行1小时。如果从总路程中把甲单独行进的路程减去，余下的路程就是跽两人共同行进的。

例3、 计划开凿一条长158米的隧道。甲乙两个工程队从山的两边同时动工，甲队每天挖2.5米，乙队每天挖进1.5米。35天后，甲队调往其他工地，剩下的由乙队单独开凿，还要多少天才能打通隧道？

要求剩下的乙队开凿的天数，需要知道剩下的工作量和乙队每天的挖进速度。

要求剩下的工作量，要先求两队的挖进速度的和，35天挖进的总米数，然后求得剩下的工作量。

例4、 一列客车每小时行95千米，一列货车每小时的速度比客车慢14千米。两车分别从甲乙两城开出，1.5小时后两车相距46.5千米。甲乙两城之间的铁路长多少千米？

已知1.5小时后两车还相距46.5千米，要求甲乙两城之间的铁路长，需要知道1.5小时两车行了多少千米？要求1.5小时两车共行了多少千米。需要知道两车的速度。

例5、 客车从甲地到乙地需8小时，货车从乙地到甲地需10小时，两车分别从甲乙两地同时相向开出。客车中途因故停开2小时后继续行驶，货车从出发到相遇共用多少小时？

假设客车一出发即发生故障，且停开2小时后才出发，这时货车已行了全程的 ×2= ，剩下全程的1- = ，由两车共同行驶。

例6、 甲乙两地相距504千米，一辆货车和一辆客车分别从两地相对开出。货车每小时行72千米，客车每小时行56千米。如果要使两车在甲乙两地中间相遇，客车需要提前几小时出发？

要求“如果要使两车在甲乙两地中间相遇，客车需要提前几小时出发”要先求出货车和客车行一半路程各需要多少小时。

例7、 甲乙两人分别以均匀速度从东西两村同时相向而行，在离东村36千米处相遇。后继续前进，到达西村后及时返回，又在离东村54千米处相遇，东西两村相距多少千米？

两人第一次相遇，合走了一个全程，第二次相遇，2合走了3个全程。

两人合走了3个全程时，甲走了两个全程少54千米。

例8、 甲从A地到B地需5小时，乙从B地到A地，速度是甲的 。现在甲乙两人分别从AB两地同时出发，相向而行，在途中相遇后继续前进。甲到B地后立即返回，乙到A地后也立即返回，他们在途中又一次相遇。两次相遇点相距72千米。AB两地相距多少千米？

要求AB两地相距多少千米，关键是找出两次相遇点的距离占全程的几分之几

1、甲每小时行全程的几分之几

两个运动物体同向而行，一快一慢，慢在前快在后，经过一定时间快的追上慢的，称为追及。

解答追及问题的关键，是求出两个运动物体的速度之差。基本公式有：

追及距离＝速度差×追及时间

追及时间＝追及距离÷速度差

速度差＝追及距离÷追及时间

例2、            一个通讯员骑摩托车追赶前面部队乘的汽车。汽车每小时行48千米，摩托车每小时行60千米。通讯员出发后2小时追上汽车。通讯员出发的时候和部队乘的汽车相距多少千米？

要求距离差，需要知道速度差和追及时间。

距离差=速度差×追及时间

要求“骑自行车的人每分钟行多少米”，需要知道“两人的速度差”；要求“两人的速度差”需要知道距离差和追及时间

例5、            甲乙两人骑自行车同时从学校出发，同方向前进，甲每小时行15千米，乙每小时行10千米。出发半小时后，甲因事又返回学校，到学校后又耽搁1小时，然后动身追乙。几小时后可追上乙？

先要求得甲先后共耽搁了多少小时，甲开始追时，两人相距多少千米

例6、            甲乙丙三人都从甲地到乙地。早上六点甲乙两人一起从甲地出发，甲每小时行5千米，乙每小时行4千米。丙上午八点才从甲地出发，傍晚六点，甲、丙同时到达乙地。问丙什么时候追上乙？

要求“两追上乙的时间”，需要知道“丙与乙的距离差”和“速度差”。

要先求丙每小时行多少千米，再求丙追上乙要多少时间

例7、            快中慢三辆车同时从同一地点出发，沿着同一条公路追赶前面的一个骑车人。这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人。现在知道快车每小时行24千米，中车每小时行20千米，那么慢车每小时行多少千米？

快中慢三辆车出发时与骑车人的距离相同，根据快车和中车追上骑车人的路程差和时间差可求得骑车人的速度，进而求慢车每小时行多少千米。

设甲乙两人步行的速度分别为每小时7千米和5千米。

由相向而行，可求得AB两地韹距离，进而由速度差，求得追及时间。

背向运动问题（相离问题），是指地点相同或不同，方向相反的一种行程问题。两个运动物体由于背向运动而相离。

解答背向运动问题的关键，是求出两个运动物体共同走的距离（速度和）。基本公式有：

两地距离＝速度和×相离时间

相离时间＝两地距离÷速度和

速度和＝两地距离÷相离时间

甲乙两车从AB两地的中点同时相背而行。甲车以每小时40千米的速度行驶，到达A地后又以原来的速度立即返回，甲车到达A地时，乙车离B地还有40千米。乙车加快速度继续行驶，到达B地后也立即返回，又用了7.5小时回到中点，这时甲车离中点还有20千米。乙车加快速度后，每小时行多少千米？

乙车在7.5小时内行驶了（40×7.5+40+20）千米的路程，这样可以求得乙车加快后的速度。

根据“3小时后甲车在乙车前方15千米处”，可求得两车的速度差；根据“两车同时同地背向而行，2小时后相距150千米”，可求得两车的速度和。从而求得甲乙两车的速度（和差问题）

流水问题就是船在水中航行的行程问题。它有几种速度：

静水速度，船本身的速度，即船在静水中航行的速度。

水流速度，水流动的速度，即没有外力的作用水中漂浮的速度。

顺水速度，当船航行方向与水流方向一致时的速度。

逆水速度，当船航行方向与水流方向相反时的速度。

顺水速度＝静水速度+水流速度

逆水速度=静水速度–水流速度

例1、两码头相距108千米，一艘客轮顺水行完全程需要10小时，逆水行完全程需要12小时。求这艘客轮的静水速度和水流速度。

例2、一客轮顺水航行320千米需要8小时，水流速度每小时5千米。逆水每小时航行多少千米？这一客轮逆水行完全程，需要用几小时？

要求逆水速度，需要知道顺水速度和水流速度；知道了逆水速度，就可求得行完全程所需时间。

例3、某往返于甲乙两港，顺水航行每小时行15千米；逆水航行每小时行12千米，已知顺水行完全程比逆水少用2小时，求甲乙两港的距离。

顺水行完全程比逆水少用2小时,就是说，逆水行完全程多用2小时。行完全程逆水比顺水12×2=24千米。顺水每小时比逆水快15-12=3千米，由此，求得顺水行完全程所需时间，进而求得两港的距离。

由题中甲船逆水、顺水航行的距离和时间，可以求得甲船速度与水速的和及差，从而可以求出水速。

由乙船逆水航行的距离和时间，可以求得乙船在逆水中的速度；由乙船逆水速度水速可以求得乙船顺水速度，从而求得乙船返回原地需要的时间。

例5、        AB两港相距120千米，甲乙两船从AB两港相向而行6小时后相遇。甲船顺水航行，甲船比乙船多行48千米，水速每小时1.5千米。求甲乙两船的静水速度。

要求甲乙两船的静水速度，只需求出甲乙两船的静水速度的和与静水速度的差。

甲顺水速度+乙逆水速度=(甲静水速度+1.5)+(乙静水速度-1.5)= 甲静水速度+乙静水速度=20千米

把一定数量的东西平均分配，如果多分，东西不足；少分，东西有余。分物时出现盈(有余)、亏(不足)或尽(刚好分完)几种情况，这类问题叫做盈亏问题。

解答盈亏问题有下列几个公式：

(盈数+亏数)÷再次分物数量差=分物对象的个数

盈数÷两次分物数量的个数=分物对象的个数

亏数÷两次分物数数量差=分物对象的个数

(大盈数–小盈数)÷两次分物数量差=分物对象的个数

比较一下两次安排，第一次有14人没有座位，第二次又多4个座位，一盈一亏。两次相差14+4=18人。

这18人是由于第二次安排时每条船比第一次多坐7-5=2人，多出18人有几条船呢？

比较一下两次安排，第一次多出20人，第二次刚好，两次相差20人。这20人是疏于第二次安排时，每个房间比第一次多住5-3=2人

例5、            一列火车装运一批货物，原计划每节车皮装46吨，结果有100吨货物没有装上去；后来改进装车方法，使每节车皮多装4吨，结果把这批货物全部装完，而且还剩下两节空车皮。问这列火车有多少节车皮？这批货物有多少吨？

例6、            把许多橘子分给一些小朋友。如果其中3人，每人分给3只，其余小朋友每人分给3只，还余9只；如果其中2人分给3只，其余小朋友每人分给5只，恰好分尽。问橘子有多少只？小朋友有多少人？

将第一种分配方案转述为：每人分3只，还多(4-3)×3+9=12只；将第二种分配方案转述为：每人分5只，还少5-3=2只。

已知大小不相等的两部分，移多补少使两部分同样多的应用题，叫做差额平分问题。

通常的解答方法是：先求出两部分数量的差(差额)，再将其差平均分成两份，取其中一份，使两部分相等。

例1、 有甲乙两个书架。甲书架上有书940本，乙书架上有书1280本。要使两书架上书的本数相等，应从乙书架取多少本书放入甲书架？

先求出乙书架上的书比甲书架多多少本。再把差额平分成两份。

例2、 一班有学生52人，调6人到二班，两个班的学生人数相等。二班原来有学生多少人？

由“调6人到二班，两个班的学生人数相等”，可知，原来一班比二班多6×2=12人。由此求得二班原有人数。

例3、 甲仓有大米1584袋，乙仓有大米858袋，每天从甲仓运33袋到乙仓，几天后两仓的大米袋数相等？

要求“要运多少天”，先要求甲仓总共要运多少大米到乙仓，再求每天运33袋，要运多少天>

例4、 甲乙丙三个组各拿出相等的钱去习同样的数学书。分配时，甲组要22本，乙组要23本，丙组要30本。因此，丙组还给甲组13.5元，丙组还要还给乙组多少元？

先要求平均时，各组应分得多少本，甲组少分了多少本，乙组少分了多少本。每本多少元，然后再求丙组还要给乙组多少元。

例5、 、甲乙丙三校合买一批树苗。分配时，甲校比乙丙两校多分60棵，因此，甲校还给乙、丙两校各160元。每棵树苗多少元？

例6、 甲仓有粮食100吨，乙仓有粮食20吨。从甲仓调多少吨粮食到乙仓，乙仓的粮食是甲仓的2倍？

要求“从甲仓调多少吨粮食到乙仓，乙仓的粮食是甲仓的2倍”，需要知道“调粮后甲仓有多少吨”。

两仓一共有存粮多少吨，乙仓是甲仓的2倍，根据和倍应用题的解答方法，可求得调粮后甲仓有粮多少吨？再求要调出粮食多少吨。

糖与糖水重量的比值叫做糖水的浓度；盐与盐水的重量的比值叫做盐水的浓度。我们习惯上把糖、盐、叫做溶质(被溶解的物质)，把溶解这些 物质的液体，如水、汽油等叫做溶剂。把溶质和溶剂混合成的液体，如糖水、盐水等叫做溶液。

一些与浓度的有关的应用题，叫做浓度问题。

浓度问题有下面关系式：

浓度=溶质质量÷溶液质量

溶质质量=溶液质量×浓度

溶液质量=溶质质量÷浓度

溶液质量=溶质质量+溶剂质量

溶剂质量=溶液重量×(1–浓度)

加水稀释后，含盐量不变。所以要先求出含盐量，再根据含盐量求得稀释后盐水的重量，进而求得应加水多少克。

要求混合后的溶液浓度，需要知道混合后溶液的总重量及所含纯酒精的重量。

根据“要配制含盐20％的盐水100千克”可求得新的盐水中盐和水的重量。

最后杯中盐水的的重量仍为100克，因此只需要求出最后盐水中含有多少盐，就可求得最后盐水的浓度。要求剩下的盐，需要求出三次倒出的盐水中含有多少盐，每次倒出的盐水虽然都是40克，但是由于浓度不同，所以含盐量不相同。

应用最大公约数与最小公倍数方法求解的应用题，叫做公约数与人数公倍数问题。

解题的关键是先求出几个数的最大公约数或最小公倍数，然后按题意解答要求的问题。

截成的小段一定是18、24、30的最大公约数。先求这三个数的最大公约数，再求一共可以截成多少段。

例2、 一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？能截多少正方形？

要使截成的正方形面积尽可能大，也就是说，正方形的边长要尽可能大，截完后又正好没有剩余，这样正方形边长一定是60和36的最大公约数。

例3、 用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。如每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？

要把96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束，每束花里的红白花朵数同样多，那么做成花束的的个数一定是96和72的公约数，又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是96和72的最大公约数＞

例4、 公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。第一路车每隔5分钟发车一次，第二路车每隔10分钟发车一次，第三路车每隔6分钟发车一次。三路汽车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再同时发车？

这个时间一定是5的倍数、10的倍数、6的倍数，也就是说是5、10和6的公倍数，“最少多少时间”，那么，一定是5、10、6的最小公倍数。

例5、 某厂加工一种零件要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成3个；第二道工序每个工人每小时可完12个；第三道工序每个工人每小时可完成5个。要使流水线能正常生产，各道工序每小时至少安适几个工人最合理？

安排每道工序人力时，应使每道工序在相同的时间内完成同样多的零件个数。这个零件个数一定是每道工序每人每小时完成零件个数的公倍数。至少安排的人数，一定是每道工序每人每小时完成零件个数的最小公倍数。

例6、 有一批机器零件。每12个放一盒，就多出11个；每18个放一盒，就少1个；每15个放一盒，就有7盒各多2个。这些零件总数在300至400之间。这批零件共有多少个？

每12个放一盒，就多出11个，就是说，这批零件的个数被12除少1个；每18个放一盒，就少1个，就是说，这批零件的个数被18除少1；每15个放一盒，就有7盒各多2个，多了2×7＝14个，应是少1个。也就是说，这批零件的个数被15除也少1个。

如果这批零件的个数增加1，恰好是12、18和15的公倍数。

例7、 一个数除193余4，除1089余9。这个数最大是多少？

这个数除（193-4），没有余数，这个数除（1089-9）没有余数。这个数一定是（193-4）和（1089-9）的公约数。要求这个数最大，那么一定是这两个数的最大公约数。

例8、 公路上一排电线杆，共25根。每相邻两根间的距离原来都是45米，现在要改成60米，可以有几根不需要移动？

不需要移动的电线杆，一定既是45的倍数又是60的倍数。要先求45和60的最小公倍数和这条公路的全长，再求可以有几根不需要移动。

顺次差1 的几个整数叫做连续数。

顺次差2的几个偶数叫做连续偶数。

顺次差2的几个奇数叫做连续奇数。

已知几个连续数的和，求这几个连续数各是多少的应用题。叫做连续数问题。

连续数的每一个数叫一项。最前面的项叫首项，最后面的项叫末项，转眼间的项叫中项。各个项数的和叫总和。

{和–［1+2+3+……+(项数–1)］}÷项数=最小项(首项)

总和÷项数=中间项(中项)

(首项+末项)×项数÷2=总和

可以先求最大数，也可以先求最小数，还可以先求中间数。

连续的各数是：9、10、11、12、13、14、15。

解法二：（84－1－2－3－4－5－6）÷7＝9

解法三：当连续数的个数是奇数时，一般可以先求中间数。

第七个数比第二个数大2×（7-2）＝10，第七个数是第二个数的3倍，根据“差倍应用题”的计算方法，就可先求得第二个数。

七个连续奇数是：3、5、7、9、11、13、15。

七个连续的单号是：1、3、5、7、9、11、13。

解法三先求中间号：（略）

我们知道，求两个数的和，只要直接相加就可得到结果。但是在有的情况下，却不能直接相加，它关系到重叠部分的数量关系的问题，我们把这类问题称为“重叠问题”。

解答重叠问题的关键是要结合图形。在计算一个问题时，可以把总量分成几个分量来计算，先把每个分量加起来，然后再减去重叠计算的部分。

例1、  同学们去采集标本。采集昆虫标本的有32人，采集花草标本的有25人，两种标本都采集的有16人。去采集标本的共有多少人？

要求去采集标本的总人数，不能用32人和25人相加得到。在32人中包含有16人，在25人中也包含有16人。重复包含的16人加了两次。所以，还要减去重复计算的16人。

要求有几个同学两题都不对，先要求做对其中一题的有几人。

32+27＝59人，总数超过了全班人数。因为有一部分同学参加了两队。所以只要在总数中减去全班的人数，就是两队都参加的人数

从图中可以明显地看出，两门功课都得100分的有3人，在10人中计算了一次，在12人中又计算了一次。

要求四项活动都会的人数至少有多少人，首先要求出有一个项目不会的至多有多少人，然后从总人数中减去它。

先求得三个圆面积的和，再减去两两相交的重叠部分。这样三个圆相交部分的面积多减了一次，要加上它。

例7、             在26名同学中会打乒乓球的有13人，会打网球的有12人，会打羽毛球的有9人，既会打乒乓球又会打羽毛球的有2人，既会打羽毛球又会打网球的有3人。但没有人这三种球都会打，也没有人这三种球都不会打。有多少人既会打乒乓球又会打网球？

设既会打乒乓球又会打网球的有X人。

由图可知，只会打乒乓球的有（11-X）人；只会打网球的有（9-X）人；只会打羽毛球的有4人。一共有26人。由此可以列出方程。

以钟表上的时针和分针行走的速度、时间、距离等方面计算为内容的应用题，叫做时钟问题。

时钟问题可以理解为分针追时针的追及问题。解答这类问题的关键就是求“速度差”。

分针走60格的同时，时针只走了5格。也就是分针走一格，时针走 = 格。分针每分钟比时针多走1– = 格。这个速度差是固定不变的。

例1、   现在是下午4时正，5时以前时针与分针正好重合的时刻是几时几分？

这是分针追及时针的问题。4时正，分针在时针后20小格，两针重合的时刻也就是分针追上时针的时刻。分针与时针的速度差为每分钟1– 格。

例2、   现在是下午1时，再过多少时间，时针与分针第一次成直线(反方向)？

时针与分针成直线时，两针两针之间差30格。1点钟时，分针还在时针的后面，这时两针不可能成直线。显然，分针必须在越过时针后，才能出现两针成直线的情况。也就是说，从1点起，分针必须比时针多走（5+30）＝35格

例3、   2点与3点之间，时钟的两针第一次成直角的时刻是几时几分？

两针成直角时，两针之间相差15格，2点时，分针落后时针10格，必须让分针赶上时针，并超过时针15格，才能成直角，也就是说，分针要比时针多走10+15＝25格。

例4、   时钟的时针和分针由第一次成反方向开始到第二次再成反方向为止，中间一共需要多少时间？

第一次成反方向时，分针落后（或超过）时针30格，到第二次再成反方向时，分针必须比时针多走30+30＝60格

例5、   9时与10时之间，时针与分针正好成60度角，这时候的时间是多少？

60度即钟盘上10格。有两种情况：

分针与时针重合以前成60度角。9时，两针相差45格。即分针要比时针多走45-10＝35格

例6、   两针正好成60度角的时刻是5点40分，不需多少时间两针第一次重合？

解法一：可以考虑两针从现在时刻到第一次重合的路程差及速度差，直接求出所需时间。

将问题转化为：先求出从6时正开始到第一次重合所需时间然后加上前面的20分钟。

工程问题是一种典型的分数应用题。这类应用题的特点是：题中不给出工作量的具体数量，而用整体“1”来表示；工作效率以单位时间内完成工作总量的几分之几来表示，而后根据工作量、工作效率、和工作时间三者的关系来解答。

工作量÷工作效率=工作时间

在运用上面数量关系进行解答时，要注意工作量必须与完成这些工作量所需要的时间相对应。

例1、 甲乙两队合作某一项工程，12天可以完成；如果甲队工作2天，乙队工作3天，他们只能完成这项工程的20％。甲乙两队单独完成这项工程，各需多少天？

把“甲队工作2天，乙队工作3天，只能完成这项工程的20％”转换成“甲乙两队合作2天，乙再工作1天”。

把这项工程看作单位“1”，甲乙合做1天可完成这项工程的 ，合做2天可完成这项工程的 ×2，从而求得乙的工作效率：

乙单独完成这项工程的天数

甲队单独完成这项工程的天数

假定甲与乙一样工作3天，完成的工作量为 ×3＝ ，这时工作量必定超过20％，超过部分 +20％，就是甲队一天的工作量。

甲队单独完成这项工作所需时间

乙队单独完成这项工作所需时间

例2、 甲乙丙三个车队运输一批货物。甲乙两个车队在6天内运完 ，以后由乙丙两个车队合运2天，完成了余下货物的 ，最后甲乙丙三个车队合运5天才运完。甲队、乙队、丙队单独运输这批货物，各需多少天？

要求甲乙丙三队单独运输，各需多少天，要设法求得甲乙丙三队的工作效率。

甲乙两队的工作效率为 ÷6＝ ；

乙丙两队的工作效率为（1- ）× ÷2＝ ；

三队合做的工作效率为（1- ）×（1- ）÷5＝ 。

由此，可求得甲队、乙队、丙队的工作效率。

例3、 一项工程，原定100人，工作90天完成；工程进行15天后，由于采用先进工具和技术，平均每人工效提高了50％。完成这项工程可提前几天？

要求完成这项工程，可以提前几天，先要求出实际所用的天数；要求实际所用的天数，先要求出完成余下的工程所用的天数。全工程原定100人90天完成，那么，平均每人每天要完成全工程的 ；100人工作15天完成了全工程量的 ×100×15。余下全工程的（1- ×100×15）。采用先进技术后，每人工作效率是：［ ×（1+50％）］，进而求得余下的工程所用的天数。

例4、 有一水池，装有甲乙两个注水管，下面装有丙管排水。空池时，单开甲管5分钟可注满；单开乙管10分钟可注满。水池注满水后，单开丙管15分钟可将水放完。如果在空池时，将甲乙丙三管齐开，2分钟后关闭乙管，还要几分钟可以注满水池？

先求出甲乙丙三管齐开2分钟后，注满了水池的几分之几，还余下几分之几。再求余下的要几分钟。

例5、 一队割麦工人要把两块麦地的麦割去。大的一块麦地比小的一块大一倍。全队成员先用半天时间割大的一块麦地，到下午，他们对半分开，一半仍留在大麦地上，到傍晚时正好把大麦地的麦割完；另一半到小麦地去割，到傍晚时还剩下一小块，这一小块第二天由1人去割，正好1天割完。这个割麦队共有多少人？

把大的一块麦地算作单位“1”，小的一块麦地为 。根据题意，一半成员半天割了 ，一天割了 ，全队成员一天可割 ×2＝ 。

例6、 一项工程，甲工程队每天工作8小时,3天可以完成；乙工程队每天工作9小时，8天可以完成。如果两工程队合作，每天工作6小时，几天可以完成？

要求两队合做，几天可以完成，先要求出甲工程队每小时可以完成全工程的几分之几，乙工程队每小时可以完成全工程的几分之几。

例7、 一件工作，3个男工和4个女工一天能完成 ；3个女工和4个男工一天能完成 。如果由1个女工独做，几天可以完成？

要求由1个女工独做，几天可以完成，先要求得1个女工的工作效率；要求1个女工的工作量，先要求1个男工和2个女工一天的工作量。

“3个男工和4个女工一天能完成 ”和“3个女工和4个男工一天能完成 ”把这句话合并成；“7个男工和7个女工一天能完成这件工作的 + 。”

例8、 一项工程，甲独做10天完成，乙独做12天可以完成，丙独做15天完成。现在三人合作甲中途因病休息了几天，结果6天完成任务。甲休息了几天？

如果甲没有休息，那么甲乙丙都工作了6天，完成了工程量的几分之几，超过了几分之几，然后求得甲休息了几天。

牛顿问题也叫牛吃草问题。由于这个问题是由伟大的科学家牛顿提出来的，所以以后就把这类问题叫做牛顿问题。牛顿问题的特点是随着时间的增长所研究的量也等量地增加，解答时，要抓住这个关键问题，也就是要求出原来的量和增加的量各是多少。

牧场上长满牧草，每天匀速生长。这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。供25头牛吃几天？

牧草的总量不定，它是随时间的增加而增加。但是不管它怎样增长，草的总量总是由牧场原有草量和每天长出的草量相加得来的。

10头牛20天吃的总草量比15头牛10天吃的草量多，多出部分相当于10天新长出的草量。

设法求出一天新长出的草量和原有草量。

1、10头牛20天吃的草可供多少牛吃一天？

2、15头牛10天吃的草可供多少 头牛吃一天

3、(20–10)天新长出的 草可供多少头牛吃一天？

4、每天新长出的草可供多少头牛吃一天？

5、20天(或10天)新长出的草可供多少头牛吃一天？

6、原有的草可供多少头牛吃一天？

7、每天25头牛中，如果有5头牛去吃新长出的草，其余的牛吃原有的草，可吃几天？

例2、有一水井，连续不断涌出泉水，每分钟涌出的水量相等。如果用3 台抽水机抽水，36分钟可以抽完；如果用5台抽水机抽水，20分钟可以抽完。现在12分钟要抽完井水，需要抽水机多少台？

随着时间的增长涌出的泉水也不断增多，但原来水量和每分钟涌出的水量不变。

例3、一片青草，每天生长速度相等。这片青草可共10头牛吃20天，或共60只羊吃10天。如果1头牛吃的草量等于4 只羊吃的草量，那么10头牛与60只羊一起吃，可以吃多少天？

先把题目进行转化。因为1头牛吃的草量等于4 只羊吃的草量。由此，题目可以转换成：这片青草可供(4×10)只羊吃20天，或供60只羊吃10天，问(4×10+60)只羊吃多少天？

1、(4×10)只羊20天吃的草可供多少只羊一天？

2、60只羊10天吃的草可供多少只羊吃一天？

3、(20–10)天新长出的草可供多少只羊吃一天？

4、每天的新长出的草可供多少只羊吃一天？

汉朝大将韩信善于用兵。据说韩信每当部队集合，他只要求部下士兵作1~3、1~5、1~7报数后，报告一下特各次的余数，便可知道出操公倍数和缺额。

这个问题及其解法，大世界数学史上颇负盛名，中外数学家都称之为“孙子定理”或“中国剩余定理”。

这类问题的解题依据是：

例1、 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2。求适合这些条件的最小的数。

例2、 一个数除以3余2，除以5余2，除以7余4，求适合这些条件的最小的数。

例3、 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合这些条件的最小的数。

例4、 我国古代算书上有一道韩信点兵的算题：卫兵一队列成五行纵队，末行一人；列成六行纵队末行五人；列成七行纵队，末行四人；列成十一行纵队，末行十人。求兵数。