【三维设计】2015高中数学 第三章 直线与方程学案 新人教A版必修2.doc

【三维设计】2015高中数学 第三章 直线与方程学案 新人教A版必修2 _3.1直线的倾斜角与斜率 3．1.1　倾斜角与斜率 直线的倾斜角 [提出问题] 在平面直角坐标系中，直线l经过点P. 问题1：直线l的位置能够确定吗？ 提示：不能． 问题2：过点P可以作与l相交的直线多少条？ 提示：无数条． 问题3：上述问题中的所有直线有什么区别？ 提示：倾斜程度不同． [导入新知] 1.倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是APx，直线l′的倾斜角是BPx. 2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. 3．倾斜角与直线形状的关系 倾斜角 α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 直线 [化解疑难] 对直线的倾斜角的理解 (1)倾斜角定义中含有三个条件： x轴正向；直线向上的方向；小于180°的非负角． (2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角． (3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度． (4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等. 直线的斜率 [提出问题] 日常生活中，常用坡度(坡度＝)表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度＞. 问题1：对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？ 提示：可以． 问题2：由上图中坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？ 提示：可以． 问题3：通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？ 提示：与倾斜角的正切值相等． [导入新知] 1．斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tan_α. 2．斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率． 3．斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度． [化解疑难] 1．倾斜角α与斜率k的关系 (1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)． (2)直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大． 2．斜率公式 (1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说， 如果分子是y2－y1，分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，分母必须是x1－x2，即k＝＝. (2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论． 直线的倾斜角 [例1]　(1)若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为(　　) A．30°　　　　　　　B．60° C．30°或150° D．60°或120° (2)下列说法中，正确的是(　　) A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α B．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α C．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0 D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α [解析]　(1)如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°. (2)对于A，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B，虽然直线的斜率为tan α，但只有0°≤α＜180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C，当直线平行于x轴时，α＝0°，sin α＝0，故C不正确，故选D. [答案]　(1)D　(2)D [类题通法] 求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． (2)两点注意：当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. 注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. [活学活用] 1．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是(　　) A．[0°，90°)　　　　　　　　　　B．[90°，180°) C．(90°，180°) D．(0°，180°) 解析：选C　直线倾斜角的取值范围是