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1、实用标准2.5 拉氏变换与反变换 机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。2.5.1 拉普拉斯变换的定义 如果有一个以时间 为自变量的实变函数 ，它的定义域是 ，那么 的拉普拉斯变换定义为(2.10) 式中， 是复变数， （、均为实数）， 称为拉普拉斯积分； 是函数 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 为 的象函数，而称 为 的原函数；L是表示进行拉普拉斯变换的符号。 式（2.1

2、0）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数 。2.5.2 几种典型函数的拉氏变换1.单位阶跃函数 的拉氏变换单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为单位阶跃函数如图2.7所示，它表示在 时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。单位阶跃函数的拉氏变换式为当 ，则 。所以 （2.11）图2.7 单位阶跃函数2.指数函数的拉氏变换指数函数也是控制理论中经常用到的函数，其中 是常数。令 则与求单位阶跃函数同理，就可求得 （2.12）3.正弦函数与余弦函数的拉氏变换设，则由欧

3、拉公式，有所以(2.13）同理 (2.14）4.单位脉冲函数 (t) 的拉氏变换单位脉冲函数是在持续时间期间幅值为的矩形波。其幅值和作用时间的乘积等于1，即。如图2.8所示。图2.8 单位脉冲函数单位脉冲函数的数学表达式为其拉氏变换式为此处因为时，故积分限变为。(2.15) 5.单位速度函数的拉氏变换单位速度函数，又称单位斜坡函数，其数学表达式为见图2.9所示。图2.9 单位速度函数单位速度函数的拉氏变换式为利用分部积分法令则所以当时，,则（2.16）6.单位加速度函数的拉氏变换单位加速度函数的数学表达式为如图2.10所示图2.10 单位加速度函数其拉氏变换式为（2.17）2.5.3 拉氏变换

4、的主要定理根据拉氏变换定义或查表能对一些标准的函数进行拉氏变换和反变换，但利用以下的定理，则对一般的函数可以使运算简化。1.叠加定理拉氏变换也服从线性函数的齐次性和叠加性。（1）齐次性 设，则（2.18）式中常数。（2）叠加性 设,，则（2.19）两者结合起来，就有这说明拉氏变换是线性变换。2.微分定理设则式中函数在 时刻的值，即初始值。 同样，可得的各阶导数的拉氏变换是（2.20）式中,，原函数各阶导数在时刻的值。如果函数及其各阶导数的初始值均为零（称为零初始条件），则各阶导数的拉氏变换为（2.21）3.复微分定理若 可以进行拉氏变换，则除了在 的极点以外，（2.22）式中， 。同样有一般地

5、，有（2.23）4.积分定理设 ，则（2.24）式中积分 在 时刻的值。当初始条件为零时，（2.25）对多重积分是（2.26）当初始条件为零时，则（2.27）5.延迟定理设 ，且 时， ，则（2.28）函数为原函数沿时间轴延迟了，如图2.11所示。图2.11 函数6.位移定理在控制理论中，经常遇到 一类的函数，它的象函数只需把 用代替即可，这相当于在复数坐标中，有一位移。设，则（2.29）例如 的象函数，则的象函数为7.初值定理它表明原函数在 时的数值。（2.30）即原函数的初值等于 乘以象函数的终值。8.终值定理设，并且 存在，则（2.31）即原函数的终值等于乘以象函数的初值。 这一定理对于

6、求瞬态响应的稳态值是很有用的。9.卷积定理设，则有（2.32）即两个原函数的卷积分的拉氏变换等于它们象函数的乘积。式（2.32）中， 为卷积分的数学表示，定义为10.时间比例尺的改变（2.33）式中 比例系数例如,的象函数 ,则 的象函数为11.拉氏变换的积分下限在某些情况下,在 处有一个脉冲函数。这时必须明确拉普拉斯积分的下限是 还是 ，因为对于这两种下限， 的拉氏变换是不同的。为此，可采用如下符号予以区分：若在 处 包含一个脉冲函数，则因为在这种情况下显然，如果 在处没有脉冲函数，则有2.5.4 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换的公式为 （2.36）式中 表示拉普拉斯反变换的符号通常用部分分式

7、展开法将复杂函数展开成有理分式函数之和，然后由拉氏变换表一一查出对应的反变换函数，即得所求的原函数 。1.部分分式展开法在控制理论中，常遇到的象函数是的有理分式 为了将 写成部分分式，首先将 的分母因式分解，则有式中， ， ， 是的根的负值，称为的极点，按照这些根的性质，可分为以下几种情况来研究。2. 的极点为各不相同的实数时的拉氏反变换 （2.37）式中， 是待定系数，它是 处的留数，其求法如下（2.38）再根据拉氏变换的迭加定理，求原函数例 2.1 求的原函数。解: 首先将 的分母因式分解，则有 即得 3.含有共轭复数极点时的拉氏反变换如果 有一对共轭复数极点 , ，其余极点均为各不相同的

8、实数极点。将 展成式中, 和 可按下式求解即（2.39）因为(或 ）是复数，故式（2.39）两边都应是复数，令等号两边的实部、虚部分别相等，得两个方程式，联立求解，即得， 两个常数。例 2.2 已知,试求其部分分式。 解: 因为（2.40）含有一对共轭复数极点, 和一个极点 ，故可将式（2.40）因式分解成（2.41）以下求系数 、 和 。由式（2.40）和式（2.41）相等，有（2.42） 用乘以上式两边，并令，得到上式可进一步写成由上式两边实部和虚部分别相等，可得联立以上两式，可求得为了求出系数,用乘方程（2.42）两边，并令,将 代入，得 将所求得的 , 值代入（2.41），并整理后得的

9、部分分式查拉氏变换表便得， 结果见式（3.16）。例 2.3 已知求。解: 将的分母因式分解，得利用方程两边实部、虚部分别相等得解得，所以这种形式再作适当变换：查拉氏变换表得4.中含有重极点的拉氏反变换 设有r个重根，则将上式展开成部分分式（2.43） 式中，的求法与单实数极点情况下相同。，的求法如下：则(2.44） 例 2.4 设 ，试求 的部分分式。 解: 已知（2.45）含有2个重极点，可将式（2.45）的分母因式分解得（2.46） 以下求系数、和。将所求得的、值代入式（2.46），即得的部分分式查拉氏变换表可得。例 2.5 求的拉氏反变换。 解: 将展开为部分分式上式中各项系数为 于是

Works公司的软件产品，是一个高级的数值分析、处理与计算的软件，其强大的矩阵运算能力和完美的图形可视化功能，使得它成为国际控制界应用最广的首选计算机工具。SIMULINK是基于模型化图形的动态系统仿真软件，是MATLAB的一个工具箱，它使系统分析进入一个崭新的阶段，它不需要过多地了解数值问题，而是侧重于系统的建模、分析与设计。其良好的人机界面及周到的帮助功能使得它广为科技界和工程界所采用。(2) 用MATLAB进行部分分式展开MATLAB有一个命令用于求B(s)/A(s)的部分分式展开式。 设s的有理分式为

1命令r,p,k=residue(num,den)将得到如下结果：r,p,k=residue(num,den)r=1..0000p=-1.0-1.0000k= 所以可得注意，本例的余项k为零。2.5.5 应用拉氏变换解线性微分方程应用拉氏变换解线性微分方程时，采用下列步骤：(1) 对线性微分方程中每一项进行拉氏变换，使微分方程变为 的代数方程；(2) 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式

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  学习并研究拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换有关理论; 3、利用 Matlab 编程,完成拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换分析与处理; 4、写出课程设计报告,打印程序,给出运行结果。...

• 一、复数和复变函数 1、复数的三种表现形式： 坐标形式： 三角形式： 指数形式： 2、复变函数：复数集E内的每一个复数z=a+b*i，都有(唯一确定的/无穷多个/有限个)复数与之对应,可以确定（单值/多值）复变函数。 ...

  1、复数的三种表现形式：

  复数集E内的每一个复数z=a+b*i，都有(唯一确定的/无穷多个/有限个)复数与之对应,可以确定（单值/多值）复变函数。

  极点：分母为零的点，即G(s)=∞时,s=p1,p2叫做G(s)的极点；

  拉氏变换是将时间函数f(t)变换为复变函数F(s)的函数。拉氏变换建立了时域与复频域(s域)之间的联系。

  式中，s=a+b*i为复变数,f(t)又称为原函数，F(s)又称为象函数。

  拉氏变换是将时间函数F(s)变换为复变函数f(t)的函数。

  式中，s=a+b*i为复变数,f(t)又称为原函数，F(s)又称为象函数。

  3、典型时间函数的拉氏变换

  推倒可得：（正余弦函数拉氏变换推导使用）

  齐次性：L[a*f(t)]=a*F(s)、叠加性：，齐次性和叠加性的组合起来就是拉氏变换的线形性质

  原函数在t=0处的初值，等于s*【F(s)的终值】

  原函数在t=+∞处的终值，等于s*【F(s)的初值】

  两个原函数卷积的拉氏变换=它们象函数的乘积

  拉氏逆变换有三种方法：查表法、留数定理法、部分分式法。

  1、查表法：由拉氏变换表直接查出与像函数F(s)对应的原函数f(t)。

  2、留数定理法：利用留数定理计算像函数的原函数。

  3、部分分式法：先把像函数分解为部分分式，再对各个分式进行逆变换。

  这里给出了拉氏逆变换例题的网址，读者可以自行练习。

  e=L_1-y %做差检查结果是否正确 %原函数与象函数图像绘制

• 当我们想用subs函数中s/t取具体值带入得到的拉氏变换/反拉氏变换公式中时发现，会报错“未定义函数或变量 ‘s’。”如图：
  那么明明F中已经有s了，为什么还会出现这种错误呢？

  经过查阅资料以及对比发现，不管是拉氏变换，还是拉氏反变换，得出的结果都是1x1 sym类型，那什么是sym类型呢？

  2.什么是sym类型？

  sym是一种符号数字、符号变量、符号对象。可以通过class(S)来验证，这里S是一个符号对象。同时也可以通过sym创建符号对象。

  【恍然大悟】：我到这里才明白了为什么syms用于创建符号变量和函数，这分明就是sym的复数形式啊！！！创建一个符号对象用sym，创建一个或多个符号对象用syms。因此，我们习惯直接使用syms，而将sym函数逐渐置之度外。

  那么，如何带入具体数值计算sym表达式的解呢？

转变为double类型的目的是使替换后的值方便之后计算。因为double 是 MATLAB中的默认数值数据类型，它可为大多数计算任务提供足够的精度。 而如果不加double，则替换后的类型为sym类型，仍无法进行计算。

ok，如果帮助到你，记得点个赞哟~

1. 求下列函数的拉式变换。

2. 求下列函数的拉式变换，注意阶跃函数的跳变时间。

3. 求下列函数的拉普拉斯逆变换。

4. 分别求下列函数的逆变换的初值和终值。

如图1所示电路，0=t

以前，开关S 闭合，已进入稳定状态；0=t 时，开关打开，求()t v r 并讨

论R 对波形的影响。 6.

电路如图2所示，0=t 以前开关位于”“1，电路以进入稳定状态，0=t 时开关从”“1倒向”

“2，求电流()t i 的表示式。 7. 电路如图3所示，0=t

以前电路原件无储能，0=t 时开关闭合，求电压()t v 2的表示式和波形。

激励信号()t e 波形如图()a 4所示电路如图()b 4所示，起始时刻L 中无储能，求()t v 2得表示式和波形。

电路如图5所示，注意图中()t Kv 2是受控源，试求

（1） 写出电压转移函数()()

； （2） 画出s 平面零、极点分布； （3）

求冲激响应、阶跃响应。

12. 如图7所示电路，

（1） 若初始无储能，信号源为()t i ，为求()t i 1（零状态响应），列出转移函数()s H ； （2）