专题训练(三) 与函数有关的最值问题类型之一由不等关系确定的最值问题

1.某工厂以每吨 3000 元的价格购进 50 吨原料进行加工，两种加工方式如下表：

(1)有多少种生产方案？

(2)现要把生产的全部桌椅运往地震灾区，已知每套A 型桌椅

的生产成本为 100 元，运费为2 元；每套B 型桌椅的生产成本为 120

元，运费为 4 元，求总费用y(元)与生产A 型桌椅x(套)之间的关

系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用．(总费用＝

现将这 50 吨原料全部加工完．(粗加工与精加工不能同时进

(1)设其中粗加工x 吨，共获利y 元，求y 与x 的函数关系式；

(不要求写出自变量的取值范围)

(2)如果必须在 20 天内加工完，如何安排生产才能获得最大

利润？最大利润是多少？

类型之二由一次函数确定的最值问题

2.某工厂计划为地震灾区生产A，B 两种型号的学生桌椅

500套，以解决 1250 名学生的学习问题，一套A 型桌椅(一桌两椅)

需木料 0.5 m3，一套B 型桌椅(一桌三椅)需木料 0.7 m3，工厂现

类型之三由二次函数确定的最值问题

3.一个边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形

使矩形PNDM 有最大面积．

每吨加工费每吨加工时间成品每吨售价

聚焦直线系、圆系方程的应用

一、过定点直线系方程在解题中的应用

(2)(3)1x y -+-=的切线的方程． 分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.

∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径1

点评：对求过定点（0x ，0y ）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为: 00()()0A x x B y y -+-=，注意的此方程表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．

∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径1

A B =≠． 故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=． 二、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用

例2 求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解. 解析：设所求直线方程为：21(21)0x y x y λ+++-+=，

1、以角?的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标

系，在角?的终边上任取一个异于原点的点P(x,y)，点P到原点的距离记为r，则

相位是?x??，初相是?；其图象的对称轴是直线?x???k???

2(k?Z)，凡是该图象与直线y?B的交点都

5、三角函数的单调区间：

17、特殊角的三角函数值：

18、正弦定理是（其中R表示三角形的外接圆半径）：

由余弦定理第二形式，cosB= 2ac

20、△ABC的面积用S表示，外接圆半径用R表示，内切圆半径用r表

示，半周长用p表示则：

25、和差化积公式： 12

1、 若集合A中有n(n?N)个元素，则集合A的所有不同的子集个数为

2n，所有非空真子集的个数是2n?2。

二次函数y?ax2?bx?c的图象的对称轴方程是x??b，顶点坐2a

?b4ac?b2?标是???2a4a??。用待定系数法求二次函数的解析式时，解??

析式的设法有三种形式，即f(x)?ax2?bx?c（一般式），

2、 幂函数y?x ，当n为正奇数，m为正偶数，m<n时，其大致图象

??)，单调递增区间是由图象知，函数的值域是[0，

s的定义域是[-1，1]，值域是[0，?]，非奇非偶，减函数； y?arccox

x y?arcctg的定义域是R，值域是(0，?)，非奇非偶，减函数。

对任意的x?R，有： ?2

3、最简三角方程的解集：

nn1、若n为正奇数，由a?b可推出a?b吗？ （ 能 ）

若n为正偶数呢？ （仅当a、b均为非负数时才能）

2、同向不等式能相减，相除吗 （不能）

能相加吗？ （ 能 ）

能相乘吗？ （能，但有条件）

3、两个正数的均值不等式是：a?b?ab 2

三个正数的均值不等式是：a?b?c?abc 3

4、两个正数a、b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是

左边在ab?0(?0)时取得等号，右边在ab?0(?0)时取得等号。

2、等比数列的通项公式是an?a1qn?1，

如果无穷数列?an?的前n项和的极限limSn存在，就把这个极限称为这n??

个数列的各项和（或所有项的和），用S表示，即S=limSn。 n??

4、若m、n、p、q∈N，且m?n?p?q，那么：当数列?an?是等差数

1、 i怎样计算？（先求n被4除所得的余数，i

左边在复数z1、z2对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在

它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系？ 都位于圆心在原点，半径为r的圆上，并且把这个圆n等分。

A、B，则△AOB（O为坐标原点）的面积是

8、 复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹：

①argz??(?为实常数)?轨迹为一条射线。 ②arg(z?z0)??(z0是复常数， ?是实常数）?轨迹为一条射线。 ③z?z0?r(r是正的常数）?轨迹是一个圆。 ④z?z1?z?z2(z1、z2是复常数)?轨迹是一条直线。 ⑤z?z1?z?z2?2a(z1、z2是复常数，a是正的常数）?轨迹有三种可能情形：a)当2a?z1?z2时，轨迹为椭圆；b)当

2a?z1?z2时，轨迹为一条线段；c)当2a?z1?z2时，轨迹不存在。

七、 排列组合、二项式定理

1、 加法原理、乘法原理各适用于什么情形？有什么特点？ 加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关。

2、 数轴上两点间距离公式：?xB?xA

3、 直角坐标平面内的两点间距离公式：

6、求直线斜率的定义式为k=tg?，两点式为k=

7、直线方程的几种形式：

注意：这个结论只能用来做选择题或者填空题，若是做解答题，只能按照求切线方程的常规过程去做。

14、研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种，即：

半径、小于半径，等价于直线与圆相离、相切、相交。

15、抛物线标准方程的四种形式是：y?2px，y??2px，

16、抛物线y?2px的焦点坐标是：?

2222p?p? ，0?，准线方程是：x??。2?2? 若点P(x0,y0)是抛物线y?2px上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：x0?p，过该抛物线的焦点且垂直于抛2

物线对称轴的弦（称为通径）的长是：2p。

17、椭圆标准方程的两种形式是：2?2?1和2?2?1

x??，离心率是e?，通径的长是。其中c?a?b。

其左、右焦点，则点P的焦半径的长是PF1?a?ex0和

20、双曲线标准方程的两种形式是：2?2?1和2?2?1

0)，准线方程是x??21、双曲线2?2?1的焦点坐标是(?c，，

离心率是e?，通径的长是，渐近线方程是2?2?0。

22、与双曲线2?2?1共渐近线的双曲线系方程是

24、圆锥曲线的焦参数p的几何意义是焦点到准线的距离，对于椭圆和b2双曲线都有：p?。 c

25、平移坐标轴，使新坐标系的原点O?在原坐标系下的坐标是（h，k），

若点P在原坐标系下的坐标是(x,y)，在新坐标系下的坐标是(x?,y?)，则x?=x?h，y?=y?k。

九、 极坐标、参数方程

1、 经过点P0(x0,y0)的直线参数方程的一般形式是：

2、 若直线l经过点P0(x0,y0)，倾斜角为?，则直线参数方程的标准形

意义是：有向线段P0P的数量。

若点P1、P2、P是直线l上的点，它们在上述参数方程中对应的参数分别是t1、t2和t，则：P1P2?t1?t2；当点P分有向线段

3、圆心在点C(a，b)，半径为r的圆的参数方程是：

3、 若以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点

4、 经过极点，倾斜角为?的直线的极坐标方程是：???或?????，

0)，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是：?cos??a，经过点(a， 经过点(a)且平行于极轴的直线的极坐标方程是：?sin??a， ?

5、 圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程是??r；

圆心在点(a，0)，半径为a的圆的极坐标方程是??2acos?； 圆心在点(a)，半径为a的圆的极坐标方程是??2asin?； ?

圆心在点(?0，?0)，半径为r的圆的极坐标方程是

1、求二面角的射影公式是cos??S?，其中各个符号的含义是：S是二S

面角的一个面内图形F的面积，S?是图形F在二面角的另一个面内的射影，?是二面角的大小。

2、若直线l在平面?内的射影是直线l?，直线m是平面?内经过l的斜足的一条直线，l与l?所成的角为?1，l?与m所成的角为?2, l与m所成的角为θ，则这三个角之间的关系是cos??cos?1?cos?2。

斜棱柱体积：V?S??l（其中，S?是直截面面积，l是侧棱长）； 锥体：V?11S?h，圆锥体：V??r2?h。 33

直棱柱侧面积：S?c?h，斜棱柱侧面积：S?c??l；

弧长公式：l???r（?是圆心角的弧度数，?>0）；

扇形面积公式：S?1l?r； 2r?2?； lR?r?2?。 l 圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角公式：?? 圆台侧面展开图（扇环）的圆心角公式：??

经过圆锥顶点的最大截面的面积为（圆锥的母线长为l，轴截面顶角

a7、 合分比定理：?b

a8、 分合比定理：?b6、 分比定理：

十二、复合二次根式的化简

式使用上述公式化简比较方便。 A?B的根