—元函数积分学中，我们曾经用和式的极限来定义一元函数f(x)在区间［/町上的定 积分，并已经建立了定积分理论，本章将把这一方法推广到多元函数的情形，便得到重 积分的概念?本章主要讲述多重积分的概念、性质、计算方法以及应用.

第1节二重积分的概念与性质

下面我们通过计算曲顶柱体的体积和平面薄片的质量，引出二重积分的定义.

1.11.曲顶柱体的体积

曲顶柱体是指这样的立体，它的底是XOy平面上的一个有界闭区域D ,其侧面是以 D的边界为准线的母线平行于Z轴的柱面.其顶部是在区域D上的连续函数 z=f(χ,y),且/(x,y)≥0所表示的曲面(图10—1).

现在讨论如何求曲顶柱体的体积.

分析这个问题，我们看到它与求曲边梯形的面积问题是类似的?可以用与定积分类似 的方法(即分割、近似代替、求和、取极限的方法)来解决(图10-2) ?

⑴分割闭区域D为"个小闭区域

同时也用」q表示第，个小闭区域的面积，用d(」q)表示区域」q的直径(一个闭区域的 直径是指闭区域上任意两点间距离的最大值)，相应地此曲顶柱体被分为”个小曲顶柱 体.

在每个小闭区域上任取一点

对第「个小曲顶柱体的体积，用高为/(《，仏)而底为的平顶柱体的体积来近似 代替.

这“个平顶柱体的体积之和

就是曲顶柱体体积的近似值.

用久表示“个小闭区域"的直径的最大值，即2 =既〃(“).当几TO (可理解 为收缩为一点)时，上述和式的极限，就是曲顶柱体的冠积：

1.1.2平面薄片的质量

先分割闭区域D为“个小闭区域

在每个小闭区域上任取一点

近似地，以点忆心)处的面密度piξi,η.)代替小闭区域」q上各点处的面密度， 则得到第i块小薄片的质量的近似值为p(?,/ZI)Jσ.,于是整个薄片质量的近似值是 用Λ = ≡xJ(Jσ.)表示“个小闭区域"的直径的最大值，当D无限细分，即当 2T0时，丘和式的极限就是薄片的质量M ,即

以上两个具体问题的实际意义虽冠不同，但所求量都归结为同一形式的和的 极限.抽象出来就得到下述二重积分的定义.

定义1设D是XOy平面上的有界闭区域，二元函数z=f(x,y)在D上有界.将 D分为"个小区域

若2T0时，S”的极限存在(它不依矗于Z)的分法及点(气心)的取法)，则称这个 极限值为函数Z=f(χ,y)在D上的二重积分，记^∫∫∕(x,y)dσ,即

其中D叫做积分区域，/(■)；叫做被积函数，力叫做面积元素，/(x,y)力叫 做被积表达式，X与y叫做积分变量，∑∕(<√A)Δσ,叫做积分和.

在直角坐标系中，我们常用平行于:轴和y轴的直线(y二常数和X=常数)把区 域Z)分割成小矩形，它的边长是Ar和0,从而?σ = ?χ- -?y ,因此在直角坐标系中 的面积元素可写成dσ = dx dy,二重积分也可记作

有了二重积分的定义，前前的体积和质量都可以用二重积分来表示.曲顶柱体 的体积U是函数z=f(x,y)在区域Q上的二重积分

薄片的质量M是面密度P = Ax,y)在区域Z)上的二重积分

因为总可以把被积函数z=f(χ,y)看作空间的一曲面，所以当f(χ,y)为正时， 二重积分的儿何意义就是曲顶柱体的体积；当f(χ,y)为负时，柱体就在XOy平面 下方，二重积分就是曲顶柱体体积的负值.如果/Cr,y)在某部分区域上是正的，而 在其余的部分区域上是负的，那么f(x,y)在D上的二重积分就等于这些部分区域 上柱体体积的代数和.

如果f(x,y)在区域Z)上的二重积分存在(即和式的极限(IO-I-I)存在)，则称 /(.)，)在Z)上可积.什么样的函数是可积的呢与一元函数定积分的情形一样，我们 只叙述有关结论，而不作证明.

如果f(x,y)是闭区域D上连续，或分块连续的函数，则f(χ,y)在D上可积? 我们总假定z=f(χ,y)在闭区域D上连续，所以〃,)，)在D上的二重积分都是 存在的，以后就不再一一加以说明.

1.1.3二重积分的性质

设二元函数f(x,y),^χ,y)在闭区域D上连续，于是这些函数的二重积分存在. 利用二重积分的定义，可以证明它的若干基本性质.下面列举这些性质.

性质1常数因子可提到积分号外面.设k是常数，则

性质2函数的代数和的积分等于各函数的积分的代数和，即

性质3设闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则Z)上的二重积分 等于各部分闭区域上的二重积分的和.

性质3表示二重积分对积分区域具有可加性. 性质4设在闭区域Q上γ?(x,y) = l,。为D的面积，则

从儿何意义上来看这是很明显的?因为高为1的平顶柱体的体积在数值上就等 于柱体的底面积.

这就是说，函数二重积分的绝对值必小于或等于该函数绝对值的二重积分. 性质6设分别为f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，。为Z)的面 积，则有

性质7设函数f(x,y)在闭区域D上连续，。是Q的面积，则在Q上至少存在 一点? ")使得

这一性质称为二重积分的中值定理.

因/(A-,y)在有界闭区域D上连续，根据有界闭区域上连续函数取到最大值、 最小值定理，在D上必存在一点CsyJ使/(χl,y1)等于最大值M ,又存在一点 (七*2)使f(χ2d2)等于最小值加‘则对于￡＞上所有点(x9y) t有

根据闭区域上连续函数的介值定理知，D上必存在一点?“)，使得

二重积分中值定理的儿何意义可叙述如下：

当S?.z=f(x,y)为空间一连续曲面时，对以S为顶的曲顶柱体，必定存在一个 以D为底，以￡＞内某点(ξt 〃)的函数値f(ξ, 〃)为高的平顶柱体，它的体积/(§, 〃)-(7就

等于这个曲顶柱体的体积.

根据二重积分的儿何意义，确定下列积分的值：

根据二重积分性质，估计下列积分的值：

只有少数二重积分(被积函数和积分区域特别简单)可用定义计算外，一般情 况下要用定义计算二重积分相当困难.下面我们从二重积分的儿何意义出发，来 介绍计算二重积分的方法，该方法将二重积分的计算问题化为两次定积分的计算 问题.

在儿何上，当被积函数/(s)≥0时，二重积分∫∫∕Uy)dσ的值等于以Q为底，

以曲面z=f(χ,y)为顶的曲顶柱体的体积.下面我们用“切片法”来求曲顶柱体的体积

用平行于Mz坐标面的平面x≈xo(a≤xo≤b)去截曲顶柱体，得一截面，它是一 个以区间［0∣(χo), 0(*o)］为底，以Z ≈f(χ0iy)为曲边的曲边梯形(见图1 ~ ),所以 这截面的面积为

由此，我们可以看到这个截面面积是X(I的函数.一般地，过区间［“,〃］上任一点 且平行于yθz坐标面的平面，与曲顶柱体相交所得截面的面积为

其中y是积分变量，X在积分时保持不变.因此在区间［d,b］上，4(x)是X的函 数，应用计算平行截面面积为已知的立体体积的方法，得曲顶柱体的体积为

上式右端是一个先对V ,首对X积分的二次积分或累次积分?这里应当注意的是： 做第一次积分时，因为是在求兀处的截面积A(x),所以X是之间任何一个固定 的值，y是积分变量；做第二次积分时，是沿着X轴累加这些薄片的体积 A(A)JX ,所以X是积分变量.

在上面的讨论中，开始假定了 f(χ,y)≥O,而事实上，没有这个条件，上面的 公式仍然正确.这里把此结论叙述如下：

以后我们称图10-5所示的积分区域为X型区域.X型区域D的特点是：穿过D内 部且平行于y轴的直线与D的边界的交点不多于两个?称图1—7所示的积分区域为Y 型区域，Y型区域D的特点是：穿过D内部且平行于X轴的直线与D的边界的交点不多 于两个.

从上述计算公式可以看出将二重积分化为两次定积分，关键是确定积分限， 而确定积分限又依赖于区域D的儿何形状.因此，首先必须正确地画出D的图 形，将D表示为X型区域或丫型区域.如果D不能直接表示成X型区域或Y型 区域，则应将D划分成若干个无公共内点的小区域，并使每个小区域能表示成X 型区域或Y型区域，再利用二重积分对区域具有可加性相加，区域D上的二重积 分就是这些小区域上的二重积分之和(图10-8).

例1计算二重积分∫∫xvdσ ,其中D为直线y =X与抛物线―十所包围的闭区

解 画出区域D的图形，求出y=x与—十两条曲线的交点，它们是(0.0)及 (1,1).区域￡>(图1 —9)可表示为：

本题也可以化为先对入后对y的积分，这时区域D可表为：θ≤y ≤b y ≤χ ≤y∣y . 由公式(I0-2?2)得

积分后与上面结果相同.

求得三线的三个交点分别是(M(1,1)及⑵2).如果先对y积分，那么当 f≤xSl时，y的下限是双曲线y =丄，而当1 <x < 2时，y的下限是直线y =X >因此

选择适当的次序进行积分. 求证?i dx「/(x,y)dy = ( dyOeV,y)dr ?由此可见，对于这种区域D ,如果先对y积分，就需要把区域

选择适当的次序进行积分. 求证

于是改变积分次序，可得

由此可得所要证明的等式.

例5计算二重积分∫∫?σ,其中D是直线y =χ与抛物线"χ'所围成的区域. 解 把区域D表示为X型区域，即D = {(x,y)IO≤x ≤7.x2≤>-≤λ}.T是 注：如果化为y型区域即先对X积分，则有

由于晋的原函数不能由初等函数表示，往下计算就困难了，这也说明计算二重积 分时，除了要注意积分区域D的特点(区分是工型区域，还是y型区域)夕卜，还应注意 被积函数的特点，并适当选择积分次序.

与定积分一样，二重积分也可用换元法求其值，但比定积分复杂得多?我们知道，对 定积分f/(-'?)<Lv作变量替换X =0(/)时，要把/(x)变成/(^(r))1 Ck变成φ'(t)dt ,?R分限 也要变成对应/的值?同样，对二重积分∫∫∕(-‰>,)dσ作变量替换

时，既要把/U，y)变成/(x(g'),y(r')),还要把XOy面上的积分区域D变成“Oi，面上 的区域并把D中的面积元素力变成中的面积元素d<∕.其中最常用的是极坐标系 的情形?

2.2.1极坐标系的情形

下面我们讨论利用极坐标变换，得出在极坐标系下二重积分的计算方法?把极点放在 直角坐标系的原点，极轴与X轴重合，那么点P的极坐标P(r.θ｝与该点的直角坐标

P(^y)有如下互换公式:

我们知道，有些曲线方程在极坐标系下比较简单，因此，有些二重积分 用极坐标代换后，计算起来比较方便，这里假设z=∕(-vσ)在区域D上连续.

在直角坐标系中，我们是以平行于兀轴和一V轴的两族直线分割区域D为一系列小矩 形，从而得到面积元素dσ = d,xdy .

在极坐标系中，与此类似，我们用“心常数”的一族同心圆，以及=常数”的一族过 极点的射线，将区域Z)分成"个小区域呵(门= 1,2,…,“)，如图10—13所示.

这就是直角坐标二重积分变换到极坐标二重积分的公式?在作极坐标变换时，只要将 被积函数中的x,y分别换成“。S知sin/并把直角坐标的面积元素dσ = drdy换成极坐标 的面积元素用用&即可?但必须指岀的是：区域D必须用极坐标系表示?

在极坐标系下的二重积分，同样也可以化为二次积分计算?下面分三种情况讨论：

(1)极点O在区域D外部，如图10—14所示.

设区域D在两条射线θ=a,θ = β之间，两射线和区域边界的交点分别为A,β1将区域 D的边界分为两部分，其方程分别为r = rl(θ),r≈r2(θ)且均为[α刃上的连续函数?此时 D = ^?θ)?rλ(θ)≤r≤r2(θYa≤θ≤β?.

(2)极点O在区域Z)内部，如图10—15所示.若区域D的边界曲线方程为r≈r(θ)t这 时积分区域D为

(3)极点O在区域D的边界上，此时，积分区域Z)如图10—16所示.

在计算二重积怎时，是否采用极坐标变换，应根据积分区域D与被积函数的形式来 决定?一般来说，当积分区域为圆域或部分圆域，及被积函数可表示为/(a?2÷>' 等形式时，常采用极坐标变换，简化二重积分的计算?

例7计算二重积分∫∫A>-dσ1其中D是单位圆在第I象限的部分.

2.2.2.直角坐标系的情形

我们先来考虑面积元素的变化情况?

设函数组a-=x(m,v), y=y(M,v)为单值函数，在几上具有一阶连续偏导数，且 其雅可比行列式 则由反函数存在定理，一定存在着D上的单值连续反函数

这时与D之间建立了一一对应关系，"Ov面上平行于坐标轴的直线在映射 之下成为XOy面上的曲线"(X,y) = H0. V(X,y) = VO .我们用UOv面上平行于坐标轴的直 线

将区域D,“?分割成若干个小矩形，则映射将“6,面上的直线网变成Xoy面上的曲线网 (图10—⑼.

在几中任取一个典型的小区域(面积记为』Q及其在D中对应的小区域ΔD (面 积记为?σ),如图1 —20所示?

定理1 若f(χ,y)在XOy平面上的闭区域D上连续，变换

例9计算二重积分∫∫ne-dΛdv ,其中D是由X轴，〉,轴和直线x÷y=2所围成 的闭区域. D

在此变换下，χθy面上闭区域D变为皿,面上的对应区域"(图10一21).

解由D的构造特点，引入两族抛物线F=WX,X= =VyI则由“从“变到J I，从“变 到b时，这两族抛物线交织成区域D (图10-22).

1 ?画出积分区域，把∫∫∕(A?.y)dσ化为二次积分：

改变二次积分的积分次序：

∫∫≡2Ldσ,其中Z)是直线y =χ与抛物线〉，=曲所围成的区域；

在极坐标系下计算二重积分：

将下列积分化为极坐标形式：

作适当坐标变换，计算下列二重积分：

12.求由下列曲线所围成的闭区域的面积：

三重积分是二重积分的推广，它在物理和力学中同样有着重要的应用.

在引入二重积分概念时，我们曾考虑过平面薄片的质量，类似地，现在我们 考虑求解空间物体的质量问题.设一物体占有空间区域Q ,在Q中每一点(x,y,z)处 的体密度为p(χ>y,z),其中P(X,y,2)是Q上的正值连续函数.试求该物体的质量.

先将空间区域Q任意分割成”个小区域

(同时也用"表示第i个小区域的体积).在每个小区域"?上任取一点(H 由 于Q(.y,z)是连续函数，当区域』气充分小时，密度可以近似看成不变的，且等于 在点(S心处的密度，因此每一小块寸气的质量近似等于

令小区域的个数“无限增加，斋且每个小区域』气无限地收缩为一点，即小区 域的最大直径Λ = ^∕(jvr)→0时，取极限即得该物体的质量

由二重积分的定义可类似给出三嘗积分的定义：

存在(它不依赖于区域Q的分法及点<ξi,ηi,ζi)的取法)，则称这个极限值为函数 ",y,z)在空间区域Q上的三重积分，记作

其中/(A?,>?,z)叫做被积函数，Q叫做积分区域，di，叫做体积元素?

在直角坐标系中，若对区域Q用平行于三个坐标面的平面来分割，于是把区 域分成一些小长方体?和二重积分完全类似，此时三重积分可用符号 ∫∫∫/(x,y,z)dvdvdz来表不，即在直角坐标系中体积兀素dv可记为dxdydz .

有了三重积分的定义，物体的质量就可用密度函数p(Λ-,y,z)在区域Q上的三 重积分表示，即

如果在区域Q上/(χ,y,z) = l,并且。的体积记作V ,那么由三重积分定义可 知

这就是说，三重积分MdV在数值上等于区域Q的体积.

三重积分的存在性和基本性质，与二重积分相类似，此处不再重述.

为简单起见，在直角坐标系下，我们采用微元分析法来给出计算三重积分的 公式.

三重积分∫∫∫∕(x,y,z)dv表示占空间区域Q的物体的质量.设Q是柱形区域，其 Ω

上、下分别由连续曲面Z = ZI(X,y),Z = Z2Uy)所围成，它们在Xoy平面上的投影是有 界闭区域D; Q的侧面由柱面所围成，其母线平行于Z轴，准线是D的边界线.这 时，区域Q可表示为

先在区域D内点(x,y)处取一面积微元dσ = dIdy ,对应地有Q中的一个小条，再用 与Xoy面平行的平面去截此小条，得到小薄片(图10-23).

于是以do?为底，以〃Z为高的小薄片的质量为

f(x,y9z)dxdydz ? 把这些小薄片沿Z轴方向积分，得小条的质量为 [iXSχ)dψ迪? 然后，再在区域D上积分，就得到物体的质量 血:二心皿网? 也就是说，得到了三重积分的计算公式

例1计算三重积分Hn心dydz,其中Q是三个坐标面与平面a-+,v+z=1所围成的区

解 积分区域Q在;VOy平面的投影区域D是由坐标轴与直线x+,y=l围成的区 域：0≤x≤l, O≤y≤l-x ,所以

三重积分化为累次积分时，除上面所说的方法外，还可以用先求二重积分再 求定积分的方法计算?若积分区域Q如图10-26所示，它在Z轴的投影区间为 [A,B],对于区间内的任意一点z,过Z作平行于兀6面的平面，该平面与区域Q 相交为一平面区域，记作DG).这时三重积分可以化为先对区域D(Z)求二重积 分，再对Z在[A,B]±求定积分，得

我们可利用公式(10-3?2)重新计算例2中的积分.

区域Q在Z轴上的投影区间为[0,刃，对于该区间中任意一点z,相应地有一 平面区域D(z)-.x≥0,八0与a-2+γ≤R2-z=与之对应.由公式(10-3-2),得

求内层积分时，z可以看作常数：并且D(zμ?Γ≤R=-z2是右个圆，其面积为 中=(/_才)，所以

例3计算三重积分∫∫∫z2dv ,其中^Ξl÷r+∣l≤ι.

解 我们利用公式(Iod2)将三重积分化为累次积分?区域Q在Z轴上的投影区 间为[-G c],对于区间内任意一点Z，相应地有一平面区域D(z):

——-—— +—— ≤ι

与之相应，该区域是一椭圆(图10—27),10—27),其面积为胡\一韵.所以图 10—27

与之相应，该区域是一椭圆(图10—27),

10—27),其面积为胡\一韵.所以

对于三重积分∫∫∫ f(χ,y, zM，作变量替换:

它给出了 OE空间到OXyZ空间的一个映射,若Mm),y(u),z(ru)有连续的一阶 偏导数，且 ?±l≠0,则建立了 OE空间中区域/和QVM空间中相应区域Q的一 5(∕?5√)

一对应，与二重积分换元法类似，我们有

作为变量替换的实例，我们给出应用最为广泛的两种变换：柱面坐标变换及 球面坐标变换?

3.3.1柱面坐标变换

三重积分在柱面坐标系中的计算法如下：

称为柱面坐标变换.空间点M(Ajz)与α?,0,z)建立了一一对应关系，把(r,θ,z)称为点 M(Ar,z)的柱面坐标?不难看出，柱面坐标实际是极坐标的推广?这里几&为点M在兀Qy

柱面坐标系的三组坐标面为

r =常数，以Z为轴的圆柱面；

θ=常数，过Z轴的半平面；

z=常数，平行于XOy面的平面.

rcos^ 0=r,则在柱面坐标变换下，体积元素之间的关

dx dyd∑ = rdrd? ■ 于是，柱面坐标变换下三重积分换元公式为：

至于变换为柱面坐标后的三重积分计算;则可化为三次积分来进行.通常把积 分区域Q向Xoy面投影得投影区域Q ,以确定几&的取值范围，2的范围确定同直 角坐标系情形.

例4计算三重积分∫∫∫z√√T7cLrtiyck,其中Q是由锥面z=λp7∕与平面Z=I 所围成的区域.

解 在柱面坐标系下，积分区域Q表示为r≤z≤bθ≤r≤bθ≤^≤2π (ffl 10—29).

例5计算三重积分∫∫∫(√÷yψvdydz,其中Q是由曲线/ =2z, X=O绕Z轴旋转 一周而成的曲面与两平面z=2, z=8所围之区域.

3.3.2球面坐标变换

三重积分在球面坐标系中的计算法如下： 变换

球面坐标系的三组坐标面为：

轴为轴,半顶角为0的圆锥面;r =常数，以原点为中心的球面；

φ =常数，以原点为顶点，

8 =常数，过Z轴的半平面.

由于球面坐标变换的雅可比行列式为

则在球面坐标变换下，体积元素之间的关系式为：

于是，球面坐标变换下三重积分的换元公式为

解 在球面坐标变换下，球面方程变形为r = 2Rcosφ ,锥面为卩=吕(图10—32). 4

解积分区域用球面坐标系表示显然容易，但球面坐标变换应为

值得注意的是，三重积分的计算是选择直角坐标，还是柱面坐标或球面坐标转化成

三次积分，通常要综合考虑积分域和被积函数的特点?一般说来，积分域Q的边界面中有 柱面或圆锥面时，常采用柱面坐标系；有球面或圆锥面时，常采用球面坐标系?另外，与 二重积分类似，三重积分也可利用在对称区域上被积函数关于变量成奇偶函数以简化计

化三重积分∕=∫∫∫∕(A,y,ZXLvdydZ为三次积分，其中积分区域Q分别是?

⑵由曲面z=χ3+r及平面Z=I所围成的闭区域.

在直角坐标系下计算三重积分：

利用柱面坐标计算下列三重积分：

利用球面坐标计算下列三重积分：

∫∫∫zdv,其中Q为由召+看+討与沦0所围区域.

选用适当的坐标计算下列三重积分：

利用三重积分计算由下列曲面所围成的立体的体积：

我们利用定积分的元素法解决了许多求总量的问题，这种元素法也可以推广 到重积分的应用中，如果所考察的某个量“对于闭区域具有可加性(即：当闭区域 D分成许多小闭区域时，所求量“相应地分成许多部分量，且“等于部分量之 和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域边时，相应的部分量可近似 地表示为/(M)dP的形式，其中M为dP内的某一点，这个y*(M)dQ称为所求量"的 元素而记作d“，以它为被积表达式，在闭区域Q上积分

这就是所求量的积分表达式，显然当区域;为平面闭区域，M为Z)内点(X, y)时，血=力即为面积微元，贝IJ(IO-4-1)式可表示为

当区域D为空间闭区域，M为D内点(A-,y,z)时，dP=dy即为体积微元，则 (10-4-1)式可表示为

下面讨论重积分的一些应用.

设曲而S的方程为Z= f(x,y),曲而S在XOy坐标面上的投影区域为￡) , f(x,y) 在D上具有连续偏导数A(X,刃和Λ(.χσ),?们要计算曲面S的面积a .

在D上任取一面积微元力，在力内任取一点P(Λ?,y),对应曲面S上的点 M(Xty,f(x,y))在XOy平面上的投影即点P ,点M处曲面S有切平面设为T (图10— 34),以小区域力的边界为准线，作母线平行于Z轴的柱面，这柱面在曲面S上截 下一小片曲面，其面积记为M ,柱面在切平面上截下一小片平面，其面积记为 dA,由于力的直径很小，切平面7上的那一小片平面的面积M可近似代替曲面 S上相应的那一小片曲面的面积AA,即

设点M处曲面S的法线(指向朝上)与Z轴正向的夹角为卩，则根据投影定理有

这就是曲面S的面积元素.以它为被积表达式在闭区域Z)上积分，得 或

这就是曲面面积的计算公式?

设曲面方程为x=g(y,z)[或y=h(z,x)],则可把曲面投影到yθz面上(或ZOX 面上)，得投影区域(或2J，类似可得

例1求半径为d的球的表面积.

解 取上半球面方程为"&S ,则它在XOy面上的投影区域D可表示

因为这函数在闭区域D上无界，不能直接应用曲面面积公式，由广义积分得

例2求旋转抛物面z=∣(χ2+?v2)被圆柱面宀八F所截下部分的曲面面积S. 解曲面的图形如图10—35所示.

曲面的方程为Z=H十+尸)，它在Xoy坐标面上的投影区域为

分别为仙,花,…,叫.由力学知识知道，该质点系的质心的坐标为

设有一平面薄片占有XOy面上的闭区域D ,在点(χ,y)处的面密度为Pa,刃， PCr,刃在D上连续，现在要找该薄片的重心坐标.

在闭区域D上任取一直径很小的闭区域站(这个小闭域的面积也记作场)， (χ,y)是这个闭区域上的一个点?由于力直径很小，且P(X,y)在D上连续，所以薄片 中相应于力的部分的质量近似等于p(xθ-)dσ,这部分质量可近似看作集中在点 (x,y)上，于是可写出静矩元素dM,.及dMχ分别为：

以这些元素为被积表达式，在闭区域D上积分，便得

又由第一节知道，薄片的质量为

所以，薄片的重心的坐标为

如果薄片是均匀的，即面密度为常量，则上式中可把P提到积分记号外面并 从分子、分母中约去，于是便得到均匀薄片质心的坐标为

其中Λ=∫∫pdσ为闭区域D的面积.这时薄片的质心完全由闭区域D的形状所决定.我 们把均匀皐面薄片的质心叫做这平面薄片所占的平面图形的形心?因此平面图形D 的形心，就可用公式(10-4-2)计算.

例3求在心1,2之间的均匀半圆环薄片的质心(图10—36).

解 因为闭区域D对称于y轴，所以质心C(K7)必位于y轴上，于是K=0, D

『凡口―辭)|：(討卜罟,

所以，由公式(1042)得

质量设在λQ平面上有n个质点,它们分别位于点(Uj(XAyJ),…,(Xfp儿)处， 分别为加屮????,叫.由力学知识知道，该质点系对于兀轴和y轴的转动惯量依次 为:

设有一薄片，占有2丫面上金闭区域在点(r，)处的面密度为心刃，假 定pα,y)在Q上连续.现在要求该薄片对于X轴的转动惯量人以及对于〉,轴的转动 惯量人.

应用元素法.在闭区域Z)上任取一直径很小的闭区域曲(这个小闭区域的面积 也记作d(7), (x,y)是这小闭区域上的一个点.因为d<∑的直径很小，且Pu,刃在Z)上 连续，所以薄片中相应于力部分的质量近似等于p(x,>')dσ,这部分质量可近似看 作集中在点α?,)上，于是可写出薄片对于X轴以及对于y轴的转动惯量元素： d∕r ≈yzp(x 9y)dσ. d/、=x:P(XoT)dσ ? 以这些元素为被积表达式，在闭区域D上积分，便得

例4求由/==仏，y =2“及〉,轴所围成的均质薄片(面密度为1)关于y轴的转动 惯量(图10—37).

解区域Q由不等式0≤y≤2<∕.0≤x≤^所确定?根据转动惯量/、的计算公式，得 4cι

类似的，占有空间有界闭区域0,在点(χ,>',z)处的密度为Q(χ,y,z)(假定 p(χ,y,z)在Q上连续)的物体对于x,y,z轴的转动惯量为：

设有一平面薄片，占有Xoy平面上的闭区域D ,在点(.y)处的面密度为 p(Λ-,y),假定/Xx,刃在Z)上连续.现在要计算该薄片对位于Z轴上的点M°(0,0,")(">0) 处的单位质量的质点的引力.

我们应用元素法来求引力F = (F-JF)在闭区域D上任取一直径很小的闭区 域曲(这小闭区域的面积也记作dtτ), (x,y)是dez上的一个点.薄片中相应于站的部 分的质量近似等于p(-v,y)dσ,这部分质量可近似看作集中在点(.y)处，于是，按 两质点间的引力公式，可得出薄片中相应于"的部分对该质点的引力的大小近似 地为G空尹，引力的方向与(S,0-“) 一致，其中r = √x2÷r÷^, G为引力常数. 于是薄片it该质点的引力在三个坐标轴上的投影F,F,ξ的元素为：

以这些元素为被积表达式，在闭区域Z)上积分:便得到

例5求面密度为常量、半径为R的匀质圆形薄片：χ=+r≤∕?=, Z=O对位于Z 轴上点MO(0.0,“)(“>0)处单位质量的质点的引力.

求锥面Z=被柱面z2=2a-所割下部分的曲面面积.

求密度均匀的上半椭球体的质心..

设薄片所占的闭区域Z)由y=λ^Γ, A-=x0, y=0所围成，求均匀薄片的质心.

设有一等腰直角三角形薄片，腰长为“，各点处的面密度等于该点到直角 顶点的距离的平方，求这薄片的质心.

&设均匀薄片(面密度为常数1)所占闭区域D如下，求指定的转动惯量：

Z)由抛物线/==*与直线X =2所围成，求人和/、；

求密度均匀的半径为R的圆形平面薄板关于其切线的转动惯量.

本节讨论如何利用MATLAB软件求二重积分和三重积分的积分值.

MATLAB软件没有提供命令来直接计算二元函数的积分,因此需要把二重积分转化 为二次积分来计算.

例2计算二重积分∫∫(1 + a?2)>√a√v其中积分区域D是圆√+y2=l在第一象限中的区

三重积分的计算最终是化成累次积分来完成的，因此只要能正确的得出各累次积分 的积分限，便可在MATLAB中通过多次使用int命令来求得计算结果。但三重积分的积 分域。是一个三维空间区域，当其形状较复杂时，要确定各累次积分的积分限会遇到一 定困难，此时，可以借肋MATLAB的三维绘图命令，先在屏幕上绘出。的三维立体 图，然后执行命令rotate3d On ,

便可拖动鼠标使。的图形在屏幕上作任意的三维旋转，并且可用下述命令将0的图形向 三个坐标平面进行投影：

综合运用上述方法，一般应能正确得出各累次积分的积分限.

例3计算口JZ加，其中0是由圆锥曲面^2=√ + r与平面Z=I围成的闭区域

解首先用MATLAB来绘制G的三维图形，画圆锥曲面的命令可以是：

画第二个曲面之前，为保持先画的图形不会被清除.需要执行命令

然后用下述命令就可以将平面Z=I与圆锥面的图形画在一个图形窗口内： [xl,yl ]=meshgrid:l/4:;

于是得到G的三维图形如下图：

由该图很容易将原三重积分化成累次积分：

于是可用下述命令求解此三重积分：

(1)雪下列二次积分的积分次序

设区域D是有X轴、y轴与直线χ + y = l所围成，根据二重积分的性质，试比

2.利用极坐标计算下列各题：

(1) We^dσ 其中D是由圆周x2 + Γ=l及坐标轴所围成的在第一象限内的闭

设平面薄片所占的闭区域D由直线x + y = 2, y = Λ-和兀轴所围成，它的面密度 ^y)=X2+ y2,求该薄片的质量.

计算以Wy?面上的圆周√+y2=6∕x围成的闭区域为底，而以曲面z = √+y2为顶 的曲顶柱体的体积.

选用适当的坐标计算三重积分∫∫∫(x2+y2>∕vj其中。是由曲面4r=25(√+y2) 及平面z = 5所围成的闭区域.

利用三重积分计算下列曲面所围成的立体的体积

求平面△+ ? + ^ = l被三坐标面所割出的有限部分的面积.

设薄片所占的闭区域D如下，求均匀薄片的质心,D是半椭圆形闭区域

(2006、数学一)设/(“)为连续函数，则硕

（2011、数学二）设平面区域D由直线y = x,圆√+y2=2y及y轴所围成，则

（2003、数学一）设函数f（x）连续且恒大于零，

设D是由曲线L,直线x = ?,x = e及尤轴所围成的平面图形，求D的形心的横 坐标?

& (2011、数学二)一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲

若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功

课程概率论与数理统计模拟试题（二）

课程代码：考核方式: 闭卷考试时量：120 分钟试卷类型：

一、填空题（每题2分，共20分）

4、随机变量X服从参数为λ的指数分布，则EX = EX2=

5、根据泊松定理，对于成功率为p的n重伯努利试验，只要n充分大，而p充分小，其成功次

数X近似的服从参数为λ= 的泊松分布。

7、对于连续型随机向量，X与Y独立的充分必要条件是，对于任何（x，y）∈R2，有

8、T服从n个自由度的t分布，则T2服从自由度为的分布

9、设总体X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ、σ2未知，则μ的置信度1-α(0<α<1)的置信区间为

二、单选题（在本题的每一小题的备选答案中，只有一个答

案是正确的，请把你认为正确答案的题号，填入题干的括号

内，多选不给分。每题2分，共20 分）

B. A，B不相互独立

C. A，B互为对立事件

D. A，B不互为对立事件

2、对于任意两个随机事件A 与B ，有P(A-B)为（）．

③X与Y相互独立④X与Y不相互独立

6、设随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则随σ的增大,概率P{}σ

①单调增大②单调减小③保持不变④不能确定

7、设两个相互独立的随机变量X与Y分别服从正态分布N（0，1）和N（1，1）则（）

8、已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布，Y=3X-2，则EY=（）

9、对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果的显著水平0.05下拒绝H0：μ=μ0，那么在

显著水平0.01下，下列结论正确的是（）

① 必接受H 0 ②可能接受,也可能拒绝H 0 ③ 必拒绝H 0 ④ 不接受也不拒绝H 0 10、设),(21X X 是来自总体X 的一个容量为2的样本,则在下列E(X)的无偏估计量中, 最有效的估计量是 ( )

① 2Ｘ1／３＋Ｘ2／３ ②Ｘ1／４＋３Ｘ2／４ ③ ２Ｘ1／５＋３Ｘ2／５ ④ Ｘ1／２＋Ｘ2／２

1、甲进行三次试验,A n 表示第n 次试验成功,n=1、

2、3.用事件运算的关系式表示下列事件(5分) ①、前两次试验成功，第三次未成功 ②、三次中只有一次成功 ③、三次都未成功 ④、三次中至多有一次成功 ⑤、三次中至少有一次成功

2、一间宿舍内住了6位同学，求他们中有4个人的生日在同一个月份的概率。 （5分）

3、将一枚均匀的硬币连掷三次，以X 表示正面的次数，Y 表示三次抛掷中出现正面的次数与出现反面的次数差的绝对值．试写出随机向量（X, Y ）的分布律。（6分）

0 其它 求a 和b 的值，并求分布函数F （x ） （6分）

6、电路供电网中有10000盏灯，夜晚每一盏灯开着的概率都是0.8，假定各灯开，关时间彼此 无关，计算同时开着的灯数在7800到8200之间的概率。Φ（4.36）=0.99999 （6分）

7.设某大学中教授的年龄X ～N(μ,2σ)，μ,2

σ均未知，今随机了解到5位教授的年龄如下：

8、设服用某种药物一定份量使病人每分钟脉搏增加的次数X 近似服从正态分布N(μ,σ2

μ、方差σ2均未知，今抽查9个病人，测得每分钟增加脉搏的次数为：