可以将圆分为无数个宽度相同的同心圆环，这保留了圆的对称性。
将其中一个圆环拉直并思考他的面积

拉直后的图形可以近似看做一个长方形，宽为2πr（根据圆的定义周长公式）高为dr（每一个圆环的宽度），当dr趋近于无限小时，这个图形越趋近于长方形。
所以这个圆环的面积可以近似看做2πrdr（dr越小越准确）
以圆环的半径r为横坐标已圆环的周长为纵坐标，将每个圆环从小到大排布在坐标系上
当dr无限小时，所有圆环的面积之和也就是这个圆形的面积可以看做这些圆环所形成的的三角形的面积0.532pi3也就是piR^2
数学中的很多难题都可以分解为许多小数量的和

2抛物线形成的面积如何计算

找到一个函数A（x），当抛物线X^2的x变化时，函数A（X）就是抛物线形成的面积，这个函数A（x）就是这个抛物线的积分。

导数就是dx越来越小时这个比值所趋向的值，表示函数对取值的微小变化的敏感程度。

某图像下方面积函数的导数，就是能够还原定义这个图像的函数。

微积分的本质02导数悖论

导数是瞬时变化率，但变化率是在一段时间内的变化率，而瞬时没有变化。

想象一辆车先加速后减速在3秒内移动了10米，一下是关于距离和时间的图像。

在上面画出车速和时间的关系
速度时间函数随着距离时间函数的变化而产生变化。
计算速度需要两个时间点，但在坐标轴上每个时间点都对应一个速度值。
所以要计算速度可以取很小的时间差dt，计算每个点的速度就可以写作
这样对于每个时间t带入公式都可以得到该时间点的速度。

导数并不是在dt为某个具体值比如0.01时ds和dt的比值而是当dt无限逼近于0时这个比值的极限。
从图像上看，在t点和t+dt上做一条直线，当dt逼近无限小时这个直线越和曲线在这个点的切线重合。
导数是某个点的变化率的最佳近似。

当dt逼近于0时，后面的项目可以简化，并把2换成横轴的变量t

导数测量的是某个点的变化率的最佳近似值。

微积分的本质03用几何来求导

微小变化量才是导数的本质

可以将x² 看做一个正方形的面积。
当x增大dx时，整个正方形的面积增大有三个部分。

f(x) = x³ 可以看做一个立方体的体积
当x变化dx个单位时f（x）的体积变化可以看成多个小体积的变化
当dx趋近于0时，f（x）的增量可以看做三个大的长方体的体积和

微积分的本质03直观理解链式法则和成绩法则

处理两个东西的乘积，通过面积理解会更好

加法法则乘法法则和链式法则

如果时间t以整数变化，那么后一天的数量就是前一天数量的两倍，这样2^t每天的增长率就是它本身，但当我们把t取值缩小时。
对于2^t+dt来说可以拆分成2^t * 2^dt于是可以将2^t的导数变为
可以看到右边的式子，dt和t本身完全剥离开，同时我们可以假定一个最小值dt从而计算出右边的式子的值，当dt的值越来越小时这个式子的值就会不断向一个特定值靠近0.6931472…
所以对于指数函数，他在一定时间内的变化率是它自身乘以一个常数，比如对于3^t的导数，这个常数就是1.09868.

有没有那个底数能使这个常数为1

e就可以使这个常数为1，e≈2.71828

观察e^t的图像，在此图像上任意一点切线的斜率都等于这一点到横轴的距离。
运用链式法则考虑其他的指数函数。
所以对于所有的e^ct的导数就是ce^ct即是常数乘以函数本身
所以对于任意的c^t的导数都是
所有变化率和数量本身成正比的函数的图像看起来都像是指数函数。

考虑对于圆上任意一点切线的斜率的计算
这个函数不存在取值的微小变化所造成的函数值得微小变化，也不存在输入一个x对应输出一个y，x和y是同时由一个等式定义，并相互联系的在，这种就是隐函数曲线。

所以对于函数X² + y² = 5²，我们要对函数两端同时求导数
这个过程称为隐函数求导，隐微分。

一把五米长梯子斜靠墙上，梯子顶端离地4米那么梯子底端离墙就是3米，当梯子顶端以1m/s的速度下滑时。在开始的一瞬间，梯子底端的速度是？
若要求速度首先可以把x(t)单独表示出来即
然后对这个式子求导即可得出底部的速度。
等式x(t)²+y(t)² = 5²是一个关于时间t的函数，这个函数的值并不随这时间改变，可以把等式左边看作关于时间t的函数。
这时候如果我们对等式左边求导数
也就是说当时间t变化dt时，函数x(t)²+y(t)²变化了多少，但函数x(t)²+y(t)²恒等于5²所以这个函数的变化率恒等于0即
比较梯子和求圆切线问题的关系

我们可以给X² + y²取个名字S
如果给函数S求导就是在问当点在平面上移动了dx和dy之后函数s的值变化了多少
在X方向上变化了2xdx各单位在y上变化了2ydy个单位
但当每个微小变化都落在圆上的时候，等于时保持s的值不变，那么ds就是0

想象从曲线上移动一小段距离（dx,dy）
对表达式的两边求导就可以算出函数在每一边的变化值是多少
如果等式成立那么，移动的(dx.dy)一定落在原来的曲线上
对于函数e^x的导数是它本身，那么他的反函数

当x = 2时x变化dx各单位，函数值的变化df，在这两个点之间连线，当x逼近0时，这个支线的斜率df/dx才是函数在这个点的导数。

2、极限(ε,δ)的定义

当变量h=0时，函数变成0/0函数在这一点上并没有明确的值,但当x取值逼近于0时，函数的值也是逼近于12的，且这个结果和x从哪边逼近并无关系。
当函数的取值在0的附近时，函数值也在12的附近，随着x的取值接近于0，函数的取值范围也就越来越缩小到12上。
但如果对于一个函数，将x的取值范围缩小，函数值不会缩小到特定值上时说明函数在该点的极限不存在。
将函数的取值范围在极限点收缩，然后观察函数值是否收缩，以及其收缩后的范围的方法就是极限(ε,δ)的定义
对于函数上任意点到极限值的距离，习惯用希腊字母ε来代表这个距离
总能在极限点的附近，离0点的距离为δ的取值范围内找到一系列的点，使得它的函数值都处在距离为ε的范围之内，这对于任意ε都成立

分别画出这些函数的图像
当x=1时，x变化dx，函数值的变化为-πdx
当x=1时，x变化dx，函数值的变化为x²-1的导数的值即

考虑任意两个函数f(x)和函数g(x)在x = a这个点的值都是0
因为两个函数在x = a时都为0所以对于f(x)/g(x)不可计算，但可以取x为离a十分相近的值，求解x逼近于a时的极限值。

对于那些0型的极限可以对分子分母分别求导，然后带入x的值就是极限值。

8、积分与微积分的基本定理

在只知道每个时间点t一辆汽车的速度的情况下如何找到一个距离函数t描述你在这个时间内行驶的距离。

假设速度和时间的函数为t(8-t)那么他的图像就是
要想求速度和距离的关系，其实就是求在一段时间内速度时间函数围成的面积，这就是积分问题。

首先车速为匀速时，那么车驶过的距离就是速度乘以时间，反应在图像上也就是面积
因为途中横轴的单位时秒，而纵轴的单位时米每秒，所以这个面积的单位自然是米。

但速度不恒定，我们可以假定速度是阶梯状变化的。
将0到8秒的时间轴切成等大的小份

当dt趋近于0时，这个匀速但速度不连续跳跃的运动就越和实际情况相同，所以这个曲线所围成的面积也就越接近于实际的行驶的距离。
这就是速度时间函数v(t)的积分。
在这个问题中吧右端点当做一个变量T，所以我们考虑的就是速度函数v(t)在0到T之间的积分，也就是这个曲线在(0,T)这个区间内下方的面积。可以写作
这样就算原函数存在一个C也在运算中被消掉了
求积分的第一步是求解原函数。

09面积与斜率有什么关系

1、求一个连续变量的平均值

2为何积分和求导时互逆的运算

这个斜率即代表平均值。
sin(x)是原函数的导数，给出了-cos(x)在每个点上的斜率,所以sin(x)的平均值就等于原函数在0到π之间所有切线斜率的平均值。
在某一区间上所有切线的平均斜率就等于起点和终点连线的斜率。
因为要求函数- cos(x)在某一区间的平均斜率就是求函数sin(x)在这一区间的平均值，根据上面的推导过程，sin(x)的平均值的计算和计算起点和终点间的平均斜率的计算方式相同。
对于任意函数如图，想要计算他在a到b之间的平均值。
计算积分需要用到原函数写作F(x),所以我们就计算的是F(b)-F(a)这可以看作原函数从起点到终点的高度差，对于函数在一定区间的平均值的问题就可以看作他的原函数在a到b之间的高度变化除以a到b的长度
也就是原函数在起点和终点之间的斜率。
当计算函数在区间上的平均值可以转换为求另一个函数在区间上的平均斜率时，可以只考虑起点和终点而不用考虑任何中间点。.

1 当手上的问题可以用细分再相加的方式估算的话可以使用积分。
2 如果再总数有限时，懂得用相加的方法解决问题，当推广到无限数量时，可以试试积分。

那么导数就可以解释为函数在这个点的斜率
如果图像很陡说明导数的值很大，图像向下说明导数是负数
二阶导数表示了斜率的变化
当f(x)向上弯曲说明斜率在增加说明二阶导数是正的

首先可以看到在x等于0时cos(x) 等于1
所以要近似这个函数那么这个近似函数在x为0时值也应该为1

将近似函数的多项式累加无限多项
收敛如果一个级数累加的越多，就越接近一个值的话就可以说这个级数收敛到那个值
比如指数函数sin cos 函数都可以在x为任意值时收敛
但有的函数只能在附近的范围内收敛
在x取值在0到二之间时，随着项数的增加，就越接近这个函数的真实结果，但当x取值越过2
时，级数就不再接近任何值了
所以在lnx中在x等于1时获得的导数信息并不能拓展到更广的取值范围
像这种累加多个项，但他的和并不能逼近一个确定值的级数我们称之为发散的
把用在近似原始函数的那个点的周围能够让多项式的和收敛的最大取值范围，称作这个泰勒级数的收敛半径。

前年看了一部家喻户晓的国产科幻小说——《三体》，刷新了自己的世界观，我不仅对“黑暗森林”理论感到惊异，还对作者刘慈欣充满了敬佩。能写出这样的科幻作品势必需要丰厚的数学、物理、天文、地理等知识。

书中留给我最深刻印象、让我觉得最不可思议的当属“歌者”使用的“二向箔”武器，其厉害之处在于可以将“三维”中的一个维度坍缩，最后变成“二维”，例如下图。

就好像一个三维物体变成了一幅画。

“歌者”作为未知高等文明的底层人员，担任的工作是监听并分析太空信号，他一直监视着地球文明和三体文明，并毁灭其发现的文明。他这样做的原因作者已经通过“黑暗森林”理论进行了阐述。书中提到了宇宙社会学中的两条公理。第一，生存是文明的第一需要；第二，文明不断扩张，但宇宙中物质的总量保持不变。

因此，宇宙就像一个“黑暗森林”，每个文明都是带枪的猎人，潜行于这林间，一旦发现其他生命，不管是天使还是魔鬼，都要将其消灭，因为其他生命是永恒的威胁、永恒的资源争夺者，任何暴露自己存在的文明都会被消灭。

在罗辑发出的坐标星体和三体母星被其他监听人员毁灭之后，“歌者”发现并开始清理太阳系文明，但在清理的时候他发现了盲点（地球文明采取了掩体计划），所以放弃采用光粒而使用降维武器“二向箔”进行攻击，太阳最终被永远地定格成了二维。而且由于二向箔打击范围内的逃逸速度为光速，因此除非以光速逃逸，所有三维事物都无法逃脱“二向箔”的打击。

那高等文明如果想避免受到“二向箔”的打击，就要自己将自己变为低维，那样就能在遭受“二向箔”攻击时保持自身不变，以保全自己的“文明”。

其实，数学中也有一种东西可以看做是“降维操作”，那就是“求导”，而且数学中有一个特例，能够在这种“降维操作”中，保持自身不变，那就是以 为底的指数，或者说自然指数。

前面已经说到了 的来源，以及以自然对数为底的指数、对数，相关文章有《、《》、《》、《》等。但是因为其特殊性，想必有人对其中一个问题比较好奇，就是为什么对自然指数函数求导的结果还是其本身，所以针对这种特殊性质做了一下推导。

我们知道 是通过下面的公式得到的，推导过程可见《：

为了得到更加普适的公式，先从对以 为底的对数函数求导入手，来研究对指数函数的求导，进而找到对自然指数求导这种特殊情况下的求导结果。

这样，我们就得到了对数函数的通用求导公式。显然，当 时有

以上就是对数及自然对数的求导过程及结果。

由于指数函数和对数函数互为反函数，所以先看看反函数的求导结果与原函数求导结果的关系：

设 为 的反函数， 在 的某领域内严格单调可导，且满足 .

，由反函数的单调性知：

又反函数的连续性知， 时必有 ，因此：

即，反函数的导数等于原函数导数的倒数。

既然如此，利用上述的对数函数求导结果和反函数的导数，可以证明对指数函数的微分进行证明。

这就是为什么以自然底数 为底的指数求导之后还是其本身。

导数求导!X/ex -2/e 怎么求导第一个分子是 e 的 X次幂请写出过程,（1-X）/e的x次幂我求了半小时都不对,？  以下文字资料是由(历史新知网)小编为大家搜集整理后发布的内容，让我们赶快一起来看一下吧！