以三维空间为例。对于平直空间，可以用一个坐标系（

在每一点只存在一个唯一的切

线或者切平面的玩意儿。因此折线之类的东东，即使连续，也不是流形）

采用局域坐标系来描述，此时通常在平直空间中讨论的量

我们既要跟矢量打交道，

还要跟数量或者更一般地，

时我们要考虑一个从矢量到函数的一个映射，

是两个相互对偶的矢量之间才能定义内积（除非对偶矢量等同于矢量自身）

一组正交完备的矢量张成一个空间，

则与之对偶的一组正交完备的对偶矢量张成

的空间，称为对偶空间。

矢量概念可以推广到一般的抽象空间，

比如平方可积的函数空间，

中的泛函，也可以看作|ψ>在

）因此，你不难理解，为什

么四维时空矢量有协变和逆变之分，

指标和逆变指标之间的收缩）对应时空矢量之间的内积。

我们知道，对于三维空间中的坐标函数

在局域坐标系中讨论问题，

总是跟某个量的微分打交道，

因此在现代微分几何中，干脆直接用坐标的偏微分（

）作为基矢量，来对某个矢量进行展开。如果流形上的切空间，是

那么流形上与之对应的余切空间，

）张成的空间。二者是相互对偶的空间。两个空间中

的矢量之间可以定义内积（或者定义张量之间的指标收缩）

，以及它们之间的张量积，

（如同展开一个矢量一样）

将各个分量与对应的张量

基相乘，再相加，才是一个张量整体，才是张量按照张量基展开的表达式。

量，是逆变张量；用逆变基矢（

（原创）漫谈微分几何、多复变函数与代数几何微分几何与伴随

着微分几何的发展而创立的张量分析是掌握广义相对论的基础工具。

相对论的成功，使一向冷僻的微分几何成为数学的中心学科之一。

微分几何的萌芽就诞生了。

的工作才真正使微分几何成为独立学科。

在关于测地学的工作中逐步得出

重要得研究，并对法曲率的计算得出著名的

发表了《分析应用于几何的活页论文》

重要性质用微分方程表示，使得经典微分几何的发展到达一个高峰期。

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