第五章 方阵的特征值和特征向量

特征值与特征向量的定义

*设A是n阶矩阵，如果存在常数λ与非0向量X=（x1,x2,……,xn),使得AX=λX,那么常数λ称为矩阵A的特征值，向量X称为矩阵A的属于特征值λ的特征向量。

* 设λ是方阵A的特征值，X是A的属于特征值λ的特征向量，即AX=λX，那么有结论：

1.如果h(λ)是λ的多项式，那么h(λ)是h(A)的特征值，X是h(A)的属于特征值h(λ)的特征向量

2.如果A是可逆矩阵，那么λ-1是A-1的特征值，X是A-1的属于特征值λ-1的特征向量

定义：设A与B是两个n阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P，使得P-1AP=B，那么称A与B是相似的，可逆矩阵P称为由A到B的相似变换矩阵。

如果A与B是相似的，那么A与B有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。

如果n阶矩阵A与对角矩阵是相似的，那么对角矩阵的对角元是A的全部特征值。

如果A与B是相似的，那么r(A)=r(B),|A|=|B|,A是可逆的当且仅当B是可逆的，并且A-1与B-1是相似的。

如果A与B是相似的，那么对任意常数k，kA与kB是相似的。对任意正整数m,Am与Bm是相似的。对任意多项式h(x),h(A)与h(B)是相似的

相似对角化定义：设A是n阶矩阵，如果存在n阶可逆 矩阵P，使得P-1AP=∧为对角矩阵，那么称A可以相似对角化。

n阶矩阵可以相似对角化的条件：有n个线性无关的特征向量。

几何重数：设A是n阶矩阵，λ是A的特征值，我们将矩阵λI-A的零空间的维数dimN(λI-A)称为特征值λ的几何重数。

代数重数：指方程的根的重数，也就是说，方程的根是几重根。（举例：(x-2)3=0，这个方程的根为x=2，这个根是3重的，因此x=2的代数重数为3）

实对称矩阵的定义：如果有n阶矩阵A，其矩阵的元素都为实数，且矩阵A的转置等于其本身（aij=aji)，而且该矩阵对应的特征值全部为实数，则称A为实对称矩阵。实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的。

第六章 二次型与正定矩阵

约定：二次型f(X)=XTAX的矩阵A都是对称矩阵。

化二次型为标准型的具体方法：初等变换法，正交替换法。（p233,p235)

方阵的合同：设A，B是两个n阶矩阵，如果存在非奇异矩阵P，使得PTAP=B，那么称A与B是合同的。

任意的实二次型都可以经过非退化的实线性替换化为规范型，并且二次型的规范型是唯一的。

设f(X)是秩为r的实二次型，f(X)的标准型中正平方项的个数p称为A的正惯性指数，负平方项的个数r-p称为f(X)的负惯性指数。

在实数集上，两个n阶实对称矩阵A与B合同的充分必要条件是A与B的秩相同，正惯性指数也相同。

如果A是正定矩阵，那么有：