求以下级数是否收敛？

点击联系发帖人 时间：2022-05-04 12:25

判断级数是否收敛的方法

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今日学习打卡-高数小练

题目特征：偏导，全微分 dz

解题关键：偏导的求导法则———把固定的变量看成常量，按一元函数的方法求导

（五）判断级数是否收敛

熟练掌握三种级数及相关变形的敛散性———几何级数（等比级数）、调和级数及ｐ－级数

１）若Ｕｎ不趋近与０，必发散

２）发散＋发散＝不确定

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《高等数学》（下册）测试题一

一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母）

A．连续、偏导数存在；

B．连续、偏导数不存在；

C．不连续、偏导数存在；

D．不连续、偏导数不存在.

3．设为连续函数，，则＝（

4．设是平面由，，所确定的三角形区域，则曲面积分

5．微分方程的一个特解应具有形式（

二、填空题（每小题3分，本大题共15分）

1．设一平面经过原点及点，且与平面垂直，则此平面方程为；

4．设圆柱面，与曲面在点相交，且它们的交角为，则正数

5．设一阶线性非齐次微分方程有两个线性无关的解，若也是该方程的解，则应有

三、（本题7分）设由方程组确定了，是，的函数，求及与.

解：方程两边取全微分，则

四、（本题7分）已知点及点，求函数在点处沿方向的方向导数.

五、（本题8分）计算累次积分

解：依据上下限知，即分区域为

作图可知，该区域也可以表示为

六、（本题8分）计算，其中是由柱面及平面围成的区域.

解：先二后一比较方便，

七．（本题8分）计算，其中是抛物面被平面所截下的有限部分.

八、（本题8分）计算，是点到点在上半平面上的任意逐段光滑曲线.

从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，取

九、（本题8分）计算，其中为半球面上侧.

解：补取下侧，则构成封闭曲面的外侧

十、（本题8分）设二阶连续可导函数，适合，求．

十一、（本题4分）求方程的通解.

解：解：对应齐次方程特征方程为

比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为

十二、（本题4分）在球面的第一卦限上求一点，使以为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小.

解：设点的坐标为，则问题即在求最小值。

附加题：（供学习无穷级数的学生作为测试）

1．判别级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？

解：由于，该级数不会绝对收敛，

显然该级数为交错级数且一般项的单调减少趋于零，从而该级数条件收敛

2．求幂级数的收敛区间及和函数.

3．将展成以为周期的傅立叶级数.

解：已知该函数为奇函数，周期延拓后可展开为正弦级数。

《高等数学》（下册）测试题二

一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母）

1．设，且可导，则为（

2．从点到一个平面引垂线，垂足为点，则这个平面的方

3．微分方程的通解是（

4．设平面曲线为下半圆周，则曲线积分等于（

二．填空题（每小题5分，本大题共15分）

1．曲面在点处的切平面方程是；.

2．微分方程的待定特解形式是；

3．设是球面的外测，则曲面积分

三、一条直线在平面：上，且与另两条直线L1：及L2：（即L2：）都相交，求该直线方程．（本题7分）

解：先求两已知直线与平面的交点，由

由两点式方程得该直线：

四、求函数在点处的梯度及沿梯度方向上函数的方向导数．（本题7分）

沿梯度方向上函数的方向导数

五、做一个容积为1立方米的有盖圆柱形桶，问尺寸应如何，才能使用料最省？（本题8分）

解：设底圆半径为，高为，则由题意，要求的是在条件下的最小值。

由实际问题知，底圆半径和高分别为才能使用料最省

六、设积分域D为所围成，试计算二重积分．（本题8分）

解：观察得知该用极坐标，

七、计算三重积分，式中为由所确定的固定的圆台体．（本题8分）

解：解：观察得知该用先二后一的方法

八、设在上有连续的一阶导数，求曲线积分，其中曲线L是从点到点的直线段．（本题8分）

从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，

九、计算曲面积分，其中，为上半球面：．（本题8分）

十一、试证在点处不连续，但存在有一阶偏导数．（本题4分）

依赖而变化，从而二重极限不存在，函数在点处不连续。

十二、设二阶常系数线性微分方程的一个特解为，试确定常数，并求该方程的通解．（本题4分）

解：由解的结构定理可知，该微分方程对应齐次方程的特征根应为，否则不能有这样的特解。从而特征方程为

为非齐次方程的另一个特解，

附加题：（供学习无穷级数的学生作为测试）

1．求无穷级数的收敛域及在收敛域上的和函数．

由于在时发散，在时条件收敛，故收敛域为

2．求函数在处的幂级数展开式．

3．将函数展开成傅立叶级数，并指明展开式成立的范围．

《高等数学》（下册）测试题三

1．若函数在点处取得极值，则常数．

3．设S是立方体的边界外侧，则曲面积分

4．设幂级数的收敛半径为，则幂级数的收敛区间为．

5．微分方程用待定系数法确定的特解（系数值不求）的形式为．

（C）有极限但不连续；

3．两个圆柱体，公共部分的体积为（

4．若，，则数列有界是级数收敛的（

（B）充分条件，但非必要条件；

（C）必要条件，但非充分条件；

（D）既非充分条件，又非必要条件．

5．函数（为任意常数）是微分方程的（

（C）是解，但既非通解也非特解；

三、求曲面上点处的切平面和法线方程．

的两个互相垂直的平面，其中一个平面平行于直线．

解：设过直线的平面束为

第一个平面平行于直线，

第二个平面要与第一个平面垂直，

五、求微分方程的解，使得该解所表示的曲线在点处与直线相切．

解：直线为，从而有定解条件，

方程通解为，由定解的初值条件

六、设函数有二阶连续导数，而函数满足方程

其中是球体与锥体的公共部分的表面，，，是其外法线方向的方向余弦．

八、试将函数展成的幂级数（要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛区间）．

九、判断级数的敛散性．

当，级数收敛；当，级数发散；

当时级数收敛；当时级数发散

十、计算曲线积分，其中为在第一象限内逆时针方向的半圆弧．

解：再取，围成半圆的正向边界

十一、求曲面：到平面：的最短距离．

解：问题即求在约束下的最小值

可先求在约束下的最小值点

这也说明了是不可能的，因为平面与曲面最小距离为。

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级数收敛的必要条件是通项an趋于0。一般验证一个级数是否收敛，首先看通项an是否趋于0，若不满足这条则可以判断该级数发散。如果这条满足，并不能保证级数收敛。需要继续验证别的条件，例如用比较判别法（和一个知道的收敛级数比较）。例如an=1/n，通项趋于0，但是发散。
级数是指将数列的项依次用加号连接起来的函数。典型的级数有正项级数、交错级数、幂级数、傅里叶级数等。级数理论是分析学的一个分支；它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。二者共同以极限为基本工具，分别从离散与连续两个方面，结合起来研究分析学的对象，即变量之间的依赖关系─函数。

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