之前我写过一篇文章：其中解释叻什么是插值法为什么要有插值法？大家对此感兴趣可以去看看

还有另外一种插值法，叫做拉格朗日插值法也是以大牛冠名的，我們来看看它是怎么推导的

比如说，已知下面这几个点我想找到一根穿过它们的曲线：

使用多项式画出这根曲线是完全可行的，关于这點可以参看我写的

我们可以合理的假设，这根曲线是一个二次多项式：

这是因为有三个已知的点可以通过下列方程组解出这个二次多項式：

不过这里不打算通过解方程来得到这根二次曲线，我们来看看拉格朗日是怎么解出这根曲线的

1.1 拉格朗日的思考

约瑟夫·拉格朗日伯爵（1736 － 1813），可能是这么思考的

首先，肯定得是二次曲线这个之前我们就已经说明过了。

其次拉格朗日认为可以通过三根二次曲线楿加来达到目标。那这是怎么的三根二次曲线呢

第一根曲线 ，在 点处取值为1，其余两点取值为0：

为什么这么做看下去就知道了。

第②根曲线 在 点处，取值为1其余两点取值为0：

第三根曲线 ，在 点处取值为1，其余两点取值为0：

这三根曲线就是拉格朗日需要的我们來看看为什么？

可以一一穿过这三个点我们来看看：

拉格朗日伯爵说，看这三根曲线就可以组成我在寻找的曲线：

真的是非常精彩的思考啊。

到了严格化的时候了我们用符号来表示 。

首先 必须是二次函数。

其次需要满足的条件：

那么，如下构造 很显然可以满足上述条件（代值进去就可以验算）：

这就是拉格朗日插值法上面的思路要推广到更多点的插值也非常容易。

牛顿插值法也是多项式插值法拉格朗日插值法也是多项式插值法，那么两者得到的多项式是否是同一个多项式？

2 拉格朗日插值法、牛顿插值法、范德蒙行列式

要回答刚才提出的问题得看看我们最早提出的方程组怎么解？

 这三个点是已知的所以上面实际是一个线性方程组：

 就是所谓的范德蒙矩阵， 自然就是范德蒙行列式

根据，如果 那么此方程就只有唯一的解，自然牛顿插值法、拉格朗日插值法得到的就是同一根多项式曲线

求一下 ，先把 得到（ 表示第一行，以此类推这么做是不会改变行列式的值的）：

从给出的三个点来看， 都不相等所以 。

所以牛顿插值法、拉格朗日插值法得到的是同一根多项式曲线。

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