matlab非线性规划的实例与定义
很好的资料！！！
顶一个！！！
&1 非线性规划
1.1 非线性规划的实例与定义
如果目标函数或约束条件中包含非线性函数,就称这种规划问题为非线性规划问题.一般说来,解非线性规划要比解线性规划问题困难得多.而且,也不象线性规划有单纯形法这一通用方法,非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法,各个方法都有自己特定的适用范围.
下面通过实例归纳出非线性规划数学模型的一般形式,介绍有关非线性规划的基本概念.
例1 (投资决策问题)某企业有个项目可供选择投资,并且至少要对其中一个项目投资.已知该企业拥有总资金元,投资于第个项目需花资金元,并预计可收益元.试选择最佳投资方案.
解 设投资决策变量为
则投资总额为,投资总收益为.因为该公司至少要对一个项目投资,并且总的投资金额不能超过总资金,故有限制条件
另外,由于只取值0或1,所以还有
最佳投资方案应是投资额最小而总收益最大的方案,所以这个最佳投资决策问题归结为总资金以及决策变量(取0或1)的限制条件下,极大化总收益和总投资之比.因此,其数学模型为:
上面例题是在一组等式或不等式的约束下,求一个函数的最大值(或最小值)问题,其中目标函数或约束条件中至少有一个非线性函数,这类问题称之为非线性规划问题,简记为(NP).可概括为一般形式
其中称为模型(NP)的决策变量,称为目标函数,和称为约束函数.另外, 称为等式约束, 称为不等式约束.
对于一个实际问题,在把它归结成非线性规划问题时,一般要注意如下几点:
(i)确定供选方案:首先要收集同问题有关的资料和数据,在全面熟悉问题的基础上,确认什么是问题的可供选择的方案,并用一组变量来表示它们.
(ii)提出追求目标:经过资料分析,根据实际需要和可能,提出要追求极小化或极大化的目标.并且,运用各种科学和技术原理,把它表示成数学关系式.
(iii)给出价值标准:在提出要追求的目标之后,要确立所考虑目标的&好&或&坏&的价值标准,并用某种数量形式来描述它.
(iv)寻求限制条件:由于所追求的目标一般都要在一定的条件下取得极小化或极大化效果,因此还需要寻找出问题的所有限制条件,这些条件通常用变量之间的一些不等式或等式来表示.
1.2 线性规划与非线性规划的区别
如果线性规划的最优解存在,其最优解只能在其可行域的边界上达到(特别是可行域的顶点上达到);而非线性规划的最优解(如果最优解存在)则可能在其可行域的任意一点达到.
1.3 非线性规划的Matlab解法
Matlab中非线性规划的数学模型写成以下形式
其中是标量函数,是相应维数的矩阵和向量,是非线性向量函数.
Matlab中的命令是
X=FMINCON(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,NONLCON,OPTIONS)
它的返回值是向量,其中FUN是用M文件定义的函数;X0是的初始值;A,B,Aeq,Beq定义了线性约束,如果没有等式约束,则A=[],B=[],Aeq=[],Beq=[];LB和UB是变量的下界和上界,如果上界和下界没有约束,则LB=[],UB=[],如果无下界,则LB=-inf,如果无上界,则UB=NONLCON是用M文件定义的非线性向量函数;OPTIONS定义了优化参数,可以使用Matlab缺省的参数设置.
例2 求下列非线性规划问题
(i)编写M文件fun1.m
function f=fun1(x);
f=x(1)^2+x(2)^2+8;
和M文件fun2.m
function [g,h]=fun2(x);
g=-x(1)^2+x(2);
h=-x(1)-x(2)^2+2; %等式约束
(ii)在Matlab的命令窗口依次输入
[x,y]=fmincon(''fun1'',rand(2,1),[],[],[],[],zeros(2,1),[], ...
''fun2'', options)
就可以求得当时,最小值.
1.4 求解非线性规划的基本迭代格式
记(NP)的可行域为.
则称是(NP)的整体最优解,是(NP)的整体最优值.如果有
则称是(NP)的严格整体最优解,是(NP)的严格整体最优值.
若,并且存在的邻域,使
则称是(NP)的局部最优解,是(NP)的局部最优值.如果有
则称是(NP)的严格局部最优解,是(NP)的严格局部最优值.
由于线性规划的目标函数为线性函数,可行域为凸集,因而求出的最优解就是整个可行域上的全局最优解.非线性规划却不然,有时求出的某个解虽是一部分可行域上的极值点,但并不一定是整个可行域上的全局最优解.
对于非线性规划模型(NP),可以采用迭代方法求它的最优解.迭代方法的基本思想是:从一个选定的初始点出发,按照某一特定的迭代规则产生一个点列,使得当是有穷点列时,其最后一个点是(NP)的最优解;当是无穷点列时,它有极限点,并且其极限点是(NP)的最优解.
设是某迭代方法的第轮迭代点,是第轮迭代点,记
这里,显然是由点与点确定的方向.式(1)就是求解非线性规划模型(NP)的基本迭代格式.
通常,我们把基本迭代格式(1)中的称为第轮搜索方向,为沿方向的步长,使用迭代方法求解(NP)的关键在于,如何构造每一轮的搜索方向和确定适当的步长.
设,若存在,使
称向量是在点处的下降方向.
设,若存在,使
称向量是点处关于的可行方向.
一个向量,若既是函数在点处的下降方向,又是该点关于区域的可行方向,则称之为函数在点处关于的可行下降方向.
现在,我们给出用基本迭代格式(1)求解(NP)的一般步骤如下:
0& 选取初始点,令.
1& 构造搜索方向,依照一定规则,构造在点处关于的可行下降方向作为搜索方向.
2& 寻求搜索步长.以为起点沿搜索方向寻求适当的步长,使目标函数值有某种意义的下降.
3& 求出下一个迭代点.按迭代格式(1)求出
若已满足某种终止条件,停止迭代.
4& 以代替,回到1&步.
1.5 凸函数,凸规划
设为定义在维欧氏空间中某个凸集上的函数,若对任何实数以及中的任意两点和,恒有
则称为定义在上的凸函数.
若对每一个和恒有
则称为定义在上的严格凸函数.
考虑非线性规划
假定其中为凸函数,为凸函数,这样的非线性规划称为凸规划.
可以证明,凸规划的可行域为凸集,其局部最优解即为全局最优解,而且其最优解的集合形成一个凸集.当凸规划的目标函数为严格凸函数时,其最优解必定唯一(假定最优解存在).由此可见,凸规划是一类比较简单而又具有重要理论意义的非线性规划.
------分隔线----------------------------
专题页面精选
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  非线性LSTAR模型中的单位根检验--《21世纪数量经济学（第10卷）》2009年
非线性LSTAR模型中的单位根检验
【摘要】：正一、引言在过去的二十多年间,线性自回归模型被广泛应用到经济序列的分析中。然而,最近以来,很多研究文献指出众多的经济理论和经济变量都表现出非线性的特征。Engle and Granger(1987)指出,如果不同资产的价格存在协整关系,那么一旦出现价格偏离,套利行为就会使价格关系恢复到均衡状态。由于套利的存在,很多非平稳的金融时间序列会存在一个长期的均衡关系,并且在长期内有共同波动的趋势。然而,这种结论没有考虑交易费用的存在,在一个真实的金融交易中,交易费用总是存在的。交易费用的存在会阻碍价格的持续调整,很可能出现这样一种情况,套利并不是在任何一个时期都会发生,而是只有当价格偏离带来的无风险套利利润足以弥补套利行为的交易费用时套利行为才会发生。因此,这种长期的均衡关系并不是在任何时期都能保持的。这时误差修正的调整路径就呈现出非线性特征。如果忽视这种非线性特征,使用线
【作者单位】：
【分类号】：F224.0【正文快照】：
一、引言在过去的二十多年间，线性自回归模型被广泛应用到经济序列的分析中。然而，最近以来，很多研究文献指出众多的经济理论和经济变量都表现出非线性的特征。E雌le and Granger(1987)指出，如果不同资产的价格存在协整关系，那么一旦出现价格偏离，套利行为就会使价格关
欢迎：、、)
支持CAJ、PDF文件格式，仅支持PDF格式
【共引文献】
中国期刊全文数据库
滕建州;杨帆;刘志蛟;;[J];东北师大学报(哲学社会科学版);2013年05期
宋玉臣;季宇;;[J];东北大学学报(社会科学版);2013年05期
胡超;;[J];国际经贸探索;2013年10期
张璟;刘晓辉;;[J];国际金融研究;2013年11期
安辉;谷宇;钟红云;;[J];国际金融研究;2013年12期
王丰龙;刘云刚;;[J];地理学报;2013年12期
钟用;;[J];当代经济;2014年01期
许争;戚新;;[J];科学决策;2013年08期
寿晖;张永安;;[J];华东经济管理;2013年10期
郭莹莹;;[J];科学决策;2013年10期
中国重要会议论文全文数据库
;[A];首届中国金融发展学术论坛论文集[C];2013年
陈守东;杨东亮;;[A];21世纪数量经济学（第11卷）[C];2010年
刘汉中;王少平;;[A];21世纪数量经济学（第8卷）[C];2007年
陈守东;马辉;王晨;;[A];21世纪数量经济学（第8卷）[C];2007年
胡进;王少平;;[A];21世纪数量经济学（第10卷）[C];2009年
中国博士学位论文全文数据库
田珍;[D];南京农业大学;2012年
李新建;[D];华中农业大学;2013年
杨帆;[D];东北师范大学;2013年
王琨;[D];东北师范大学;2013年
刘朝阳;[D];东北师范大学;2013年
蔡利;[D];西南财经大学;2013年
王小锋;[D];西南财经大学;2013年
王建府;[D];西南财经大学;2012年
高展;[D];华东师范大学;2013年
邓伟;[D];华中科技大学;2013年
中国硕士学位论文全文数据库
江东;[D];江西财经大学;2013年
李天尧;[D];吉林财经大学;2013年
范恒冬;[D];安徽大学;2013年
张俊杰;[D];上海师范大学;2013年
冼学深;[D];华南理工大学;2013年
陈玲;[D];河南理工大学;2012年
杨惠;[D];南京师范大学;2013年
方丽;[D];浙江大学;2013年
金雪;[D];中国海洋大学;2013年
郭锦业;[D];中国海洋大学;2013年
【相似文献】
中国期刊全文数据库
郄欣;;[J];时代经贸(下旬刊);2008年08期
王劭;;[J];中国市场;2010年49期
周珺;;[J];金融与经济;2007年01期
赵银明;;[J];荆门职业技术学院学报;2008年06期
战明华,杨义群;[J];浙江大学学报(人文社会科学版);2001年03期
王海花;聂巧平;;[J];统计与信息论坛;2008年02期
郑华裔;;[J];现代经济(现代物业下半月刊);2009年10期
郭洪伟;;[J];统计与决策;2011年17期
赵月红;;[J];内蒙古科技与经济;2008年06期
姚秋丽;;[J];现代商贸工业;2009年11期
中国重要会议论文全文数据库
汪振洋;金镝;;[A];第六届（2011）中国管理学年会——金融分会场论文集[C];2011年
毛建青;;[A];2007年中国教育经济学年会会议论文集[C];2007年
孙凤莲;丁文斌;王雅鹏;;[A];“三农”问题与新农村建设——湖北省首届涉农领域青年博士论坛论文集[C];2006年
任博雅;李春林;;[A];中国现场统计研究会第十三届学术年会论文集[C];2007年
严正;程林;;[A];2008中国可持续发展论坛论文集（2）[C];2008年
李政;何彬;;[A];社会主义经济理论研究集萃——纪念新中国建国60周年（2009）[C];2009年
王玉华;杜连敬;房立波;;[A];建设经济文化强省：挑战·机遇·对策——山东省社会科学界2009年学术年会文集（1）[C];2009年
王蕾;谭东明;王静;;[A];黑龙江省农业工程学会2011学术年会论文集[C];2011年
朱钟棣;陈晶芳;;[A];2008年度上海市社会科学界第六届学术年会文集（经济·管理学科卷）[C];2008年
孙碧清;;[A];经济、技术与环境——全国经济管理院校工业技术学研究会第九届学术年会论文集[C];2008年
中国重要报纸全文数据库
唐少明;[N];期货日报;2008年
杨军;[N];期货日报;2007年
任勇?郑重;[N];现代物流报;2007年
徐坚;[N];期货日报;2007年
杨小强;[N];期货日报;2008年
倪成群;[N];期货日报;2008年
国家统计局青岛调查队 毕明星 孙昭信 周巍;[N];中国信息报;2008年
高辉;[N];期货日报;2005年
江明德?李配;[N];期货日报;2008年
新湖期货研究所
方美弟　付得玲;[N];期货日报;2011年
中国博士学位论文全文数据库
左秀霞;[D];华中科技大学;2012年
刘田;[D];西南财经大学;2009年
陈海燕;[D];天津大学;2010年
刘雪燕;[D];南开大学;2009年
苏卫东;[D];天津大学;2002年
徐镇绥;[D];青岛大学;2007年
陈永伟;[D];华中科技大学;2008年
张勇;[D];吉林大学;2009年
刘翌琼;[D];国防科学技术大学;2011年
杨继生;[D];华中科技大学;2007年
中国硕士学位论文全文数据库
霍建新;[D];天津财经大学;2011年
陈双金;[D];电子科技大学;2013年
张钰;[D];湖南大学;2005年
余为政;[D];湖南大学;2006年
徼锟;[D];天津财经大学;2007年
黄静;[D];吉林大学;2007年
吕季;[D];西南政法大学;2009年
刘素霞;[D];南京理工大学;2005年
李涛;[D];暨南大学;2005年
陈健;[D];广东外语外贸大学;2007年
&快捷付款方式
&订购知网充值卡
400-819-9993
《中国学术期刊（光盘版）》电子杂志社有限公司
同方知网数字出版技术股份有限公司
地址：北京清华大学 84-48信箱 大众知识服务
出版物经营许可证 新出发京批字第直0595号
订购热线：400-819-82499
服务热线：010--
在线咨询：
传真：010-
京公网安备75号var sogou_ad_id=731545;
var sogou_ad_height=90;
var sogou_ad_width=980;模型——方程或方程组，每个方程含有多个变量，分为因变量和自变量。
线性模型——所有的变量都是一次的，就是说，所有变量都不是以2次方的形式或任何更高的次方的形式出现在方程中。
非线性模型——模型中的方程中的变量至少有1个是以高于1次方的形式出现的。
从图形中表示出来是这样的，线性模型中，坐标中的线是直线，而非线性模型中，坐标中的线是曲线。
（实际上广义的曲线包括直线。）
模型——方程或方程组，每个方程含有多个变量，分为因变量和自变量。
线性模型——所有的变量都是一次的，就是说，所有变量都不是以2次方的形式或任何更高的次方的...
(1)方程1和方程3之所以可以识别，是因为系统中的任意方程的线性组合都不能化简出1和3的形式。方程1中有Y和C，不能通过方程3和方程2 得到一个只有y和c 的方...
经济学中是指不是通过降低价格，而是通过增加产品其他特征的优势进行竞争的方式
我05年数学三142分，在考东北大学工商管理学院的一千二百多人中数学名列第一。
介绍一下最新版考研数学对应教材，注意是“对应”，考研并没有“指定”教材。《高等...
存款扩张倍数即为货币乘数是指货币供给量对基础货币的倍数关系。
在货币供给过程中，中央银行的初始货币提供量与社会货币最终形成量之间客观存在着数倍扩张（或收缩）的效...
答: 这一抹新绿，让渴望春天的人们有了这样的心理感受寒冷的冬天已经离去，温暖的春天即将到来
答: 你好，科学教育专业包括小学科学教育和中学科学教育。
答: 这个我支持
答: 剑桥国际教育中心是有剑桥五级的考试培训和伦敦三一口语培训。
"伦敦三一口语（GESE）"的全称为：英国伦敦三一学院英语口语等级考试（GESE-Graded E...
大家还关注
确定举报此问题
举报原因(必选)：
广告或垃圾信息
激进时政或意识形态话题
不雅词句或人身攻击
侵犯他人隐私
其它违法和不良信息
报告，这不是个问题
报告原因(必选)：
这不是个问题
这个问题分类似乎错了
这个不是我熟悉的地区论文发表、论文指导
周一至周五
9：00&22：00
一类非线性经济发展系统的半离散模型分析
2012年第15期目录
&&&&&&本期共收录文章20篇
　　内容摘要：经济系统是一个演化着的复杂系统，具有复杂的层次结构。近年来，系统科学理论的进展为研究经济系统提供了新的思路和方法，对资产发展方程的研究已取得一些成果。本文讨论了一类非线性经济发展系统的半离散模型，利用泛函分析和积分方程理论得到其解的存在性和唯一性，以期为今后经济决策的制定提供理论依据。 中国论文网 /2/view-3029695.htm　　关键词：非线性经济发展系统 半离散模型 存在性 唯一性 　　 　　引言 　　经济系统是一个演化着的复杂系统，具有复杂的层次结构。近年来，系统科学理论的进展为研究经济系统提供了新的思路和方法，对资产发展方程的研究已取得一些成果。经济系统是人参与的系统，这个系统的功能归根到底是为了生产和消费。从这个意义上讲它是个生灭系统，生产过程代表了生的过程，为居民提供消费品并且为再生产注入新的资产；消费过程和生产过程中的资产消耗代表了灭的过程。生灭过程在客观世界中是广泛存在的，如生物种群的繁衍，人口的出生和死亡，森林的开采和种植等。本文从这个思想出发，应用系统科学和控制论方法，引入双变量的连续函数，既考虑资本与时间的关系，又考虑资本的役龄，用积累率控制投资规模，建立如下资产的连续发展过程的线性模型： 　　 （1） 　　其中Ω=(0,am)，Q=(0,am)×[0,T]，p(a,t)为时刻t资产按役龄a的分布密度函数，μ(a,t)为时刻t役龄为a的资产相对折旧率，r(t)为时刻t资产的积累率，b(a,t)是按役龄的资产产出率，它与劳动力构成和技术以及管理水平等因素有关，p0(a)为初始时刻资产按役龄a的分布密度函数，N(t)为时刻t的资产总量。 　　线性系统模型（1）忽略了企业与社会环境间的制约关系，而环境制约在动力系统中普遍存在。对于企业的发展过程而言，环境制约主要来自两个方面：一是由于受科技进步的影响，企业资产除了物理磨损外，还存在着精神磨损的问题，也就是企业的部分资产在报废前脱离生产过程，其实际使用年限低于其物理使用年限；二是由于受消费总量的制约，企业在一定时期会出现生产负荷不足，部分资产长期闲置、转让或改为它用，也就是脱离其原来所在的生产过程。这就使得企业的生产规模不可能无限制地扩大，从长期观点来看，呈现非线性发展趋势。 　　设f（N(t)）为t时刻单位时间内退役的资产与企业资产总量的比值，称为环境制约函数（俞迎达，1997），它是仅与资产总量N(t)相关的非负函数，f(x)≥0为定义在[0,+∞]上的连续单调增加函数，且f(0)=0，将环境制约函数引入到方程（1）中得到如下非线性非定常企业资产发展方程： 　　（2） 　　半离散逼近法是求用抛物型方程描述的物理和工程问题的数值近似解的一种重要的方法，利用半离散逼近法可以把一个抛物型偏微分方程化为一个矩阵常微分方程，而后者在许多问题上都可以作为原问题的近似，半离散逼近方程还保持了原问题的许多重要物理意义。本文利用此方法将经济发展系统中的一类非线性模型（2）化为一类具有广泛意义的半离散模型，该模型是按时间连续役龄离散得到的，本文证明半离散模型解的存在性和唯一性，这为今后经济决策的制定提供了理论依据。 　　半离散模型 　　在本文中，假设μ(a,t)∈C(Q)，r(t)∈C(0,T)，b(a,t)∈C(Q)。对资产分布密度函数p(a,t)关于役龄a离散，保持时间变量t连续，用半离散逼近法求经济系统（2）的半离散模型。 　　首先，对区间[0,am]作如下划分：0=a0　　由（其中），可得 （其中）。 　　其次，对方程（2）中第一个等式的两边从ai到ai+1积分，可得： 　　(i=0,1,…,n-1)。 　　即，所以，。 　　记，略去高阶项，可得： 　　记X(0)=(x1(0),x2(0),…,xn-1(0))T=X0，如果定义范数：，则，对方程（2）中的边界条件离散化：（其中bi(t)=b(ηi,t)，ai≤ηi≤ai+1)，所以， 　　由公式（3）、（4）、（5）可得方程（2）的半离散模型为： 　　本文引进向量与矩阵表示，令X(t)=(x1(t),x2(t),…,xn-1(t))T，X(0)=(x1(0),x2(0),…,xn-1(0))T，则有： 　　半离散模型解的存在性和唯一性 　　当f(N(t))=0时，可建立如下的线性半离散模型： 　　对方程（8）进行分析，有如下结论： 　　定理1：设r(t)，bi(t)，μi(t)(i=1,2,…,n-1)为t≥0的连续函数，则方程（8）对任何初始状态X0都存在唯一古典解。 　　证明：任给T>0，取状态空间H=C([0,T]；Rn-1)，选择Rn-1中的通常范数，令，定义映射，则 　　（其中）。 　　类似地，可得 ，一般地，，因此，对任意正整数n及0≤t≤T，有 。 　　现在，取n充分大使得，则由Banach压缩映像原理（张恭庆，1978）知，F在C([0,T]；Rn-1)中存在唯一不动点X(t)，满足，两边求微分可知X(t)是方程（8）的解。 　　由T的任意性，对t≥0，方程（8）存在唯一古典解，定理得证。 　　定理2：方程（7）有古典解的充分必要条件是：存在一个非负连续函数N(t)，使得（其中Nq(t)=y0(t)+y1(t)+…+yn+1(t)，(y0(t),y1(t),…,yn+1(t))T是（8）的解）。 　　证明：记。若X(t)是方程（7）的解，则 ，易证 　　yi(t)是方程（8）的解。 　　因此， 　　，从而，即。 　　反之，若存在一个非负连续函数N(t)，满足，则，易证X(t)是方程（7）的解，定理得证。 　　定理3：若f是非负单调增加连续函数，则方程（7）的解是唯一的。 　　证明：由定理2可知，方程（7）存在古典解。 　　假设X(t)=(x0(t),x1(t),…,xn-1(t))T，Y(t)=(y0(t),y1(t),…,yn-1(t))T都是方程（7）的解，则N1(t)=x0(t)+x1(t)+…+xn-1(t)，N2(t)=y0(t)+y1(t)+…+yn-1(t)。 　　由定理2可得， 与都是方程（8）的解。又由定理1可得，= 　　，从而= 　　若xi(t)>yi(t)，则N1(t)>N2(t)，从而>，这与（9）式矛盾，所以xi(t)>yi(t)不成立。 　　若xi(t)<yi(t)，则可类似推得与（9）式矛盾。故xi(t)≡yi(t)，即X(t)≡Y(t)，定理得证。 　　定理4：若f满足Lipschitz条件，则方程（7）的解是唯一的。 　　 　　参考文献： 　　1.于景元，郭宝珠，朱广田.人口分布参数控制系统理论[M].华中理工大学出版社，1999 　　2.周天勇.劳动与经济增长[M].上海三联书店，1994 　　3.宋建，于景元.人口控制论[M].科学出版社，1988 　　4.Jiao Hong-bing，Yu Jing-yuan，Qi Chuan-da.Solution of a class of Investment Developmental Equations[J].系统科学与数学，2000（2） 　　5.Zhang Qi-min，Nie Zan-kan.Existence and Uniqueness of Solutions for Stochastic Forest Evolution[J].应用数学，2003（4） 　　6.焦红兵，姚兰，刘文菡等.含有时滞的CES生产函数的资产投资模型解的稳定性[J].数学的实践与认识，2006（2） 　　7.焦红兵，刘会茹.一类非线性的经济系统控制模型的稳定性分析[J].数学的实践与认识，2006（8） 　　8.于景元，赵军.经济系统的控制模型及其解的性质[J].控制与决策，1996（4） 　　9.于景元，赵军.经济增长中的投资控制模型[J].系统工程理论与实践，） 　　10.刘会茹.带有环境制约函数的非线性企业投资方程解得渐进性[J].平顶山学院学报，2007（4） 　　11.张红梅，刘会茹，蔡慧萍等.线性经济发展系统解得性质研究[J].数学的实践与认识，2010（23） 　　12.李红，李大潜.经济增长的控制模型研究.北京信息控制研究所博士论文，2002 　　13.俞迎达.投资经济数理分析[M].海洋出版社，1997 　　14.于景元，郭宝珠，朱广田.半离散人口发展系统的控制[J].系统科学与数学，1987（7） 　　15.张恭庆.泛函分析讲义[M].北京大学出版社，1987 　　16.谷超豪，李大潜.应用偏微分方程[M].高等教育出版社，1993
转载请注明来源。原文地址：
【xzbu】郑重声明：本网站资源、信息来源于网络，完全免费共享，仅供学习和研究使用，版权和著作权归原作者所有，如有不愿意被转载的情况，请通知我们删除已转载的信息。
xzbu发布此信息目的在于传播更多信息，与本网站立场无关。xzbu不保证该信息（包括但不限于文字、数据及图表）准确性、真实性、完整性等。}