大家好，今天我们聊一聊极限、无穷小、无穷大、无界之间的联系。好多备战考研数学的同学，在复习第一章函数-极限与连续的知识点时，身边的教材里，只给出了极限、无穷小以及无穷大之间的联系。少介绍一个：无穷大和无界之间的联系。诺，不说假话，宝刀君放图吧，比如李范全书Page-14:图为李范全书事实上呢，关于无穷大和无界的关系，也是很容易混淆学生的概念。读到这里，你以为我接下来是要讲无穷大和无界之间的联系了吗？其实并不是，我们先不着急。今天的文章，主要讲2个内容：一个是上图画红框的地方：无穷小和极限的联系的用途？第二个是无穷大和无界之间的联系。OK，下面宝刀君就义不容辞的出场献丑了。1、无穷小和极限的联系，它的用途是？按李范书上所言，当x趋于x0时，一个函数的极限是A，那么这个函数f(x)可以写为A+alpha(x)，其中这个alpha(x)是x趋于x0时的无穷小。这么写，有什么用途呢？宝刀君送你四个字：化繁为简！再送你六个字：化抽象为具体！什么意思呢？化繁为简是说，我看到那极限符号不顺眼，我嫌它复杂，太繁琐了，不想每次一动笔就是lim，我烦了，于是乎，借助于无穷小，我可以将极限符号去掉，得到简单的函数表达式。化抽象为具体是说：原本我这个函数f(x)啊，是一个抽象的函数，我压根就不知道它的解析式是什么？但是借助于无穷小，我就能进而得到函数f(x)的解析式，这是具体的！干巴巴的说没意思，举个例子吧。比如说，对于下面这个极限：举例1你只知道该函数的极限值是3，但是对于函数f(x)，你一无所知。但是如果对该极限进一步操作，可以得到：举例1变形看到了吗？通过借助于无穷小，我们得到了函数f(x)的解析表达式，这比之前的好多了，用这个骚骚的操作，就可以对一些涉及函数性质的选择题做快速的判断啦！以上，就叫做化繁为简、化抽象为具体。2、无穷大和无界之间的联系有同学问宝刀君：无穷大就是无界？无界就是无穷大？这两句话谁是正确的？当然是第一句啦！无穷大就是无界，这句话是正确的！无穷大就是无界，这句话很好理解，你都顶上天了，你肯定是无界的！那为什么第二句无界就是无穷大是错误的呢？你能给小僧（准研究僧）个例子吗？完全可以啊！比如说，有一个函数是：我们可以看到，在这个函数里，如果该函数是有界的，那么你得找到一个临界值M，如果它是无界的，那么只需要该函数有无穷大即可。很明显，余弦函数cosx取1时，x为2kπ，y趋于无穷大时，x趋于无穷大，即k趋于无穷大，但是这个k是从基础的0,1,2,3开始取的，并不是一直取无穷大。你看看该函数的图像，只有x趋于无穷大时，才为无界，所以它是无界的。虽然它是无界的，但是它也不是一直都是无穷大。因此，该函数就充分说明了：无穷大是无界的充分不必要条件！无界不一定无穷大！类似的，像函数lim x*sinx也是一样的道理，感兴趣的同学可以推导下。3、总结宝刀君今天给大家分享的考研数学知识点呢，是对全书上“极限、无穷小以及无穷大之间的联系”该知识点的一个补充，希望对考研学子的复习有帮助！谢谢大家的捧场阅读！*******************************************哈喽，大家好！我是宝刀君，微信公众号：教书匠宝刀君，ID:BDJ0501，专注考研数学、自动控制原理的辅导，有料、有趣、有深度！如果您觉得我的文章对您理解知识点有帮助，麻烦伸出可爱的指头顺手帮我 点个赞 ，鼓励我继续创作，非常感谢您的举手之劳~}

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书上的定义是：收敛函数必有界，反之不一定成立。所以说明发散函数也可以有界。无界函数一定发散。发散函数一定没有极限。}