本文介绍一些在实际物理或工程领域出现的一些常见的，相对比较简单的微分方程,以非线性方程为主，其解析解可以利用变换与积分求解.等尺度方程与尺度不变方程物理学中的许多物理量(如湍流中的结构函数，临界相变中的磁化强度等)都有所谓的尺度或者尺度指数,体现了它们在不同尺度下观察的自相似性的特点，反映到微分方程中，则是对方程做尺度变换之后，方程的形式不变.如果对方程的自变量做自变量尺度变换\xi=kx之后，方程的形式不变,其中k为非零常数.我们称其为等尺度方程.等尺度方程在变换x=e^t下均会化为自治系统，较为简单的可以积分求解.我们来看例1演示一下：例1.xy''-yy'=0简单验证一下该方程是等尺度方程：在变换\xi=kx下，x=\frac{\xi}{k}，y不动，\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{d\xi}\frac{d\xi}{dx}=k\frac{dy}{d\xi}，\frac{d^2y}{dx^2}=k^2\frac{d^2y}{d\xi^2}. 因此方程xy''-yy'=0化为\frac{\xi}{k}k^2\frac{d^2y}{d\xi^2}-yk\frac{dy}{d\xi}=0即\xi\frac{d^2y}{d\xi^2}-y\frac{dy}{d\xi}=0与原方程相同. 所以该方程是等尺度方程，故对其做变换x=e^t, 原方程化为 \frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}-y\frac{dy}{dt}=0, 令z=\frac{dy}{dt}, 则方程化为如下自治系统\left\{ \begin{array}{l} y'(t)=z\\ z'(t)=z(1+y)\\ \end{array} \right.\\显然该方程有一个平凡解z=0，此时解为常数函数y=C.当z\neq0时，上述自治系统可化为\frac{dz}{dy}=1+y\\积分可得z=\frac{1}{2}y^2+y+C即\frac{dy}{dt}=\frac{1}{2}y^2+y+C\\分离变量，积分回代即得通解y=2A\tan(A\ln{x}+B)-1\\ 其中B为常数，4A^2=2C-1.而如果对方程的自变量和因变量同时做自变量尺度变换\xi=kx,z=k^ay之后方程的形式不变，那么我们称其为尺度不变方程，其中k,a均为非零常数.尺度不变方程可以通过变换y=x^az化为等尺度方程继续处理.我们结合下面这个例子来看一下例2.描述原子中势能分布的托马斯-费米方程为y''=x^{-\frac{1}{2}}y^{\frac{3}{2}}是尺度不变方程，大家可以自己验证一下，保持形式不变的尺度变换为\xi=kx,z=k^{-3}y.故可以对方程做变换y=x^{-3}z，方程变换为\frac{d^2z}{dt^2}-7\frac{dz}{dt}+12z=z^{\frac{3}{2}} \\虽然该方程依然很难求解析解，但是此时我们不难找到一个特解：常数解.由于常数的各阶导均为0，因此我们解方程12z=z^{\frac{3}{2}}得z=144.因此原方程有一个特解为y=144x^{-3} \\这个解满足托马斯-费米方程的一种特殊边界条件\lim_{x\to+\infty}y=0.伯努利(Bernoulli)方程伯努利方程是非常常见的一类一阶非线性方程，其一般形式为y'+p(x)y+q(x)y^{m}=0， (m\neq0,1) \\该方程两边同时除以y^{m},令z=y^{1-m}，即化为一阶线性微分方程z'+p(x)z+q(x)=0 \\按照一阶线性微分方程求解即可不再赘述.看一个题目简单了解一下过程例3.解方程y'+\frac{1}{x}y-x^2y^{3}=0\\ 显然这是p(x)=\frac{1}{x}，q(x)=-x^2，m=3的伯努利方程，做变换z=y^{-2}，方程化为z'-\frac{2}{x}z+2x^2=0 \\解得z=x^2(C-2x),C为常数.所以原方程解为y=\pm\frac{1}{x\sqrt{C-2x}} \\这种方法可以推广到一类一阶微分方程（也被叫做广义伯努利方程），其一般形式为y'+p(x)G(y)+q(x)H(y)=0 \\在p(x),q(x)不改变情况下，一阶线性方程v'+p(x)v+q(x)=0也被叫做广义伯努利方程的基础方程.广义伯努利方程求解的关键便是寻找y与v的关系.不妨先假设v=F(y)，那么显然有\frac{dv}{dx}=F'(y)\frac{dy}{dx},代入其基础方程化简可得y'+p(x)\frac{F(y)}{F'(y)}+q(x)\frac{1}{F'(y)}=0 \\将该方程与广义伯努利方程对比不难得出G(y)=\frac{F(y)}{F'(y)},H(y)=\frac{1}{F'(y)} \\因此v=F(y)=\frac{G(y)}{H(y)} \\这样我们其实就完成了广义伯努利方程的求解.当然很明显这个解需要给G(y),H(y)提出一些要求.我们对F(y)=\frac{G(y)}{H(y)}两边求导有F'(y)=(\frac{G(y)}{H(y)})’，而F'(y)=\frac{1}{H(y)}，因此G(y),H(y)需要满足H(y)(\frac{G(y)}{H(y)})’=1 \\这个条件也叫连接条件.如果一个广义伯努利方程满足连接条件，按照上述流程求解即可；如果不满足连接条件，可能需要在方程两边同时乘除一些因子使得新方程满足，不过一般这种情况下的解析解往往过于复杂，解析解没有太多实用价值.通过一个题简单看一下这个流程例4.方程y'+e^x-e^{x-y}=0是一个广义伯努利方程，符号依次对应如下p(x)=e^x,q(x)=-e^x,G(y)=1,H(y)=e^{-y} \\不难验证其满足连接条件H(y)(\frac{G(y)}{H(y)})’=e^{-y}e^{y}=1\\ 其基础方程v'+e^xv-e^{x}=0变量可分离，通解v=1+Ce^{-e^x}，C为积分常数.故v=F(y)=\frac{G(y)}{H(y)}=e^y，因此该方程通解为y=\ln(1+Ce^{-e^x}),C为常数 \\里卡蒂(Riccati)方程里卡蒂方程是另外一类在其他学科经常遇到的微分方程，其一般形式为y'+p(x)y+q(x)y^2+r(x)=0 \\很明显r(x)=0的里卡蒂方程就是m=2的伯努利方程，因此我们主要考察的是r(x)\neq0的里卡蒂方程. 引入变换y=\frac{G(x)}{F(x)}，代入方程整理得[G'+p(x)G+r(x)F]F-[F'-q(x)G]G=0 \\显然F(x),G(x)的选法不唯一，因此我们可以选取一些方便求解的附加条件，比如可以让上式方括号部分均为0.这样由第二个括号可得关系式G=\frac{F'}{q(x)},因此有y=\frac{G(x)}{F(x)}=\frac{F'(x)}{q(x)F(x)}=\frac{1}{q(x)}(\ln{F})' \\这个变换称为里卡蒂变换，或者对数求导变换，在这个变换下，我们只要求解刚刚未考虑的第一个方括号方程G'+p(x)G+r(x)F=0即可.将G=\frac{F'}{q(x)}代入化简可得方程：F''+(p-\frac{q'}{q})F'+qrF=0 \\求解这个二阶线性方程得到F,进而获取可以到y.当然要说明的是F并不是总能解出来的.另外一个在里卡蒂方程中需要考虑的情况是，如果我们已经找到了方程的一个特解y_{1}，那么可以直接令y=y_{1}+u,代入初始的里卡蒂方程即可获取到u满足的伯努利方程u'+(p+2qy_{1})u+qu^2=0\\ 通常来说这个方法比上面的一般方法来得简单.演练一个题例5. y'+\frac{1}{2}y^2=-\frac{1}{2x^2}是一个里卡蒂方程，其中各项对应为p(x)=0,q(x)=\frac{1}{2},r(x)=\frac{1}{2x^2},需要发现该方程的一个特解为y=\frac{1}{x},因此可以设y=\frac{1}{x}+u，代入原方程可得u'+\frac{1}{x}u+\frac{1}{2}u^2=0\\ 这是一个伯努利方程，按照伯努利方程解法进行，设z=u^{-1},则方程化为z'-\frac{1}{x}z-\frac{1}{2}=0 \\这是一个一阶线性微分方程，可以直接套公式解得z=x(C+\frac{1}{2}\ln\mid x\mid),其中C为常数.因此原方程通解为y=\frac{1}{x}[1+(C+\frac{1}{2}\ln\mid x\mid)^{-1}] \\克里斯托(Chrystal)方程克里斯托方程也是一类常见的非线性微分方程，其一般形式为(y')^2+axy'+by+cx^2=0 \\此方程可以改写为(y'+\frac{ax}{2})^2=(\frac{a^2}{4}-c)x^2-by \\若b=0,直接开方积分即可.当b\neq0时，做变换y=x^2z之后方程可化为(xz'+2z+\frac{a}{2})^2=\frac{a^2}{4}-c-bz \\为了方便求解我们可以再换元一次,令v^2=\frac{a^2}{4}-c-bz,则方程化为xvv'+v^2\pm\frac{b}{2}v=\frac{1}{4}(a^2+ab-4c) \\当a^2+ab-4c=0时，约去一个v化为了一阶线性微分方程；当a^2+ab-4c\neq0时,解析解难以获取.}