谢邀。我也不知道确切的定义。我觉得书上想强调就是这个函数在靠近0时两个方向的极限并不存在，而不是简单的趋向无穷。至于用定义证明的话，我提供一个粗略的。\forall \epsilon>0, 总存在整数N充分大使得x_1=\frac{1}{2\pi (N+\frac{1}{4})}<\epsilon, 那么x_2=\frac{1}{2\pi (N+\frac{3}{4})}<\epsilon. \\那么就有f(x_1)=1, f(x_2)=-1。所以不管\epsilon>0取到多小, f在(0,\epsilon)上总是既能取到1也能取到－1。 \lim_{x \rightarrow {0}^{+}}f(x)的极限显然不存在。另一个方向的极限同理也不存在。}

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展开全部最佳答案的例子是错误的！y在x=0时有定义，而且sinx趋近于0-的极限=x趋近于0+的极限=0，为什么x=0是间断点？它哪里间断了？这样的错误答案竟然排在首位推荐！希望不要误导其他人！如果说f(x)=sinx（在x<0时）,x（在x>0时），那么x=0是可去间断点没有问题，因为x=0没有定义。设f(x)在Xo的某一去心邻域内有定义，且Xo是函数f(x)的间断点，那么如果f(x-)与f(x+)都存在，则称Xo为f(x)的第一类间断点。又如果f(x-)=f(x+)且不等于f(Xo)（或f(Xo)无定义）,则称Xo为f(x)的可去间断点(Removable Discontinuity )。可去间断点可以用重新定义Xo处的函数值使新函数成为连续函数。可去间断点是左极限和右极限存在但是该点没有定义又称为可补间断点。可去间断点就是左极限=右极限，但是不=该点的函数值，或者在该点没有定义。因此，可去间断点是不连续的。如果=f(a), a就是可去间断点。给定一个函数f（x）如果x0是函数f(x)的间断点，并且f(x)在x0处的左极限和右极限均存在的点称为第一类间断点。若f(x)在x0处得到左、右极限均存在且相等的间断点，称为可去间断点。需要注意的是，可去间断点需满足f（x）在x0处无定义，或在x0处有定义但不等于函数 f（x）在x0的左右极限。已赞过已踩过你对这个回答的评价是？评论
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Hello，亲爱的同学们大家好！我还是那个集帅气与才华于一身，只能在这里带大家学数学、撸知识，外加写一写文章的阳阳老师~在谈间断点之前，我想先说一下【连续】这个问题，那么什么叫做连续呢？【连续】设函数 f(x)在某 U(x_{0})内有定义，若 \lim_{x\rightarrow x_{0}}{f(x)}=f(x_{0})，即极限值等于该处的函数值，则称 f(x)在点 x_{0}连续， x_{0}称为 f(x_{0})的连续点。【注意】要使f(x)在 x_{0}连续，不可忽略的三个条件：①函数 f(x)在点 x_{0}的邻域有定义，也就是【定义1】里面的“设函数 f(x)在某 U(x_{0})内有定义”；② \lim_{x\rightarrow x_{0}}{f(x)}=f(x_{0})，即 f(x)在x_{0}的极限存在（左右极限分别存在且相等）；③ \lim_{x\rightarrow x_{0}}{f(x)}=f(x_{0})，即当 x\rightarrow x_{0}时，f(x)的极限值等于该处的函数值。【补充】一切初等函数在其定义域内都是连续的。【链接】初等函数是由幂函数（power function）、指数函数（exponential function）、对数函数（logarithmic function）、三角函数（trigonometric function）、反三角函数（inverse trigonometric function）与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生，并且能用一个解析式表示的函数。【一致连续】 \forall \varepsilon>0,\exists\delta>0, 当
x-x_{0}|<\delta时， s.t.|f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon.【注意】参数 \delta 仅与 \varepsilon有关，与所选取的任意两点 x_{x},x_{2}无关，即 \delta=\delta(\varepsilon)。【说明】“s.t. ”在数学中一般的意思是：使......成立。它是subject to的缩写形式。【连续和一致连续的区别】
连续一般是对于某个点而言的，如果函数上的每一个点都是连续的（即满足连续的定义），那么我们就称这个函数为连续函数，但这个函数并不一定是一直连续的，也就是说，一致连续一定是连续的，反之，则不一定成立。另外，连续函数只需要满足上文提到的①②③点就可以了，但是一致连续还在某种程度上还要求函数的一种趋势。一般是，在定义域上没有发展到无穷大、没有在某个小区间内进行无限次的震荡、更没有常见的断开点（我这里没用间断点，下文会解释），所以一致连续要比连续的条件更强。下面这个例子里的函数在定义域内是连续的，但是不是一致连续的：说完了和连续相关的一些知识，那现在我们开始聊一些间断相关的内容。你猜一下间断是怎么定义的？！简单粗暴的来讲就是，不满足连续的定义，我们就可称之为间断。那么间断点有哪些呢？小编在这里就给大家絮叨一下：【间断点的分类】首先，说明不同的教材，有不同的分类系统，但是以下这个分类是比较常规和全面的，我将用图像结合定义的方式告诉大家，间断点的类别：图示：①-1图像如下：①-1图 坐标轴：横x竖y①-2图像如下：①-1图 坐标轴：横x竖y②图像如下：②的一种情况 坐标轴：横x竖y③图像如下：y=1/x的图像 坐标轴：横x竖y（y=tan（x）也可以，其实还有很多例子）④图像如下：y=sin（1/x）的图像，其实，y=cos（1/x）也是类似的下面我把④图中间红色稠密的地方放大看一下：其实这个函数在[-1,1]之间真当了无限次放大之后就只剩下一抹“姨妈红”了~但是在这一片茫茫“红海”中，那个（0,0）点事无定义的。解决一些问题：1、连续一定可积，但是可积不应定连续。因为在只要含有第一类间断点的函数都是可积的，但是它们明显不是连续的。2、含有第二类间断点的函数可积吗？含有第二类间断点的函数不一定可积，如果是含有有限个跳振荡间断点的函数是可积的，但是含有无限多个的时候就不一定了，也可能可积，也可能不可积。含有无穷间断点的话，不一定可积，但是也有可积的例子，被称为广义积分。见下图：含有无穷间断点，但是可积3、间断点都是断开的吗？是的。间断点显然都是断开的，但是间断点并非都是无定义的，例子可参照可取间断点或者跳跃间断点。4，存在处处不可导的函数吗？存在。魏尔斯特拉斯函数是处处连续但是处处不可导的函数，你用笔是画不出来这个函数的任何一部分的。从连续函数必可积也可以知道，魏尔斯特拉斯函数也是可积的。好了到了现在文章的主题基本就已经完成了，但是小编还有话说：
恋爱里面的野蛮女友，就像函数的间断点问题，虽然有时候女朋友的脾气像振荡间断点一样瞬息万变，飘忽不定，但是也有可能是可积的。利用博弈论的思想，有时候最适合你女朋友的方法并不是最好的，更别想最适合你的方法（除非你想狗“带”），那么就要选取折中甚至折中偏向女朋友的方法往往是更好一点的。第一，这样她不会觉得你是在敷衍他，更不会觉得她自己过分了（就算是她过分了，在心里默默地说一千次也别说出来，否则，那只能祝你平安了！）祝天下所有谈恋爱的情侣都能有情人终成眷属，祝没有谈恋爱的小伙伴都如愿的能找到自己的另一半！
最后，我想说，创作不易，有时候我因为写一篇文章，就要翻好多笔记和不同版本的教材以及请教我的老师和朋友，希望大家多多支持我，也感谢上天给一个自以为很有才的年轻人一个与他人分享的机会，我依然是那个没有钱约会，只能在这里带大家学数学，撸知识，写文章的爱国青年，感谢有你！汝若不离不弃，吾愿生死相依。}