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展开全部是积分得到的，对密度函数从负无穷到x积分，由于函数分段，所以分段积分，若x<=0，积分为零（密度函数为零），若x>0，先从负无穷到零积分等于零，再从零到x积分得到分布函数的形式。如果一个随机变量呈指数分布，当s,t≥0时有P(T>s+t|T>t)=P(T>s)。即，如果T是某一元件的寿命，已知元件使用了t小时，它总共使用至少s+t小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少s小时的概率相等。扩展资料：勒贝格积分的出现源于概率论等理论中对更为不规则的函数的处理需要。黎曼积分无法处理这些函数的积分问题。因此，需要更为广义上的积分概念，使得更多的函数能够定义积分。同时，对于黎曼可积的函数，新积分的定义不应当与之冲突。勒贝格积分就是这样的一种积分。 黎曼积分对初等函数和分段连续的函数定义了积分的概念，勒贝格积分则将积分的定义推广到测度空间里。参考资料来源：百度百科-积分已赞过已踩过你对这个回答的评价是？评论
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展开全部指数函数的一个重要特征是无记忆性（Memoryless Property，又称遗失记忆性）。这表示如果一个随机变量呈指数分布，当s,t≥0时有P(T>s+t|T>t)=P(T>s)。即，如果T是某一元件的寿命，已知元件使用了t小时，它总共使用至少s+t小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少s小时的概率相等。
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展开全部以1/θ为参数的指数分布，期望是θ，方差是θ的平方这是同济大学4版概率论的说法。当然，一般参考书说成：以λ为参数的指数分布，期望是1/λ，方差是（1/λ）的平方，其实是一回事！！！！展开全部如果你用的是上海交通大学出版社出版的<<概率论与数理统计>>它的指数分布的数学期望是λ,方差是λ的平方,但是它的指数分布的概率密度与高教出版社的不同,需要你注意,提醒一下.
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1 泊松分布指数分布和泊松分布息息相关，所以先简单回忆下之前介绍过的泊松分布。公司楼下有家馒头店，每天早上六点到十点营业：老板统计了一周每日卖出的馒头（为了方便计算和讲解，缩小了数据），想从中找到一些规律： \begin{array}{c|c}
\qquad\qquad&\qquad销售\qquad\\
\hline\color{SkyBlue}{周一}& 3 \\
\hline \color{blue}{周二}& 7 \\
\hline \color{orange}{周三}&4\\
\hline \color{Goldenrod}{周四}&6\\
\hline \color{green}{周五}&5\\ \end{array} \\从中可以得到最简单的规律，均值：\overline{X}=\frac{3+7+4+6+5}{5}=5 \\这个规律显然不够好，如果把营业时间抽象为一根线段，把这段时间用T 来表示：然后把卖出的馒头数画在这根线段上（节约篇幅，只画出周一周二作为示意），可以看到每天卖出的馒头起伏还是很大的：经过老板一系列的骚操作（更具体的推导请看如何理解泊松分布），最后得到每日卖出的馒头数X 服从泊松分布：X\sim P(\lambda),\quad \lambda=\overline{X}\\泊松分布的具体表达式为：P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\\据此可以画出每日卖出馒头数的概率分布，这个规律就比均值要精细很多了：2 馒头卖出之间的时间间隔下面来讨论另外一个问题，馒头卖出之间的时间间隔：可以看出也是随机变量（也就是图中的T_1、T_2、T_3、\cdots ），不过相对馒头卖出个数而言，时间间隔肯定是连续的随机变量。如果知道这个时间间隔，老板也好调整自己的服务员人数（时间间隔短，那么需要的服务人员就多，反之需要的就少），优化成本结构。那么问题来了，这个时间间隔服从什么分布？3 一天的间隔既然都是卖馒头的问题，那么还是让我们从已知的泊松分布上想想办法。之前得到的泊松分布让我们知道了每天卖出的馒头数，所以下面按天来分析看看。假如某一天没有卖出馒头，比如说周三吧，这意味着，周二最后卖出的馒头，和周四最早卖出的馒头中间至少间隔了一天：当然也可能运气不好，周二也没有卖出馒头。那么卖出两个馒头的时间间隔就隔了两天，但无论如何时间间隔都是大于一天的：而某一天没有卖出馒头的概率可以由泊松分布得出：P(X=0)=\frac{\lambda^0}{0!}e^{-\lambda}=e^{-\lambda}\\根据上面的分析，卖出两个馒头之间的时间间隔要大于一天，那么必然要包含没有卖出馒头的这天，所以两者的概率是相等的。如果假设随机变量为：Y=卖出两个馒头之间的时间间隔\\那么就有：P(Y > 1)=P(X=0)=e^{-\lambda}\\4 泊松过程之前求出的泊松分布实在限制太大，只告诉了我们每天卖出的馒头数。不过没有关系，稍微扩展下可以得到新的函数：P(X=k,t)=\frac{\left(\lambda t\right)^k}{k!}e^{-\lambda t}\\通过新的这个函数就可知不同的时间段内卖出的馒头数的分布了（t=1 时就是泊松分布）： \begin{array}{c|c}
\hline
\quad \quad &\quad t\quad&\quad PDF\quad\\
\hline
\\
每天卖出的馒头数 & 1 & P(X=k,1)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\\
半天卖出的馒头数 & \frac{1}{2} & P(X=k,\frac{1}{2})=\frac{\left(\frac{1}{2}\lambda\right)^k}{k!}e^{-\frac{1}{2}\lambda}\\
三小时卖出的馒头数 & \frac{1}{8} & P(X=k,\frac{1}{8})=\frac{\left(\frac{1}{8}\lambda\right)^k}{k!}e^{-\frac{1}{8}\lambda}\\
\\
\hline \end{array}\\扩展后得到的函数称为\color{Salmon}{泊松过程} ，这里涉及到比较复杂的知识，就不做推导了，感兴趣的同学可以自行根据关键字扩展学习。5 指数分布两次卖出馒头之间的时间间隔大于t 的概率，根据之前的分析，等同于t 时间内没有卖出一个馒头的概率，而后者的概率可以由泊松过程给出。至此所需的条件都齐备了，那么开始解题吧，假设随机变量：Y=两次卖出馒头之间的时间间隔\\这个随机变量的概率可以如下计算：P(Y > t)=P(X=0, t)=\frac{\left(\lambda t\right)^0}{0!}e^{-\lambda t}=e^{-\lambda t},\quad t \ge 0\\进而有：P(Y \le t)=1-P(Y > t)=1-e^{-\lambda t}\\这其实已经得到了Y 的累积分布函数了： F(y)=P(Y \le y)=\begin{cases} 1-e^{-\lambda y}, & y \ge 0\\ 0,& y < 0 \end{cases} \\对其求导就可以得到概率密度函数： p(y)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda y}, & y \ge 0\\ 0,& y < 0 \end{cases} \\这就是卖出馒头的时间间隔Y 的概率密度函数，也称为\color{Salmon}{指数分布} 。6 指数分布的图像指数分布中的\lambda 是每日平均卖出的馒头数，如果\lambda 越大，也就是说每日卖出的馒头越多，那么两个馒头之间的时间间隔必然越短，这点从图像上也可以看出。当\lambda 较小的时候，比如说\lambda=1 吧，也就是说一天只卖出一个馒头，那么馒头卖出间隔时间大于1的可能性就很大（下图是指数分布的概率密度函数的图像，对应的概率是曲线下面积）：而如果\lambda 较大的时候，比如说\lambda=3 吧，也就是说一天卖出三个馒头，那么馒头卖出间隔时间大于1的可能性已经变得很小了：7 泊松分布与指数分布的期望每日卖出馒头的数目X 服从泊松分布，卖出馒头的时间间隔Y 服从指数分布：X\sim P(\lambda),\quad Y\sim Exp(\lambda)\\他们的期望分别为：E(X)=\lambda,\quad E(Y)=\frac{1}{\lambda}\\根据之前的分析就比较好理解了，E(X) 的含义是平均每日卖出的馒头数，而E(Y) 是每个馒头之间卖出的平均时间间隔，所以两者是倒数关系：每日卖出的越多自然间隔时间越短，每日卖出的越少自然间隔时间越长。8 小结还有未尽的一些解释，比如：为什么指数分布常常用来描述电器寿命？为什么指数分布和几何分布一样具有无记忆性？这些都是因为泊松分布、指数分布源于二项分布导致的，这里不再一一解释，有机会再详细说明。欢迎加入马同学图解数学系列}